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2026徐州专版中考数学
考点强化练22　相似三角形
基础过关
1.已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是(　　)
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
2.阿基米德曾说过:“给我一个支点,我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲,这是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图乙,OA=150 cm,OB=50 cm,BD=20 cm,则AC的长度是(　　)
甲
乙
A.80 cm B.60 cm
C.50 cm D.40 cm
3.(2025·四川成都中考)若=3,则的值为　　　　.
4.物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图,燃烧的蜡烛AB(竖直放置)经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为　　　　 cm.
5.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边MN、PQ上,且AB∥NP,“晋”字的笔画“”的位置在AB的黄金分割点C处,且,若NP=2 cm,则BC的长为　　　cm(结果保留根号).
6.(2025·安徽中考)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点).已知点A和A1的坐标分别为(-1,-3)和(2,6).
(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标;
(2)以点O为位似中心,将△ABC放大得到△A1B1C1,使得点A的对应点为A1,请在所给的网格图中画出△A1B1C1.
能力提升
7.如图,数学活动课上,为测量学校某栋楼的高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和楼底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到楼的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与楼的水平距离为10 m,则楼的高度为(　　)
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
8.(2025·陕西中考)如图,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为(　　)
A.10 B.8
C.5 D.4
9.(2025·山东潍坊中考)如图,在△ABC中,D、E、G分别是边AB、AC、BC的中点,DE与AG相交于点F,连接CF,AG=AC.证明:
(1);
(2)△ADF≌△CFE.
创新拓展
10.如图,在黄金矩形ABCD中,,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形.依此作法,四边形DEGH、四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E、G、L为圆心作,曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线”AFHK的长为　　　　.(结果用π表示)
考点强化练22　相似三角形
基础过关
1.已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是(　　)
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
答案:B
2.阿基米德曾说过:“给我一个支点,我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲,这是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图乙,OA=150 cm,OB=50 cm,BD=20 cm,则AC的长度是(　　)
甲
乙
A.80 cm B.60 cm
C.50 cm D.40 cm
答案:B
解析:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴AC∥BD,∴△AOC∽△BOD,∴.又OA=150 cm,OB=50 cm,BD=20 cm,∴,∴AC=60,∴AC的长度是60 cm.故选B.
3.(2025·四川成都中考)若=3,则的值为　　　　.
答案:4
解析:∵=3,∴+1=3+1=4.
4.物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图,燃烧的蜡烛AB(竖直放置)经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为　　　　 cm.
答案:20
解析:设小孔O到A'B'的距离为x cm,
由题意,得△ABO∽△A'B'O,
则,解得x=20.
5.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边MN、PQ上,且AB∥NP,“晋”字的笔画“”的位置在AB的黄金分割点C处,且,若NP=2 cm,则BC的长为　　　cm(结果保留根号).
答案:(-1)
解析:∵四边形MNPQ是正方形,
∴∠N=∠P=90°,
又AB∥NP,∴∠BAN+∠N=180°,
∴∠BAN=90°,
∴四边形ABPN是矩形,
∴AB=NP=2 cm.
又,∴BC=(-1)cm.
6.(2025·安徽中考)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点).已知点A和A1的坐标分别为(-1,-3)和(2,6).
(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标;
(2)以点O为位似中心,将△ABC放大得到△A1B1C1,使得点A的对应点为A1,请在所给的网格图中画出△A1B1C1.
解:(1)如图,点D即为所求.
由图可得,点D的坐标为(-2,-1).
(2)如图,△A1B1C1即为所求.
能力提升
7.如图,数学活动课上,为测量学校某栋楼的高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和楼底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到楼的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与楼的水平距离为10 m,则楼的高度为(　　)
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
答案:B
解析:如图,∵AB⊥BD,DE⊥BD,∴∠ABC=∠EDC=90°,又∠ACB=∠DCE,∴△ABC∽△EDC,∴,即,解得DE=8,即楼的高度为8 m.故选B.
8.(2025·陕西中考)如图,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为(　　)
A.10 B.8
C.5 D.4
答案:C
解析:∵四边形ABCD是正方形,且边长为4,∴AB=BC=4,∠A=∠B=90°.∵E是AB的中点,∴AE=BE=AB=2.在Rt△BCE中,由勾股定理得CE==2.∵∠A=∠B=90°,EF⊥EC,∴∠BCE+∠BEC=90°,∠AEF+∠BEC=90°,∴∠BCE=∠AEF,∴△BCE∽△AEF,∴,∴EF=,∴△CEF的面积=CE·EF=×2=5.故选C.
9.(2025·山东潍坊中考)如图,在△ABC中,D、E、G分别是边AB、AC、BC的中点,DE与AG相交于点F,连接CF,AG=AC.证明:
(1);
(2)△ADF≌△CFE.
证明:(1)∵D、E分别是边AB、AC的中点,
∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴.
∵G是BC的中点,DE与AG相交于点F,
∴,∴.
(2)∵AD=BD,AE=CE=AC,BG=GC,DE∥BC,且DE与AG相交于点F,
∴=1,∴AF=GF=AG,
∴DF=BG=GC,FE=GC,
∴DF=FE.
∵AG=AC,∴AG=AC,
∴AF=CE=AE.∴∠AFE=∠AEF,
∴∠AFD=180°-∠AFE=180°-∠AEF=∠CEF.
在△ADF和△CFE中,
∴△ADF≌△CFE(SAS).
创新拓展
10.如图,在黄金矩形ABCD中,,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形.依此作法,四边形DEGH、四边形KEGL也是黄金矩形.依次以点E、G、L为圆心作,曲线AFHK叫做“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线”AFHK的长为　　　　.(结果用π表示)
答案:(-1)π
解析:∵,且AD=2,
∴AB=-1.
∵四边形ABFE是正方形,
∴AE=EF=BF=AB=-1,
∴FC=ED=2-(-1)=3-.
∵四边形FGHC是正方形,
∴GF=GH=HC=FC=3-.
∵CD=AB=-1,∴HD=CD-CH=(-1)-(3-)=2-4.
∵四边形LKDH是正方形,
∴LH=HD=2-4,
∴“黄金螺线”AFHK的长为π(AE+GH+LH)
=π(AE+ED+LH)=π(AD+LH)=π(2+2-4)=(-1)π.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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