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广东省深圳外国语学校2026年九年级数学中考三模试卷
1．中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样.下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．“激情全运会，活力大湾区”，第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办.其中，深圳大运中心体育场将承办部分足球赛事，深圳大运中心体育场建筑面积13.6万平方米.数据“13.6万”用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　）
A．画饼充饥 B．水涨船高 C．刻舟求剑 D．一箭双雕
5．如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB=51°，BC=6m，则树AB的高为（　　）m.
A． B．6tan51° C． D．
6．将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若∠α=44°，则∠β的度数为（　　）
A．44° B．45° C．46° D．54ˊ
7．从北站出发到杭州东站路程约875km，有高速铁路列车和普通动车组列车可供选择，高速铁路列车比普通动车组列车平均时速快100km/h，乘坐高速铁路列车所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1h.设普通动车组列车的速度是xkm/h，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，矩形ABCD中，AD>AB，∠BAD的平分线与DC的延长线相交于点E，AE与BC相交于点F，点M为FE的中点，连接BD，DM.若BD=14，则DM的长是（　　）
A．7 B． C． D．
9．已知关于x的方程5x-2a=12的解是x=2，则a=　 　.
10．化简：　 　.
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm，AB=2cm，以B为中心，将α∈ABC顺时针旋转，使得点A落在CB延长线上的A1点，此时点C落到点C1，则在旋转中，边AC变到边A1C1所扫过的面积为　 　平方厘米（结果保留π）.
12．如图，ABCD的AB边在x轴上，顶点D在y轴上，点C的坐标为（2，4），反比例函数的图象同时经过CD的中点E和BD的中点F，交BC于点G，则点G的坐标是　 　.
13．如图，四边形ABCD是菱形，，点E是边CD上一点，连接AE，BE，点F是BE的中点，连接DF交AE于点G.若CE=2，则GF的长为　 　.
14．计算：
15．解方程：．
16．智启未来，创想无限.为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.60≤x<70；B.70≤x<80；C.80≤x<90；D.90≤x≤100），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89.
七、八年级成绩数据统计表
年级 七年级 八年级
平均数 83.9 83.9
中位数 m 84
众数 78 84
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m= ▲ ；
（2）该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人
（3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好 并请说出一条理由.
17．请你根据下列材料，完成有关任务.
背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”.为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购A，B两种新鲜食材.
素材一 商家：若购买1袋A种食材和3袋B种食材共需190元；若购买2袋A种食材和2袋B种食材共需180元.并且整袋售卖，不拆分.
素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共90袋，A种食材数量不低于50袋，且不超过B种食材的3倍.
请完成下列任务：
（1） A，B两种食材每袋单价分别是多少元
（2）请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出最节省费用的采购方案，并求出最低采购费用.
18．如图，已知O为△CED的外接圆，CE为O的直径，点A在CE的延长线上且AD与O相切于点D.
（1）利用圆规和无刻度直尺过点C作CB⊥AC交AD延长线于点B；
（2）求证：
（3）若AC=16，O的半径为6，求BC的长.
19．【问题引入】
如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动.
【问题情境】
学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量，拱门的宽AB=6m，拱门最高点P到地面AB的距离为4m，AC和BD垂直于地面，高度均为1m.
【问题解决】
（1）求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式.
（2）如图2，线段EF和GH分别表示大门两侧悬挂的灯笼.已知每个灯笼的长为1.1m（含挂线），灯笼悬挂点G，E到最高点P的水平距离均为1.2m.
①求灯笼底端H到地面AB的距离.
②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校.若货车的高为2.7m，宽为2.4m，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点P处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）.
20．定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做奇异四边形，其中这条对角线叫做奇异对角线，这条边叫做奇异边.
（1）【概念理解〗
如图1，四边形ABCD是奇异四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是奇异对角线，AD是奇异边。
①△ADG与△BCG的形状是　 　三角形；
②若AD=4，则BD=　 　。
（2）【问题探究】
如图2，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=m，BEAC，延长DC交BE于点E，连接AE
交BC于点F。
①当m=2时，试说明四边形ABEC是奇异四边形；
②是否存在m，使得四边形ABCD是奇异四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
（3）【应用拓展】
如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是奇异四边形，其中BD与AE为奇异对角线，AD与AC为奇异边，AB=n，求的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵选项A的图形沿任意直线折叠后，直线两侧部分无法完全重合，∴不是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，不符合题意。
∵选项B的图形沿对称轴折叠后两侧完全重合，是轴对称图形；绕任意点旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意。
∵选项C的图形既存在对称轴，沿对称轴折叠后两侧完全重合，是轴对称图形；又存在对称中心，绕对称中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合题意。
∵选项D的图形是轴对称图形，绕任意点旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念识别，属于基础几何概念题。解题时需分别依据两个定义对四个选项逐一验证，轴对称图形需找到能使图形折叠重合的直线，中心对称图形需找到能使图形旋转180°后重合的点，同时满足两个条件的选项即为正确答案，需注意区分两类图形的判定标准，避免将旋转对称与中心对称混淆。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：先将“13.6万”还原为原数，
∵1万 = 10000，
∴13.6万 = 13.6 × 10000 = 136000。
根据科学记数法的形式 （其中 ，n为整数），
将136000表示为 ，满足 ，n=5符合整数要求。
故答案为：A
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，是有理数运算中的基础题型。解题时先将带单位的“万”级数值转化为普通整数，再按照科学记数法的规范形式调整a的取值范围，通过移动小数点的位数确定指数n的值，同时需验证a的范围是否符合 的要求，排除不符合规范的选项。
3．【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A选项：
∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变、指数相乘，
∴，计算结果符合题意。
对于B选项：
∵负数的偶次幂为正，
∴，符号不符，不符合题意。
对于C选项：
∵负数的奇次幂为负，
∴，字母a的指数不符，不符合题意。
对于D选项：
∴，字母指数均不符，不符合题意。
故答案为：A
【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算规则，属于整式运算的基础考点。解题时需依次对四个选项应用积的乘方法则展开，再结合幂的乘方法则计算指数，过程中需注意符号规则：负数的偶次幂为正、奇次幂为负，同时区分括号外负号与底数带负号的不同运算结果，通过比对计算结果与目标式得到正确选项。
4．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：∵“画饼充饥”是无法实现的事情，一定不会发生，属于不可能事件，∴A不符合题意。
∵水位上升时，船受到的浮力不变，排开水的体积不变，船身必然随水位升高，“水涨船高”一定发生，属于必然事件，∴B符合题意。
∵“刻舟求剑”中剑的位置不会随船移动，无法通过刻痕找到剑，一定不会发生，属于不可能事件，∴C不符合题意。
∵“一箭双雕”可能发生也可能不发生，结果具有不确定性，属于随机事件，∴D不符合题意。
故答案为：B
【分析】本题考查必然事件的概念判定，属于概率初步的基础题型。解题时需结合生活常识与成语含义，判断每个选项描述的事件是否在一定条件下必然发生，其中必然事件是指一定条件下必定发生的事件，不可能事件是必定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，通过分类筛选即可得到答案。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，树垂直于地面，即 ，
∴ 为直角三角形。
在 中，根据正切函数的定义：
，
∵，，
∴。
故答案为：B
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，核心是锐角三角函数的定义。解题时先根据实际场景确定三角形为直角三角形，明确已知的角度与邻边长度，再结合正切函数对边比邻边的定义，通过变形推导得到对边（树高）的表达式，过程中需准确区分锐角三角函数中对边、邻边、斜边的对应关系，避免公式混淆。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：反向延长 的一边，与直尺的另一边相交，设形成的角为 。
∵直尺的两组对边互相平行，
∴根据两直线平行，同位角相等，可得 。
又∵直角三角尺的直角为 ，
∴，
∴。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质与直角三角形的角度计算，是几何基础的综合应用题。解题时通过作辅助线构造平行线的同位角，利用平行线同位角相等的性质将已知角转化到直角三角形中，再结合直角三角形两锐角互余的关系计算未知角的度数，关键是通过辅助线建立已知角与未知角的数量联系。
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设普通动车组列车的速度为 ，
∵高速铁路列车比普通动车组列车时速快100km/h，
∴高速铁路列车的速度为 。
根据“时间 = 路程 ÷ 速度”，可得：
普通动车组列车行驶时间为 ，
高速铁路列车行驶时间为 。
∵高速列车用时比普通列车少1小时，即普通列车用时 - 高速列车用时 = 1，
∴列方程为：。
故答案为：D
【分析】本题考查分式方程的行程类实际应用，核心是路程、速度、时间的数量关系。解题时先根据两车的速度差表示出高速列车的速度，再分别用路程除以速度得到两车的行驶时间，最后结合“高速列车用时少1小时”的等量关系列出方程，需注意速度大小与时间长短的对应关系，避免列反减数与被减数。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接 、，
∵四边形 是矩形，
∴，，，
∴。
∵AE平分 ，，
∴，
∴，
∴ 为等腰直角三角形，即 ，进而 。
∵，，
∴ 为等腰直角三角形。
∵M是FE的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得 ，且 ，
∴，，
∴。
又∵，
∴，
∴。
在 和 中：
∴(SAS)，
∴，，
∴，
即 为等腰直角三角形。
根据勾股定理：，
∵，
∴，解得 。
故答案为：B
【分析】本题综合考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，是四边形的综合应用题。解题时先利用矩形性质与角平分线定义推导出两个等腰直角三角形，得到边与角的等量关系；再连接辅助线 、，借助直角三角形斜边中线的性质得到相等的线段，通过SAS证明三角形全等，进而推导出 为等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算出 的长度，核心是通过全等三角形转化边与角的关系，构造特殊直角三角形求解。
9．【答案】-1
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的解，
∴将 代入方程，等式成立，
即 ，
整理得 ，
移项得 ，
即 ，
系数化为1得
故答案为：
【分析】本题考查一元一次方程的解的概念与解方程运算，属于基础代数题型。解题的核心是方程的解能使方程左右两边相等，因此将已知的解代入原方程，得到关于参数a的一元一次方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解即可得到a的值。
10．【答案】或3+x
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：.
【分析】原式可变形为，然后利用同分母分式减法法则进行计算.
11．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：在 中，，，，
∵，
∴，
由勾股定理得 。
由旋转的性质可知，旋转角 ，且 。
边AC扫过的面积 = 扇形 的面积 - 扇形 的面积。
根据扇形面积公式 ：
扇形 的面积：，
扇形 的面积：，
∴扫过的面积
故答案为：
【分析】本题考查图形旋转的性质与扇形面积的计算，属于几何变换的综合题型。解题时先在直角三角形中利用三角函数求出旋转角的度数与BC边的长度，再明确旋转过程中AC边扫过的图形为两个扇形的面积差，即大扇形ABA1减去小扇形CBC1；接着代入扇形面积公式分别计算两个扇形的面积，作差后即可得到最终结果，关键是理解旋转扫过区域的构成，利用旋转前后图形全等的性质简化面积计算。
12．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB在x轴上，
∴CD平行于x轴，CD = AB，
∵点C坐标为(2，4)，D在y轴上且纵坐标与C相同，
∴D点坐标为(0，4)。
∵E是CD的中点，
∴E点横坐标为 ，纵坐标为4，即E(1，4)。
将E(1，4)代入反比例函数 ，得 ，
∴反比例函数解析式为 。
∵F是BD的中点，D(0，4)，B点纵坐标为0，
∴F点的纵坐标为 。
∵F在反比例函数图象上，令 ，则 ，解得 ，
∴F点坐标为(2，2)。
设B点坐标为 ，由中点坐标公式：，解得 ，
∴B点坐标为(4，0)。
设直线BC的解析式为 ，代入B(4，0)、C(2，4)：
解得 ，，即直线BC：。
联立直线BC与反比例函数：
得 ，整理得 ，
解得 。
∵点G在BC上且横坐标大于2，
∴，代入直线方程得 ，
∴G点坐标为 。
故答案为：
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、反比例函数解析式求解、一次函数解析式求解及函数交点计算，是函数与四边形的综合题型。解题时先利用平行四边形对边平行的性质确定D点坐标，通过CD中点E求出反比例函数的k值；再结合中点坐标性质求出BD中点F的纵坐标，代入反比例函数得到F点坐标，反推得到B点坐标；接着用待定系数法求出直线BC的解析式，最后联立一次函数与反比例函数的方程，求解交点并根据位置筛选出符合条件的G点坐标，核心是逐步推导关键点的坐标，通过方程联立求交点。
13．【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长DF交AB的延长线于点N，过点D作 ，交AB的延长线于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，。
∵，∴。
∵，∴，
∵F是BE的中点，∴，
又∵（对顶角相等），
∴（ASA），
∴，，即F为DN中点。
∴。
在 中，，，
∴，
∴，
由勾股定理得 。
∵，
在 中，
，
∴。
∵，∴，
∴。
设 ，则 ，，
代入比例得：，
交叉相乘得：，
即 ，
移项得 ，解得 ，
即 。
故答案为：3
【分析】本题综合考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及含30°角的直角三角形性质，是四边形的综合计算题。解题时采用倍长中线的思路作辅助线，先通过ASA证明三角形全等，得到线段相等与中点关系；再作垂线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质与勾股定理求出DN的总长度；接着由平行线判定相似三角形，得到对应边成比例的关系，最后设未知数建立方程求解GF的长度，核心是通过全等与相似转化线段比例，建立方程求解未知线段。
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、负整数指数幂、零指数幂与特殊角的三角函数值四个基础考点。先分别化简每一项：根据绝对值的代数意义，判断为负，去绝对值后变为；依据负整数指数幂法则，等于底数的倒数即2；根据零指数幂法则，非零数的0次幂为1，故；熟记特殊角三角函数值，；再将化简后的各项按照加减运算法则合并计算，即可得到最终结果。
15．【答案】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
时，，
经检验，是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
16．【答案】（1）83；
补全七年级成绩数据条形统计图如下：
七年级成绩数据条形统计图
（2）解：由条形统计图可知七年级80分以上的有人，
故七年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人），
由扇形统计图可知八年级80分以上的占，
故八年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人），
答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有359人；
359
（3）解：该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好，理由：
因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是83.9，
但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，
且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，
所以该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级A组有（人），
30人成绩数据从小到大第15、16位的均值，
；
【分析】本题考查统计数据的综合分析，涉及条形统计图、扇形统计图、中位数、样本估计总体及数据对比分析。
（1）先根据总人数30人与已知B、C、D组的人数，计算出A组的人数，即可补全条形统计图；求中位数m时，将30个成绩从小到大排列，取第15、16个数据的平均值，结合A、B组总人数确定第15、16个数据均在C组内，对应C组数据排序后取对应数值计算平均数即可得到m的值；
（2）利用样本估计总体的思想，先分别计算七年级样本中成绩不低于80分的人数占比，乘以七年级总人数得到七年级达标人数；再从扇形统计图得出八年级不低于80分的人数占比，乘以八年级总人数得到八年级达标人数，最后将两个年级的人数相加即可；
（3）可从平均数、中位数、众数中的任意一个维度进行对比分析，在平均数相同的前提下，通过中位数或众数的大小判断成绩整体水平的高低，言之有理即可。
17．【答案】（1）解：设种食材每袋元，种食材每袋元，
由题意得：，
解得，
答：种食材每袋40元，种食材每袋50元．
（2）解：设采购费用为元，采购种食材袋，则采购种食材袋，
由题意得：，
∵种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍，
∴，
解得，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
又∵为正整数，
∴当时，的值最小，最小值为，
此时，
答：最节省费用的采购方案是采购种食材67袋，种食材23袋，此时最低采购费用为3830元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，属于方案优化类题型。
（1）设A、B两种食材的单价分别为x元、y元，根据素材一中两种采购方案的总费用，分别列出对应的二元一次方程，组成方程组，通过消元法解方程组即可得到两种食材的单价；
（2）先设采购A种食材a袋，总费用为W元，根据总袋数表示出B种食材的数量，结合单价写出总费用W关于a的一次函数关系式；再根据“A种食材数量不低于50袋”“不超过B种食材的3倍”两个限制条件，列出一元一次不等式组，求解得到a的取值范围；最后根据一次函数的增减性，结合a为正整数的条件，确定使总费用最小的a值，进而得到最优采购方案与最低费用。
18．【答案】（1）如图所示.
（2）∵AD与O相切于点D.
∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，
∴∠A+∠AOD=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠AOD，
∵DE=DE，
∴∠AOD=2∠ACD，
∴∠ABC=2∠ACD
（3）由题意可得：，
，
，
，
，，
，
，即，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；尺规作图-垂线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查圆的综合应用，涉及尺规作图、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理。
（1）依据过直线上一点作已知直线垂线的尺规作图方法，以点C为圆心画弧交AC于两点，再分别以两点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交点与C的连线即为AC的垂线，延长该线与AD的延长线交于点B即可完成作图；
（2）连接辅助线OD，先根据切线的性质得到OD垂直于AD，结合CB垂直于AC，利用同角的余角相等推导出；再依据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，得到，通过等量代换即可证明结论；
（3）先根据半径长度与AC的长度计算出AO的长度，在直角三角形ADO中用勾股定理求出AD的长；再通过两角分别相等证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，代入已知线段长度即可计算出BC的长度。
19．【答案】（1）解：∵，为的中点，
∴
由题意，得点的坐标为，点的坐标为．
设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为，
将点代入，得，解得．
大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为．
（2）解：①灯笼悬挂点到最高点的水平距离为，
点的横坐标为．
当时，．
．
灯笼底端到地面的距离约为．
②由①得灯笼底端到地面的距离为，且，
悬挂灯笼影响进车．
令，得，解得（负值已舍去）．
．
需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离约为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，属于抛物线建模的综合题型。
（1）根据坐标系设定与最高点坐标，设抛物线的顶点式为；由拱门宽度得到B点或D点的坐标，将点代入顶点式求出a的值，即可确定抛物线的函数表达式；
（2）①先根据悬挂点到P点的水平距离确定G点的横坐标，将横坐标代入抛物线解析式求出悬挂点的纵坐标，再减去灯笼自身的长度，即可得到灯笼底端到地面AB的距离；②先对比货车高度与灯笼底端高度，判断是否影响进车；若有影响，先计算出货车顶端高度加上灯笼长度对应的总高度，将该高度代入抛物线解析式求出对应的横坐标，该横坐标即为不影响进车的最大水平距离，再用原悬挂点的水平距离减去该横坐标，即可得到需要向中心点移动的最小水平距离。
20．【答案】（1）等腰；8
（2）①∵四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
∴四边形是奇异四边形；
②存在，的值为或时，四边形是奇异四边形，
理由如下：
分以下两种情况：
当时，四边形是奇异四边形，
，，
，
，
，
解得（负值舍去），
；
当时，四边形是奇异四边形，
，，
，
，
解得：（负值舍去），
；
的值为或时，四边形是奇异四边形；
（3）解：∵四边形是奇异四边形，为奇异对角线，为奇异边，
，
，
∵四边形是奇异四边形，为奇异对角线，为奇异边，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∴相似比为1，
，
，
作于，如图3所示：
，
，
设，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形是奇异四边形，是奇异对角线，是奇异边，
∴四边形是平行四边形，，
，
与的形状是等腰三角形；
②，
；
【分析】本题是新定义类四边形综合题，结合平行四边形、矩形的性质，考查全等三角形、相似三角形与勾股定理的应用。
（1）①根据奇异四边形的定义，得到BD = 2AD，再结合平行四边形对角线互相平分的性质，可得DG = AD、BG = BC，由此可判断两个三角形均为等腰三角形；②直接根据奇异对角线是奇异边的两倍，代入AD的长度即可求出BD的长度；
（2）①先根据两组对边分别平行判定四边形ABEC是平行四边形，再代入k=2计算BC与AB的长度关系，验证BC = 2AB，符合奇异四边形的定义，即可得证；②分两种情况讨论：当AC为奇异对角线、CD为奇异边时，由AC = 2CD结合勾股定理列方程求解k；当AC为奇异对角线、AD为奇异边时，由AC = 2AD结合勾股定理列方程求解k，两种情况均需舍去负根，得到符合条件的k值；
（3）先根据奇异四边形的定义得到边相等的关系，推导出对应角相等，结合两边成比例且夹角相等证明三角形相似，再由对应边相等推出相似比为1，即三角形全等，得到AC = AD；接着作垂线构造直角三角形，设未知数表示出各线段长度，利用勾股定理表示出CD的长度，结合CD = AB = n建立方程，最终求出AB与AD的比值。
1 / 1广东省深圳外国语学校2026年九年级数学中考三模试卷
1．中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样.下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵选项A的图形沿任意直线折叠后，直线两侧部分无法完全重合，∴不是轴对称图形；绕中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，不符合题意。
∵选项B的图形沿对称轴折叠后两侧完全重合，是轴对称图形；绕任意点旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意。
∵选项C的图形既存在对称轴，沿对称轴折叠后两侧完全重合，是轴对称图形；又存在对称中心，绕对称中心旋转180°后与原图形重合，是中心对称图形，符合题意。
∵选项D的图形是轴对称图形，绕任意点旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意。
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念识别，属于基础几何概念题。解题时需分别依据两个定义对四个选项逐一验证，轴对称图形需找到能使图形折叠重合的直线，中心对称图形需找到能使图形旋转180°后重合的点，同时满足两个条件的选项即为正确答案，需注意区分两类图形的判定标准，避免将旋转对称与中心对称混淆。
2．“激情全运会，活力大湾区”，第十五届全国运动会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办.其中，深圳大运中心体育场将承办部分足球赛事，深圳大运中心体育场建筑面积13.6万平方米.数据“13.6万”用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：先将“13.6万”还原为原数，
∵1万 = 10000，
∴13.6万 = 13.6 × 10000 = 136000。
根据科学记数法的形式 （其中 ，n为整数），
将136000表示为 ，满足 ，n=5符合整数要求。
故答案为：A
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，是有理数运算中的基础题型。解题时先将带单位的“万”级数值转化为普通整数，再按照科学记数法的规范形式调整a的取值范围，通过移动小数点的位数确定指数n的值，同时需验证a的范围是否符合 的要求，排除不符合规范的选项。
3．下列各式计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：对于A选项：
∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变、指数相乘，
∴，计算结果符合题意。
对于B选项：
∵负数的偶次幂为正，
∴，符号不符，不符合题意。
对于C选项：
∵负数的奇次幂为负，
∴，字母a的指数不符，不符合题意。
对于D选项：
∴，字母指数均不符，不符合题意。
故答案为：A
【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算规则，属于整式运算的基础考点。解题时需依次对四个选项应用积的乘方法则展开，再结合幂的乘方法则计算指数，过程中需注意符号规则：负数的偶次幂为正、奇次幂为负，同时区分括号外负号与底数带负号的不同运算结果，通过比对计算结果与目标式得到正确选项。
4．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　）
A．画饼充饥 B．水涨船高 C．刻舟求剑 D．一箭双雕
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：∵“画饼充饥”是无法实现的事情，一定不会发生，属于不可能事件，∴A不符合题意。
∵水位上升时，船受到的浮力不变，排开水的体积不变，船身必然随水位升高，“水涨船高”一定发生，属于必然事件，∴B符合题意。
∵“刻舟求剑”中剑的位置不会随船移动，无法通过刻痕找到剑，一定不会发生，属于不可能事件，∴C不符合题意。
∵“一箭双雕”可能发生也可能不发生，结果具有不确定性，属于随机事件，∴D不符合题意。
故答案为：B
【分析】本题考查必然事件的概念判定，属于概率初步的基础题型。解题时需结合生活常识与成语含义，判断每个选项描述的事件是否在一定条件下必然发生，其中必然事件是指一定条件下必定发生的事件，不可能事件是必定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，通过分类筛选即可得到答案。
5．如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C，在C处测得∠ACB=51°，BC=6m，则树AB的高为（　　）m.
A． B．6tan51° C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，树垂直于地面，即 ，
∴ 为直角三角形。
在 中，根据正切函数的定义：
，
∵，，
∴。
故答案为：B
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，核心是锐角三角函数的定义。解题时先根据实际场景确定三角形为直角三角形，明确已知的角度与邻边长度，再结合正切函数对边比邻边的定义，通过变形推导得到对边（树高）的表达式，过程中需准确区分锐角三角函数中对边、邻边、斜边的对应关系，避免公式混淆。
6．将一把直角三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若∠α=44°，则∠β的度数为（　　）
A．44° B．45° C．46° D．54ˊ
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：反向延长 的一边，与直尺的另一边相交，设形成的角为 。
∵直尺的两组对边互相平行，
∴根据两直线平行，同位角相等，可得 。
又∵直角三角尺的直角为 ，
∴，
∴。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质与直角三角形的角度计算，是几何基础的综合应用题。解题时通过作辅助线构造平行线的同位角，利用平行线同位角相等的性质将已知角转化到直角三角形中，再结合直角三角形两锐角互余的关系计算未知角的度数，关键是通过辅助线建立已知角与未知角的数量联系。
7．从北站出发到杭州东站路程约875km，有高速铁路列车和普通动车组列车可供选择，高速铁路列车比普通动车组列车平均时速快100km/h，乘坐高速铁路列车所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1h.设普通动车组列车的速度是xkm/h，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设普通动车组列车的速度为 ，
∵高速铁路列车比普通动车组列车时速快100km/h，
∴高速铁路列车的速度为 。
根据“时间 = 路程 ÷ 速度”，可得：
普通动车组列车行驶时间为 ，
高速铁路列车行驶时间为 。
∵高速列车用时比普通列车少1小时，即普通列车用时 - 高速列车用时 = 1，
∴列方程为：。
故答案为：D
【分析】本题考查分式方程的行程类实际应用，核心是路程、速度、时间的数量关系。解题时先根据两车的速度差表示出高速列车的速度，再分别用路程除以速度得到两车的行驶时间，最后结合“高速列车用时少1小时”的等量关系列出方程，需注意速度大小与时间长短的对应关系，避免列反减数与被减数。
8．如图，矩形ABCD中，AD>AB，∠BAD的平分线与DC的延长线相交于点E，AE与BC相交于点F，点M为FE的中点，连接BD，DM.若BD=14，则DM的长是（　　）
A．7 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接 、，
∵四边形 是矩形，
∴，，，
∴。
∵AE平分 ，，
∴，
∴，
∴ 为等腰直角三角形，即 ，进而 。
∵，，
∴ 为等腰直角三角形。
∵M是FE的中点，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得 ，且 ，
∴，，
∴。
又∵，
∴，
∴。
在 和 中：
∴(SAS)，
∴，，
∴，
即 为等腰直角三角形。
根据勾股定理：，
∵，
∴，解得 。
故答案为：B
【分析】本题综合考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，是四边形的综合应用题。解题时先利用矩形性质与角平分线定义推导出两个等腰直角三角形，得到边与角的等量关系；再连接辅助线 、，借助直角三角形斜边中线的性质得到相等的线段，通过SAS证明三角形全等，进而推导出 为等腰直角三角形，最后利用勾股定理计算出 的长度，核心是通过全等三角形转化边与角的关系，构造特殊直角三角形求解。
9．已知关于x的方程5x-2a=12的解是x=2，则a=　 　.
【答案】-1
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵ 是方程 的解，
∴将 代入方程，等式成立，
即 ，
整理得 ，
移项得 ，
即 ，
系数化为1得
故答案为：
【分析】本题考查一元一次方程的解的概念与解方程运算，属于基础代数题型。解题的核心是方程的解能使方程左右两边相等，因此将已知的解代入原方程，得到关于参数a的一元一次方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解即可得到a的值。
10．化简：　 　.
【答案】或3+x
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：.
【分析】原式可变形为，然后利用同分母分式减法法则进行计算.
11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=1cm，AB=2cm，以B为中心，将α∈ABC顺时针旋转，使得点A落在CB延长线上的A1点，此时点C落到点C1，则在旋转中，边AC变到边A1C1所扫过的面积为　 　平方厘米（结果保留π）.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：在 中，，，，
∵，
∴，
由勾股定理得 。
由旋转的性质可知，旋转角 ，且 。
边AC扫过的面积 = 扇形 的面积 - 扇形 的面积。
根据扇形面积公式 ：
扇形 的面积：，
扇形 的面积：，
∴扫过的面积
故答案为：
【分析】本题考查图形旋转的性质与扇形面积的计算，属于几何变换的综合题型。解题时先在直角三角形中利用三角函数求出旋转角的度数与BC边的长度，再明确旋转过程中AC边扫过的图形为两个扇形的面积差，即大扇形ABA1减去小扇形CBC1；接着代入扇形面积公式分别计算两个扇形的面积，作差后即可得到最终结果，关键是理解旋转扫过区域的构成，利用旋转前后图形全等的性质简化面积计算。
12．如图，ABCD的AB边在x轴上，顶点D在y轴上，点C的坐标为（2，4），反比例函数的图象同时经过CD的中点E和BD的中点F，交BC于点G，则点G的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB在x轴上，
∴CD平行于x轴，CD = AB，
∵点C坐标为(2，4)，D在y轴上且纵坐标与C相同，
∴D点坐标为(0，4)。
∵E是CD的中点，
∴E点横坐标为 ，纵坐标为4，即E(1，4)。
将E(1，4)代入反比例函数 ，得 ，
∴反比例函数解析式为 。
∵F是BD的中点，D(0，4)，B点纵坐标为0，
∴F点的纵坐标为 。
∵F在反比例函数图象上，令 ，则 ，解得 ，
∴F点坐标为(2，2)。
设B点坐标为 ，由中点坐标公式：，解得 ，
∴B点坐标为(4，0)。
设直线BC的解析式为 ，代入B(4，0)、C(2，4)：
解得 ，，即直线BC：。
联立直线BC与反比例函数：
得 ，整理得 ，
解得 。
∵点G在BC上且横坐标大于2，
∴，代入直线方程得 ，
∴G点坐标为 。
故答案为：
【分析】本题综合考查平行四边形的性质、反比例函数解析式求解、一次函数解析式求解及函数交点计算，是函数与四边形的综合题型。解题时先利用平行四边形对边平行的性质确定D点坐标，通过CD中点E求出反比例函数的k值；再结合中点坐标性质求出BD中点F的纵坐标，代入反比例函数得到F点坐标，反推得到B点坐标；接着用待定系数法求出直线BC的解析式，最后联立一次函数与反比例函数的方程，求解交点并根据位置筛选出符合条件的G点坐标，核心是逐步推导关键点的坐标，通过方程联立求交点。
13．如图，四边形ABCD是菱形，，点E是边CD上一点，连接AE，BE，点F是BE的中点，连接DF交AE于点G.若CE=2，则GF的长为　 　.
【答案】3
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长DF交AB的延长线于点N，过点D作 ，交AB的延长线于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，。
∵，∴。
∵，∴，
∵F是BE的中点，∴，
又∵（对顶角相等），
∴（ASA），
∴，，即F为DN中点。
∴。
在 中，，，
∴，
∴，
由勾股定理得 。
∵，
在 中，
，
∴。
∵，∴，
∴。
设 ，则 ，，
代入比例得：，
交叉相乘得：，
即 ，
移项得 ，解得 ，
即 。
故答案为：3
【分析】本题综合考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及含30°角的直角三角形性质，是四边形的综合计算题。解题时采用倍长中线的思路作辅助线，先通过ASA证明三角形全等，得到线段相等与中点关系；再作垂线构造直角三角形，利用30°直角三角形的性质与勾股定理求出DN的总长度；接着由平行线判定相似三角形，得到对应边成比例的关系，最后设未知数建立方程求解GF的长度，核心是通过全等与相似转化线段比例，建立方程求解未知线段。
14．计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、负整数指数幂、零指数幂与特殊角的三角函数值四个基础考点。先分别化简每一项：根据绝对值的代数意义，判断为负，去绝对值后变为；依据负整数指数幂法则，等于底数的倒数即2；根据零指数幂法则，非零数的0次幂为1，故；熟记特殊角三角函数值，；再将化简后的各项按照加减运算法则合并计算，即可得到最终结果。
15．解方程：．
【答案】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
时，，
经检验，是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
16．智启未来，创想无限.为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.60≤x<70；B.70≤x<80；C.80≤x<90；D.90≤x≤100），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89.
七、八年级成绩数据统计表
年级 七年级 八年级
平均数 83.9 83.9
中位数 m 84
众数 78 84
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m= ▲ ；
（2）该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人
（3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好 并请说出一条理由.
【答案】（1）83；
补全七年级成绩数据条形统计图如下：
七年级成绩数据条形统计图
（2）解：由条形统计图可知七年级80分以上的有人，
故七年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人），
由扇形统计图可知八年级80分以上的占，
故八年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人），
答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有359人；
359
（3）解：该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好，理由：
因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是83.9，
但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，
且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，
所以该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级A组有（人），
30人成绩数据从小到大第15、16位的均值，
；
【分析】本题考查统计数据的综合分析，涉及条形统计图、扇形统计图、中位数、样本估计总体及数据对比分析。
（1）先根据总人数30人与已知B、C、D组的人数，计算出A组的人数，即可补全条形统计图；求中位数m时，将30个成绩从小到大排列，取第15、16个数据的平均值，结合A、B组总人数确定第15、16个数据均在C组内，对应C组数据排序后取对应数值计算平均数即可得到m的值；
（2）利用样本估计总体的思想，先分别计算七年级样本中成绩不低于80分的人数占比，乘以七年级总人数得到七年级达标人数；再从扇形统计图得出八年级不低于80分的人数占比，乘以八年级总人数得到八年级达标人数，最后将两个年级的人数相加即可；
（3）可从平均数、中位数、众数中的任意一个维度进行对比分析，在平均数相同的前提下，通过中位数或众数的大小判断成绩整体水平的高低，言之有理即可。
17．请你根据下列材料，完成有关任务.
背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”.为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购A，B两种新鲜食材.
素材一 商家：若购买1袋A种食材和3袋B种食材共需190元；若购买2袋A种食材和2袋B种食材共需180元.并且整袋售卖，不拆分.
素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共90袋，A种食材数量不低于50袋，且不超过B种食材的3倍.
请完成下列任务：
（1） A，B两种食材每袋单价分别是多少元
（2）请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出最节省费用的采购方案，并求出最低采购费用.
【答案】（1）解：设种食材每袋元，种食材每袋元，
由题意得：，
解得，
答：种食材每袋40元，种食材每袋50元．
（2）解：设采购费用为元，采购种食材袋，则采购种食材袋，
由题意得：，
∵种食材数量不低于袋，且不超过种食材的3倍，
∴，
解得，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
又∵为正整数，
∴当时，的值最小，最小值为，
此时，
答：最节省费用的采购方案是采购种食材67袋，种食材23袋，此时最低采购费用为3830元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，属于方案优化类题型。
（1）设A、B两种食材的单价分别为x元、y元，根据素材一中两种采购方案的总费用，分别列出对应的二元一次方程，组成方程组，通过消元法解方程组即可得到两种食材的单价；
（2）先设采购A种食材a袋，总费用为W元，根据总袋数表示出B种食材的数量，结合单价写出总费用W关于a的一次函数关系式；再根据“A种食材数量不低于50袋”“不超过B种食材的3倍”两个限制条件，列出一元一次不等式组，求解得到a的取值范围；最后根据一次函数的增减性，结合a为正整数的条件，确定使总费用最小的a值，进而得到最优采购方案与最低费用。
18．如图，已知O为△CED的外接圆，CE为O的直径，点A在CE的延长线上且AD与O相切于点D.
（1）利用圆规和无刻度直尺过点C作CB⊥AC交AD延长线于点B；
（2）求证：
（3）若AC=16，O的半径为6，求BC的长.
【答案】（1）如图所示.
（2）∵AD与O相切于点D.
∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，
∴∠A+∠AOD=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠AOD，
∵DE=DE，
∴∠AOD=2∠ACD，
∴∠ABC=2∠ACD
（3）由题意可得：，
，
，
，
，，
，
，即，
．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；尺规作图-垂线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查圆的综合应用，涉及尺规作图、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理。
（1）依据过直线上一点作已知直线垂线的尺规作图方法，以点C为圆心画弧交AC于两点，再分别以两点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交点与C的连线即为AC的垂线，延长该线与AD的延长线交于点B即可完成作图；
（2）连接辅助线OD，先根据切线的性质得到OD垂直于AD，结合CB垂直于AC，利用同角的余角相等推导出；再依据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，得到，通过等量代换即可证明结论；
（3）先根据半径长度与AC的长度计算出AO的长度，在直角三角形ADO中用勾股定理求出AD的长；再通过两角分别相等证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，代入已知线段长度即可计算出BC的长度。
19．【问题引入】
如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动.
【问题情境】
学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量，拱门的宽AB=6m，拱门最高点P到地面AB的距离为4m，AC和BD垂直于地面，高度均为1m.
【问题解决】
（1）求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式.
（2）如图2，线段EF和GH分别表示大门两侧悬挂的灯笼.已知每个灯笼的长为1.1m（含挂线），灯笼悬挂点G，E到最高点P的水平距离均为1.2m.
①求灯笼底端H到地面AB的距离.
②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校.若货车的高为2.7m，宽为2.4m，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点P处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）.
【答案】（1）解：∵，为的中点，
∴
由题意，得点的坐标为，点的坐标为．
设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为，
将点代入，得，解得．
大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为．
（2）解：①灯笼悬挂点到最高点的水平距离为，
点的横坐标为．
当时，．
．
灯笼底端到地面的距离约为．
②由①得灯笼底端到地面的距离为，且，
悬挂灯笼影响进车．
令，得，解得（负值已舍去）．
．
需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离约为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，属于抛物线建模的综合题型。
（1）根据坐标系设定与最高点坐标，设抛物线的顶点式为；由拱门宽度得到B点或D点的坐标，将点代入顶点式求出a的值，即可确定抛物线的函数表达式；
（2）①先根据悬挂点到P点的水平距离确定G点的横坐标，将横坐标代入抛物线解析式求出悬挂点的纵坐标，再减去灯笼自身的长度，即可得到灯笼底端到地面AB的距离；②先对比货车高度与灯笼底端高度，判断是否影响进车；若有影响，先计算出货车顶端高度加上灯笼长度对应的总高度，将该高度代入抛物线解析式求出对应的横坐标，该横坐标即为不影响进车的最大水平距离，再用原悬挂点的水平距离减去该横坐标，即可得到需要向中心点移动的最小水平距离。
20．定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做奇异四边形，其中这条对角线叫做奇异对角线，这条边叫做奇异边.
（1）【概念理解〗
如图1，四边形ABCD是奇异四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是奇异对角线，AD是奇异边。
①△ADG与△BCG的形状是　 　三角形；
②若AD=4，则BD=　 　。
（2）【问题探究】
如图2，四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=m，BEAC，延长DC交BE于点E，连接AE
交BC于点F。
①当m=2时，试说明四边形ABEC是奇异四边形；
②是否存在m，使得四边形ABCD是奇异四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
（3）【应用拓展】
如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是奇异四边形，其中BD与AE为奇异对角线，AD与AC为奇异边，AB=n，求的值。
【答案】（1）等腰；8
（2）①∵四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
∴四边形是奇异四边形；
②存在，的值为或时，四边形是奇异四边形，
理由如下：
分以下两种情况：
当时，四边形是奇异四边形，
，，
，
，
，
解得（负值舍去），
；
当时，四边形是奇异四边形，
，，
，
，
解得：（负值舍去），
；
的值为或时，四边形是奇异四边形；
（3）解：∵四边形是奇异四边形，为奇异对角线，为奇异边，
，
，
∵四边形是奇异四边形，为奇异对角线，为奇异边，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∴相似比为1，
，
，
作于，如图3所示：
，
，
设，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形是奇异四边形，是奇异对角线，是奇异边，
∴四边形是平行四边形，，
，
与的形状是等腰三角形；
②，
；
【分析】本题是新定义类四边形综合题，结合平行四边形、矩形的性质，考查全等三角形、相似三角形与勾股定理的应用。
（1）①根据奇异四边形的定义，得到BD = 2AD，再结合平行四边形对角线互相平分的性质，可得DG = AD、BG = BC，由此可判断两个三角形均为等腰三角形；②直接根据奇异对角线是奇异边的两倍，代入AD的长度即可求出BD的长度；
（2）①先根据两组对边分别平行判定四边形ABEC是平行四边形，再代入k=2计算BC与AB的长度关系，验证BC = 2AB，符合奇异四边形的定义，即可得证；②分两种情况讨论：当AC为奇异对角线、CD为奇异边时，由AC = 2CD结合勾股定理列方程求解k；当AC为奇异对角线、AD为奇异边时，由AC = 2AD结合勾股定理列方程求解k，两种情况均需舍去负根，得到符合条件的k值；
（3）先根据奇异四边形的定义得到边相等的关系，推导出对应角相等，结合两边成比例且夹角相等证明三角形相似，再由对应边相等推出相似比为1，即三角形全等，得到AC = AD；接着作垂线构造直角三角形，设未知数表示出各线段长度，利用勾股定理表示出CD的长度，结合CD = AB = n建立方程，最终求出AB与AD的比值。
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