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广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2026年九年级中考三模数学试卷
1．正方体的平面展开图如图所示，原正方体“我”字所在的面的对面的汉字是(　　)
A．中 B．国 C．的 D．梦
2．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则a，b，-a，-b这四个数中最小的数是(　　)
A．a B．b C．- a D．- b
3．下列各式运算结果为a7的是(　　)
A． B． C．(a4)3 D．
4．有4个外观完全相同的密封试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，则抽到的是酸性溶液的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．一副三角板如图所示放置，斜边平行，即BC∥EF，则∠1的度数为(　　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
6． 如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置， 已知AB=6，HD=2，CF=3，则CE的长度为(　　)
A．9 B．8 C．6 D．5
7．某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，则下列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
8．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道(如图)，这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道，已知汽车在避险车道上的初始速度ν与汽车在紧急避险车道上停止时的路程x的关系式为 并且避险车道坡比(斜坡竖直高度：水平宽度)为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，则刚进入避险车道时的速度是 (　　)
A． B． C．20m/s D．
9．请你写一个小于 的整数：　 　.
10． 已知 是关于x、y的方程3x-2y-5=0的解，则代数式6m-4n+9的值是　 　.
11． 如图，在矩形ABCD中， 以B为圆心，AB长为半径画 弧 交 边 CD 于 点 E ，连 结 BE ，则 弧 AE 的长 度为 　 　.(结果保留π)
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等边三角形，点A的坐标为(2，0)，AB⊥x轴，垂足为A.若反比例函数 的图象经过点B，C，则　 　.
13．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP 交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的边长为a，正方形MNPQ的边长为b.若2BE=3AE，则的值是　 　.
14．计算：
15．先化简： 再求值： 再从-1，0，1，2中选一个合适的数代入求值.
16．为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间(单位： min)，并进行数据整理.
平均数/ min 中位数/ min 众数/ min 方差
无人机 A 70 69.5 72
无人机B 72 a b
（1） 填空：a=　 　，b=　 　， 　 　 (填写“>、<或=”)；
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势 请说明理由：
（3）如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为70min，那么A款无人机最长运行时间的方差将　 　 (填“变大”，“变小”或“不变”).
17．首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销.
（1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A 品牌足球与用4800 元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价：
（2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a满足m=-2a+400关系，请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格：
方案一：利润最大 方案二：固定利润率80%
该店销售A 品牌足球的利润最大，单件售价 a为多少元，最大利润为多少 尽量优惠顾客，该店销售A 品牌足球获得 固定利润率80%，单件售价a为多少元， 及进货量。
18．如图， 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC. 弦CD⊥AB 于点E，连结OB， 交圆于点H， 交CD于点 F.
（1） 求证： ∠BCD=∠ABO.
（2） 连结BD. 若 求 的值.
（3）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过O做AC的垂线交AC 于点 G.
19．综合实践与探究 ——新能源汽车刹车性能研究
【设计实验方案】
某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究。
设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至 A 点时启动刹车，从汽车到达 A 点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间t(s)、瞬时速度v(m/s)、刹车路程y(m)的数据.
【收集整理数据】
运动时间((s) 0 4 8 12 16 20 ...
瞬时速度 v(m/s) 12 10 8 6 4 2 ...
刹车路程γ(m) 0 44 80 108 128 140 ...
【数学建模探究】
（1）【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：
①v与t之间的关系可以近似地用 ▲ 函数表示.(填：“一次”、“二次”或“反比例”)，v与l的函数关系式为 ▲
②y与t之间的关系可以近似地用 ▲ 函数表示.(填：“一次”、“二次”或“反比例”)，y与l之间的函数关系式为 ▲ .
（2）【拓展与运用】
①若某段水平测试路面的长度为150m，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围
②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以3m/s 的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB 的最小值是多少
20．定义：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“内接垂中三角形”.
（1）如图1，△CEF 是 ABCD的内接垂中三角形，∠CFE=90°，若EP平分∠AEC. ∠FCE =43°， 则∠FCD=　 　°.
（2）如图2，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠，得到△AB’ E，延长AB’交CD于点 F，连接EF，若 求证： 是矩形ABCD 的内接垂中三角形.
（3） 在△ABC中， 以△ABC为内接垂中三角形的平行四边形的一组邻边的长记为m，n，其中m>n，请画出草图并求出对应的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体表面展开图中，相对的面不存在公共边与公共顶点，且同行排列的两个相对面之间恰好相隔一个正方形。观察展开图可得，“我”字与“国”字处于同一行，中间间隔了“中”字所在的面，符合同行隔一面的相对面判定规则，因此“我”字所在面的对面汉字为“国”。
故答案为：B
【分析】本题考查正方体平面展开图的相对面识别，解题时依据正方体展开图“相对面不相邻、同行/同列隔一面”的核心规律，先定位“我”字在展开图中的位置，再沿同一直线寻找间隔一个正方形的对应面，即可确定对面的汉字。
2．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴上点的位置可知 ，且 到原点的距离大于 到原点的距离，即 。根据相反数的几何意义， 为正数且满足 ， 为负数且满足 。将四个数从小到大排序为：，因此最小的数是
故答案为：D
【分析】本题考查数轴与实数的大小比较，结合相反数的性质解题，先通过数轴上点的位置判断 、 的正负性与绝对值的大小关系，再根据相反数的符号与绝对值特征推导出 、 的取值范围，最终依据“数轴上右边的数总大于左边的数”的规则比较四个数的大小，得到最小值。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A： 与 所含字母相同但指数不同，不属于同类项，无法合并化简，结果不为 ；
选项B：根据同底数幂相乘法则，底数不变、指数相加，可得 ，符合要求；
选项C：根据幂的乘方法则，底数不变、指数相乘，可得 ，结果不为 ；
选项D：根据同底数幂相除法则，底数不变、指数相减，可得 ，结果不为
故答案为：B
【分析】本题考查幂的运算法则与同类项的合并规则，解题时分别依据同类项定义、同底数幂乘除法法则、幂的乘方法则对每个选项逐一运算验证，通过排除不符合要求的选项，最终得到运算结果为 的式子。
4．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液中，有稀硫酸、稀盐酸两种酸性溶液，
则小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，抽到的是酸性溶液的概率是：，
故选：C．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，根据两直线平行、内错角相等，可得 。
又等腰直角三角板的锐角 ，
。
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的性质与三角板角度计算，解题时先利用“两直线平行，内错角相等”的性质，由斜边平行推导出对应角的度数，再结合等腰直角三角板的锐角度数，通过角的和差运算计算出 的度数。
6．【答案】C
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，平移前后对应线段平行且相等，对应点的连线长度等于平移距离，因此 ，，且 。
，，又 为公共角，故 。
由 ，可得 。
设 ，则 。
根据相似三角形对应边成比例，得 ，即 ，
解得 ，即
故答案为：C
【分析】本题考查平移的性质与相似三角形的判定及性质，解题时先根据平移的特征得到对应边的长度与平行关系，再由平行判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，代入已知边长求解即可得到CE的长度。
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据生产工人总人数为300名，可得第一个等量关系：。
每天生产车架的总数量为 个，生产车轮的总数量为 个。由于1个车架需要搭配4个车轮才能成套，因此车轮的总数量应当等于车架总数量的4倍，即 。
联立两个方程可得方程组
故答案为：C
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于配套类问题，解题时先根据工人总数得到人数的等量关系，再根据“车架与车轮的配套比例为1：4”，即车轮总数是车架总数的4倍，得到产品数量的等量关系，最终联立两个方程组成方程组。
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 坡比为竖直高度与水平宽度的比，即 ，且水平距离为100m，
斜坡的竖直高度 。
根据勾股定理，汽车行驶的斜坡路程 。
将 代入关系式 ，得
，
故答案为：A
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用与代数式求值，结合坡比的定义解题，先根据坡比和已知水平距离计算出竖直高度，再利用勾股定理求出斜坡的总路程，最后将路程代入速度与路程的关系式，通过二次根式的运算求出刚进入避险车道时的速度。
9．【答案】2(答案不唯一)
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，，且 ，
，即 。
小于 的整数有2、1、0、 等，任选其一即可，例如0。
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】本题考查无理数的估算，解题时通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，确定 所在的整数区间，再从区间内选取任意一个整数作为答案即可。
10．【答案】19
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解： 是方程 的解，
将解代入原方程得 ，整理得 。
对所求代数式提取公因式变形可得 ，
将 整体代入，得原式 。
故答案为：19
【分析】本题考查二元一次方程的解与代数式的整体代入求值，解题时先将方程的解代入原方程，得到关于 、 的关系式，再对所求代数式提取公因式进行变形，利用整体代入的思想代入计算即可得到结果。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；弧长的计算；正弦的概念；求正弦值
【解析】【解答】解： 四边形 是矩形，
。
由作图的半径相等可知 ，
在 中，由勾股定理得 。
，且 为锐角，
，
。
根据弧长公式 ，代入圆心角 、半径 ，得
的长度为
故答案为：
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数与弧长公式的综合应用，解题时先根据矩形的性质得到，再根据半径相等得到，根据勾股定理求出CE，进而根据正弦函数结合特殊角的三角函数值得到，则，再根据弧长公式结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为 ，则
过点C作 于点H，
由等边三角形三线合一的性质，得 ，。
由勾股定理得 。
， 轴，
点B坐标为 ，点C坐标为 。
B、C两点均在反比例函数 的图象上，因此两点横纵坐标的乘积均等于 ，即
，
，两边同时除以 得 ，解得 。
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数的图象性质与等边三角形的性质综合，解题时先设出等边三角形的边长，利用三线合一与勾股定理表示出B、C两点的坐标，再根据反比例函数上任意一点横纵坐标的乘积等于 的性质建立方程，求解边长后代入计算得到 的值。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点A作 ，交直线 的延长线于点G，
，，
由 ，得 ，因此由相似三角形对应边成比例得 。
四边形 是正方形，，结合 的比例关系 ，可推得 。
设 ，则 ，。
由四个直角三角形全等，得 ，。
在 中，由勾股定理得
，即大正方形边长 。
小正方形边长 ，
。
故答案为：
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及勾股定理的综合应用。过点A作 ，交直线 的延长线于点G，根据相似三角形的判定与性质证明，得到，再根据正方形的性质得到，则，设 ，则 ，，根据全等的性质得到，，进而根据勾股定理表示出大正方形边长 ，小正方形边长 ，再相比即可求解。
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、绝对值化简、零指数幂与负整数指数幂的计算；解题时先分别计算每一项：根据特殊角的三角函数值得到 的结果，根据绝对值的代数意义，结合 化简绝对值项，依据“任何非零数的0次幂等于1”计算零指数幂，依据“负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数”计算负指数项，再按照实数的加减运算法则合并计算，最终得到结果。
15．【答案】解：
∵m=-1，0，1时，原分式无意义，
∴m=2，
当m=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值与分式有意义的条件；解题时先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母分别因式分解，通过约分化简为最简分式；再根据分式分母不能为零的条件，排除使原式无意义的 的取值，从剩余数值中选取一个代入最简分式，计算得到最终结果。
16．【答案】（1）71；69；>
（2）解：B款无人机运行时间
∵B款无人机运行时间的平均时间大于A 款无人机，
∴B款无人机运行时间更有优势(答案不唯一，合理均可).
（3）变小
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）A款无人机数据方差，
B款数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80，
所以其中位数为，出现次数最多的数据为69，故；
方差．
∴；
（3）新增数据70与A款无人机的平均数相等，故加入后会减小数据的方差．
【分析】
本题考查统计量的计算与应用，涉及中位数、众数、方差的求解及统计量的实际意义；
（1） 解题时先将B款无人机的运行时间按从小到大排序，取中间两个数的平均数得到中位数 ，找出出现次数最多的数得到众数 ，再分别根据方差公式计算两款无人机运行时间的方差，比较大小后填写符号；
（2） 可从平均数、中位数、方差等统计量的角度分析，例如对比两款无人机的平均运行时间，平均时间更长的运行时间更具优势，也可结合方差说明数据稳定性，合理即可；
（3）根据方差的意义，方差反映数据的波动离散程度，新增的数据等于原数据的平均数时，会减小数据整体的离散程度，因此方差会变小。
17．【答案】（1）解：设B品牌足球的单件进价为x元，
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的解.
∴x+20=100.
答：A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元.
（2）解：选择题中一个均可，若两个都选，按照第一个给分
方案一：A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足m=-2a+400，设销售A 品牌足球的利润为 W元，
则W=(a-100)(-2a+400)
因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当a=150元时，W取得最大值.
答：当单件售价a=150元时，该店销售A 品牌足球的利润最大.
方案二：∵A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足m=-2a+400，
解得
又∵尽量优惠顾客
∴x=140
答：当单件售价a=140元时，该店销售A 品牌足球的利润率为80%.
【知识点】折线统计图；二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程与二次函数的实际应用，属于销售利润问题；
（1） 解题时设B品牌足球的单件进价为未知数，根据进价差表示出A品牌的进价，再利用“购进数量=总费用÷单件进价”，结合两种足球购进数量相等的等量关系列出分式方程，求解并检验后得到两种足球的进价；
（2）方案一：根据“总利润=单件利润×销售量”，列出利润关于售价 的二次函数表达式，通过配方化为顶点式，结合二次函数的开口方向，求出利润的最大值以及对应的售价；方案二：根据“利润率=利润÷进价”，由固定利润率列方程求出售价，再将售价代入销售量的一次函数关系式，计算得到对应的进货量。
18．【答案】（1）证明：如图1，连结OA.
∵AB⊥CD，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=90°-∠BCD，
又∵OA=OB，
（2）解：设CE=3x，
∴在 Rt△AEC中， 有 AC=5x， AE=4x.
∴AB=5x， BE=AB-AE=x.
又∵∠CAB=∠D，
∴△BDF∽△BAC，
（3）解：如图点H 即为所求
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；尺规作图-垂线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆周角定理、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质以及尺规作图；
（1）解题时先由弦垂直得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余表示出 ，结合等腰三角形等边对等角的性质得到 的度数表达式，再根据圆周角定理得到圆心角 与圆周角 的二倍关系，最后在等腰 中利用三角形内角和计算出 ，即可证明两角相等；
（2）解题时先根据 的正弦值，在直角三角形中设出边长，利用勾股定理求出其余边长，再通过角的推导证明 与 相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入边长计算出线段的比值；
（3）利用“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的原理，以O为圆心画弧与AC交于两点，再分别以两点为圆心画弧得到交点，连接O与交点即可得到AC的垂线，完成作图。
19．【答案】（1）解：
① 一次：
② 二次：
（2）解：①∵当新能源汽车完全停车时v=0
∴新能源汽车行走的最大距离为
144m>130m
所以会超过路面范围
② 设AB=d，
由题意，得：
，
当 时，d最大为
∴AB 最小为81cm.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；通过函数图象获取信息；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示，
设，
将点与点代入函数关系式中，
可得，解得，
∴，
∴v与t的函数关系式为．
②y与t之间的关系可以近似地用二次函数，
设，
将点，点，点代入函数关系式中，
可得，解得，
∴，
∴y与t之间的函数关系式为．
【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，结合行程问题探究函数模型；
（1）①解题时先观察描点后的图象形状，若图象近似为直线则为一次函数，选取表格中两组数据代入一次函数一般式，用待定系数法求解系数，得到函数关系式；②观察图象若近似为抛物线则为二次函数，选取三组数据代入二次函数一般式，解三元一次方程组得到系数，确定函数关系式；
（2）①解题时令速度 ，求出汽车完全停止所需的时间，再将该时间代入路程的二次函数表达式，计算出总刹车距离，与路面长度比较大小即可判断是否超出范围；②解题时设AB的距离为 ，根据“不追尾即刹车距离≥电动车行驶的距离+AB距离”列出不等式，整理得到 关于时间 的二次函数，求出该二次函数的最大值，即为AB的最小安全距离。
20．【答案】（1）43
（2）解：在矩形ABCD中， ∠B=∠C=90°，
由折叠可知，△ABE≌△AB' E，
∴∠AEB=∠AEB'， BE=B' E， ∠B=∠AB' E=90°，
∵E是BC中点，
在Rt△B' EF和Rt△CEF中，
∴Rt△B' EF≌Rt△CEF(HL)，
∴∠CEF=∠B' EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°∠EFC+∠FEC=90°，
∵∠AEB=∠EFC，
∴△ABE∽△EFC，
即
∴F为CD的中点，∴△BEF 是矩形ABCD 的半隅三角形
（3）解：如图2，
△ABC 是 CDFE的“中直三角形”，
作 交DF的延长线于点 H，作于G，
由上知，
∠D=∠BFH，
∴△CDG∽△BFH，
设 FH=x，BH=y，则 DG=2x，CG=2y，
由上知，
△ACG∽△BAH，
∵AF=AD，
如图3，
设FH=x，CH=y，则DG=2x，BG=2y，
由上知，
△ABG∽△CAH，
，
，
，
∵AF=AD，
，
，
，
，
，
，
如图4，
作EQ⊥AF于Q，作AF于H，作交A的延长线于点G，设BH=4a， CE=CD=x， BF=BE=y， 则( CG=EQ=2BH=8a，AF=DE=2CE=2x，由上可知，
∴AQ=QG-AG=CE-AG=x-3a，
∵FH=HQ，
，
综上所述： ， ，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解∶（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
如图：过F作交于G，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查新定义题型，综合平行四边形性质、折叠变换、相似三角形与勾股定理等知识；
（1）根据余角求出∠FEC的度数，再根据角平分线的定义得到，过F作交于G，进而结合题意根据平行四边形的性质和平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到 ∠B=∠C=90°，进而根据折叠的性质得到△ABE≌△AB' E，再根据三角形全等的性质得到∠AEB=∠AEB'， BE=B' E， ∠B=∠AB' E=90°，根据中点得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明Rt△B' EF≌Rt△CEF(HL)得到∠CEF=∠B' EF，再结合题意进行角的运算，运用相似三角形的判定与性质证明△ABE∽△EFC得到 即 ，从而根据题意即可求解；
（3）根据题意分别作图：①△ABC 是 CDFE的“中直三角形”，作交DF的延长线于点 H，作于G；②作EQ⊥AF于Q，作AF于H，作交A的延长线于点G，设BH=4a， CE=CD=x， BF=BE=y， 则( CG=EQ=2BH=8a，AF=DE=2CE=2x，再根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理即可求解。
1 / 1广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2026年九年级中考三模数学试卷
1．正方体的平面展开图如图所示，原正方体“我”字所在的面的对面的汉字是(　　)
A．中 B．国 C．的 D．梦
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体表面展开图中，相对的面不存在公共边与公共顶点，且同行排列的两个相对面之间恰好相隔一个正方形。观察展开图可得，“我”字与“国”字处于同一行，中间间隔了“中”字所在的面，符合同行隔一面的相对面判定规则，因此“我”字所在面的对面汉字为“国”。
故答案为：B
【分析】本题考查正方体平面展开图的相对面识别，解题时依据正方体展开图“相对面不相邻、同行/同列隔一面”的核心规律，先定位“我”字在展开图中的位置，再沿同一直线寻找间隔一个正方形的对应面，即可确定对面的汉字。
2．实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则a，b，-a，-b这四个数中最小的数是(　　)
A．a B．b C．- a D．- b
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴上点的位置可知 ，且 到原点的距离大于 到原点的距离，即 。根据相反数的几何意义， 为正数且满足 ， 为负数且满足 。将四个数从小到大排序为：，因此最小的数是
故答案为：D
【分析】本题考查数轴与实数的大小比较，结合相反数的性质解题，先通过数轴上点的位置判断 、 的正负性与绝对值的大小关系，再根据相反数的符号与绝对值特征推导出 、 的取值范围，最终依据“数轴上右边的数总大于左边的数”的规则比较四个数的大小，得到最小值。
3．下列各式运算结果为a7的是(　　)
A． B． C．(a4)3 D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A： 与 所含字母相同但指数不同，不属于同类项，无法合并化简，结果不为 ；
选项B：根据同底数幂相乘法则，底数不变、指数相加，可得 ，符合要求；
选项C：根据幂的乘方法则，底数不变、指数相乘，可得 ，结果不为 ；
选项D：根据同底数幂相除法则，底数不变、指数相减，可得 ，结果不为
故答案为：B
【分析】本题考查幂的运算法则与同类项的合并规则，解题时分别依据同类项定义、同底数幂乘除法法则、幂的乘方法则对每个选项逐一运算验证，通过排除不符合要求的选项，最终得到运算结果为 的式子。
4．有4个外观完全相同的密封试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，则抽到的是酸性溶液的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液中，有稀硫酸、稀盐酸两种酸性溶液，
则小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，抽到的是酸性溶液的概率是：，
故选：C．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．一副三角板如图所示放置，斜边平行，即BC∥EF，则∠1的度数为(　　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，根据两直线平行、内错角相等，可得 。
又等腰直角三角板的锐角 ，
。
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的性质与三角板角度计算，解题时先利用“两直线平行，内错角相等”的性质，由斜边平行推导出对应角的度数，再结合等腰直角三角板的锐角度数，通过角的和差运算计算出 的度数。
6． 如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置， 已知AB=6，HD=2，CF=3，则CE的长度为(　　)
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，平移前后对应线段平行且相等，对应点的连线长度等于平移距离，因此 ，，且 。
，，又 为公共角，故 。
由 ，可得 。
设 ，则 。
根据相似三角形对应边成比例，得 ，即 ，
解得 ，即
故答案为：C
【分析】本题考查平移的性质与相似三角形的判定及性质，解题时先根据平移的特征得到对应边的长度与平行关系，再由平行判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，代入已知边长求解即可得到CE的长度。
7．某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，则下列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据生产工人总人数为300名，可得第一个等量关系：。
每天生产车架的总数量为 个，生产车轮的总数量为 个。由于1个车架需要搭配4个车轮才能成套，因此车轮的总数量应当等于车架总数量的4倍，即 。
联立两个方程可得方程组
故答案为：C
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于配套类问题，解题时先根据工人总数得到人数的等量关系，再根据“车架与车轮的配套比例为1：4”，即车轮总数是车架总数的4倍，得到产品数量的等量关系，最终联立两个方程组成方程组。
8．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道(如图)，这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道，已知汽车在避险车道上的初始速度ν与汽车在紧急避险车道上停止时的路程x的关系式为 并且避险车道坡比(斜坡竖直高度：水平宽度)为1：5，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为100m，则刚进入避险车道时的速度是 (　　)
A． B． C．20m/s D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： 坡比为竖直高度与水平宽度的比，即 ，且水平距离为100m，
斜坡的竖直高度 。
根据勾股定理，汽车行驶的斜坡路程 。
将 代入关系式 ，得
，
故答案为：A
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用与代数式求值，结合坡比的定义解题，先根据坡比和已知水平距离计算出竖直高度，再利用勾股定理求出斜坡的总路程，最后将路程代入速度与路程的关系式，通过二次根式的运算求出刚进入避险车道时的速度。
9．请你写一个小于 的整数：　 　.
【答案】2(答案不唯一)
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，，且 ，
，即 。
小于 的整数有2、1、0、 等，任选其一即可，例如0。
故答案为：2（答案不唯一）
【分析】本题考查无理数的估算，解题时通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，确定 所在的整数区间，再从区间内选取任意一个整数作为答案即可。
10． 已知 是关于x、y的方程3x-2y-5=0的解，则代数式6m-4n+9的值是　 　.
【答案】19
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解： 是方程 的解，
将解代入原方程得 ，整理得 。
对所求代数式提取公因式变形可得 ，
将 整体代入，得原式 。
故答案为：19
【分析】本题考查二元一次方程的解与代数式的整体代入求值，解题时先将方程的解代入原方程，得到关于 、 的关系式，再对所求代数式提取公因式进行变形，利用整体代入的思想代入计算即可得到结果。
11． 如图，在矩形ABCD中， 以B为圆心，AB长为半径画 弧 交 边 CD 于 点 E ，连 结 BE ，则 弧 AE 的长 度为 　 　.(结果保留π)
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；弧长的计算；正弦的概念；求正弦值
【解析】【解答】解： 四边形 是矩形，
。
由作图的半径相等可知 ，
在 中，由勾股定理得 。
，且 为锐角，
，
。
根据弧长公式 ，代入圆心角 、半径 ，得
的长度为
故答案为：
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数与弧长公式的综合应用，解题时先根据矩形的性质得到，再根据半径相等得到，根据勾股定理求出CE，进而根据正弦函数结合特殊角的三角函数值得到，则，再根据弧长公式结合题意即可求解。
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等边三角形，点A的坐标为(2，0)，AB⊥x轴，垂足为A.若反比例函数 的图象经过点B，C，则　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为 ，则
过点C作 于点H，
由等边三角形三线合一的性质，得 ，。
由勾股定理得 。
， 轴，
点B坐标为 ，点C坐标为 。
B、C两点均在反比例函数 的图象上，因此两点横纵坐标的乘积均等于 ，即
，
，两边同时除以 得 ，解得 。
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数的图象性质与等边三角形的性质综合，解题时先设出等边三角形的边长，利用三线合一与勾股定理表示出B、C两点的坐标，再根据反比例函数上任意一点横纵坐标的乘积等于 的性质建立方程，求解边长后代入计算得到 的值。
13．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP 交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的边长为a，正方形MNPQ的边长为b.若2BE=3AE，则的值是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点A作 ，交直线 的延长线于点G，
，，
由 ，得 ，因此由相似三角形对应边成比例得 。
四边形 是正方形，，结合 的比例关系 ，可推得 。
设 ，则 ，。
由四个直角三角形全等，得 ，。
在 中，由勾股定理得
，即大正方形边长 。
小正方形边长 ，
。
故答案为：
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及勾股定理的综合应用。过点A作 ，交直线 的延长线于点G，根据相似三角形的判定与性质证明，得到，再根据正方形的性质得到，则，设 ，则 ，，根据全等的性质得到，，进而根据勾股定理表示出大正方形边长 ，小正方形边长 ，再相比即可求解。
14．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、绝对值化简、零指数幂与负整数指数幂的计算；解题时先分别计算每一项：根据特殊角的三角函数值得到 的结果，根据绝对值的代数意义，结合 化简绝对值项，依据“任何非零数的0次幂等于1”计算零指数幂，依据“负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数”计算负指数项，再按照实数的加减运算法则合并计算，最终得到结果。
15．先化简： 再求值： 再从-1，0，1，2中选一个合适的数代入求值.
【答案】解：
∵m=-1，0，1时，原分式无意义，
∴m=2，
当m=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值与分式有意义的条件；解题时先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母分别因式分解，通过约分化简为最简分式；再根据分式分母不能为零的条件，排除使原式无意义的 的取值，从剩余数值中选取一个代入最简分式，计算得到最终结果。
16．为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间(单位： min)，并进行数据整理.
平均数/ min 中位数/ min 众数/ min 方差
无人机 A 70 69.5 72
无人机B 72 a b
（1） 填空：a=　 　，b=　 　， 　 　 (填写“>、<或=”)；
（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势 请说明理由：
（3）如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为70min，那么A款无人机最长运行时间的方差将　 　 (填“变大”，“变小”或“不变”).
【答案】（1）71；69；>
（2）解：B款无人机运行时间
∵B款无人机运行时间的平均时间大于A 款无人机，
∴B款无人机运行时间更有优势(答案不唯一，合理均可).
（3）变小
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）A款无人机数据方差，
B款数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80，
所以其中位数为，出现次数最多的数据为69，故；
方差．
∴；
（3）新增数据70与A款无人机的平均数相等，故加入后会减小数据的方差．
【分析】
本题考查统计量的计算与应用，涉及中位数、众数、方差的求解及统计量的实际意义；
（1） 解题时先将B款无人机的运行时间按从小到大排序，取中间两个数的平均数得到中位数 ，找出出现次数最多的数得到众数 ，再分别根据方差公式计算两款无人机运行时间的方差，比较大小后填写符号；
（2） 可从平均数、中位数、方差等统计量的角度分析，例如对比两款无人机的平均运行时间，平均时间更长的运行时间更具优势，也可结合方差说明数据稳定性，合理即可；
（3）根据方差的意义，方差反映数据的波动离散程度，新增的数据等于原数据的平均数时，会减小数据整体的离散程度，因此方差会变小。
17．首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销.
（1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A 品牌足球与用4800 元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价：
（2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a满足m=-2a+400关系，请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格：
方案一：利润最大 方案二：固定利润率80%
该店销售A 品牌足球的利润最大，单件售价 a为多少元，最大利润为多少 尽量优惠顾客，该店销售A 品牌足球获得 固定利润率80%，单件售价a为多少元， 及进货量。
【答案】（1）解：设B品牌足球的单件进价为x元，
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的解.
∴x+20=100.
答：A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元.
（2）解：选择题中一个均可，若两个都选，按照第一个给分
方案一：A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足m=-2a+400，设销售A 品牌足球的利润为 W元，
则W=(a-100)(-2a+400)
因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当a=150元时，W取得最大值.
答：当单件售价a=150元时，该店销售A 品牌足球的利润最大.
方案二：∵A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足m=-2a+400，
解得
又∵尽量优惠顾客
∴x=140
答：当单件售价a=140元时，该店销售A 品牌足球的利润率为80%.
【知识点】折线统计图；二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程与二次函数的实际应用，属于销售利润问题；
（1） 解题时设B品牌足球的单件进价为未知数，根据进价差表示出A品牌的进价，再利用“购进数量=总费用÷单件进价”，结合两种足球购进数量相等的等量关系列出分式方程，求解并检验后得到两种足球的进价；
（2）方案一：根据“总利润=单件利润×销售量”，列出利润关于售价 的二次函数表达式，通过配方化为顶点式，结合二次函数的开口方向，求出利润的最大值以及对应的售价；方案二：根据“利润率=利润÷进价”，由固定利润率列方程求出售价，再将售价代入销售量的一次函数关系式，计算得到对应的进货量。
18．如图， 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC. 弦CD⊥AB 于点E，连结OB， 交圆于点H， 交CD于点 F.
（1） 求证： ∠BCD=∠ABO.
（2） 连结BD. 若 求 的值.
（3）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过O做AC的垂线交AC 于点 G.
【答案】（1）证明：如图1，连结OA.
∵AB⊥CD，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=90°-∠BCD，
又∵OA=OB，
（2）解：设CE=3x，
∴在 Rt△AEC中， 有 AC=5x， AE=4x.
∴AB=5x， BE=AB-AE=x.
又∵∠CAB=∠D，
∴△BDF∽△BAC，
（3）解：如图点H 即为所求
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；尺规作图-垂线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆周角定理、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质以及尺规作图；
（1）解题时先由弦垂直得到直角三角形，利用直角三角形两锐角互余表示出 ，结合等腰三角形等边对等角的性质得到 的度数表达式，再根据圆周角定理得到圆心角 与圆周角 的二倍关系，最后在等腰 中利用三角形内角和计算出 ，即可证明两角相等；
（2）解题时先根据 的正弦值，在直角三角形中设出边长，利用勾股定理求出其余边长，再通过角的推导证明 与 相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入边长计算出线段的比值；
（3）利用“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的原理，以O为圆心画弧与AC交于两点，再分别以两点为圆心画弧得到交点，连接O与交点即可得到AC的垂线，完成作图。
19．综合实践与探究 ——新能源汽车刹车性能研究
【设计实验方案】
某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究。
设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至 A 点时启动刹车，从汽车到达 A 点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间t(s)、瞬时速度v(m/s)、刹车路程y(m)的数据.
【收集整理数据】
运动时间((s) 0 4 8 12 16 20 ...
瞬时速度 v(m/s) 12 10 8 6 4 2 ...
刹车路程γ(m) 0 44 80 108 128 140 ...
【数学建模探究】
（1）【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：
①v与t之间的关系可以近似地用 ▲ 函数表示.(填：“一次”、“二次”或“反比例”)，v与l的函数关系式为 ▲
②y与t之间的关系可以近似地用 ▲ 函数表示.(填：“一次”、“二次”或“反比例”)，y与l之间的函数关系式为 ▲ .
（2）【拓展与运用】
①若某段水平测试路面的长度为150m，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围
②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以3m/s 的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么AB 的最小值是多少
【答案】（1）解：
① 一次：
② 二次：
（2）解：①∵当新能源汽车完全停车时v=0
∴新能源汽车行走的最大距离为
144m>130m
所以会超过路面范围
② 设AB=d，
由题意，得：
，
当 时，d最大为
∴AB 最小为81cm.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；通过函数图象获取信息；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示，
设，
将点与点代入函数关系式中，
可得，解得，
∴，
∴v与t的函数关系式为．
②y与t之间的关系可以近似地用二次函数，
设，
将点，点，点代入函数关系式中，
可得，解得，
∴，
∴y与t之间的函数关系式为．
【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，结合行程问题探究函数模型；
（1）①解题时先观察描点后的图象形状，若图象近似为直线则为一次函数，选取表格中两组数据代入一次函数一般式，用待定系数法求解系数，得到函数关系式；②观察图象若近似为抛物线则为二次函数，选取三组数据代入二次函数一般式，解三元一次方程组得到系数，确定函数关系式；
（2）①解题时令速度 ，求出汽车完全停止所需的时间，再将该时间代入路程的二次函数表达式，计算出总刹车距离，与路面长度比较大小即可判断是否超出范围；②解题时设AB的距离为 ，根据“不追尾即刹车距离≥电动车行驶的距离+AB距离”列出不等式，整理得到 关于时间 的二次函数，求出该二次函数的最大值，即为AB的最小安全距离。
20．定义：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“内接垂中三角形”.
（1）如图1，△CEF 是 ABCD的内接垂中三角形，∠CFE=90°，若EP平分∠AEC. ∠FCE =43°， 则∠FCD=　 　°.
（2）如图2，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠，得到△AB’ E，延长AB’交CD于点 F，连接EF，若 求证： 是矩形ABCD 的内接垂中三角形.
（3） 在△ABC中， 以△ABC为内接垂中三角形的平行四边形的一组邻边的长记为m，n，其中m>n，请画出草图并求出对应的值.
【答案】（1）43
（2）解：在矩形ABCD中， ∠B=∠C=90°，
由折叠可知，△ABE≌△AB' E，
∴∠AEB=∠AEB'， BE=B' E， ∠B=∠AB' E=90°，
∵E是BC中点，
在Rt△B' EF和Rt△CEF中，
∴Rt△B' EF≌Rt△CEF(HL)，
∴∠CEF=∠B' EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°∠EFC+∠FEC=90°，
∵∠AEB=∠EFC，
∴△ABE∽△EFC，
即
∴F为CD的中点，∴△BEF 是矩形ABCD 的半隅三角形
（3）解：如图2，
△ABC 是 CDFE的“中直三角形”，
作 交DF的延长线于点 H，作于G，
由上知，
∠D=∠BFH，
∴△CDG∽△BFH，
设 FH=x，BH=y，则 DG=2x，CG=2y，
由上知，
△ACG∽△BAH，
∵AF=AD，
如图3，
设FH=x，CH=y，则DG=2x，BG=2y，
由上知，
△ABG∽△CAH，
，
，
，
∵AF=AD，
，
，
，
，
，
，
如图4，
作EQ⊥AF于Q，作AF于H，作交A的延长线于点G，设BH=4a， CE=CD=x， BF=BE=y， 则( CG=EQ=2BH=8a，AF=DE=2CE=2x，由上可知，
∴AQ=QG-AG=CE-AG=x-3a，
∵FH=HQ，
，
综上所述： ， ，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解∶（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
如图：过F作交于G，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查新定义题型，综合平行四边形性质、折叠变换、相似三角形与勾股定理等知识；
（1）根据余角求出∠FEC的度数，再根据角平分线的定义得到，过F作交于G，进而结合题意根据平行四边形的性质和平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到 ∠B=∠C=90°，进而根据折叠的性质得到△ABE≌△AB' E，再根据三角形全等的性质得到∠AEB=∠AEB'， BE=B' E， ∠B=∠AB' E=90°，根据中点得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明Rt△B' EF≌Rt△CEF(HL)得到∠CEF=∠B' EF，再结合题意进行角的运算，运用相似三角形的判定与性质证明△ABE∽△EFC得到 即 ，从而根据题意即可求解；
（3）根据题意分别作图：①△ABC 是 CDFE的“中直三角形”，作交DF的延长线于点 H，作于G；②作EQ⊥AF于Q，作AF于H，作交A的延长线于点G，设BH=4a， CE=CD=x， BF=BE=y， 则( CG=EQ=2BH=8a，AF=DE=2CE=2x，再根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理即可求解。
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