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2026徐州专版中考数学
考点强化练23　锐角三角函数
基础过关
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,则sin B的值是(　　)
A. B. C. D.
2.在△ABC中,∠C=90°,tan A=,AC=2,则BC的长为(　　)
A.1 B.2 C. D.5
3.(2025·广东广州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,已知cos∠CAD=,AB=26,则点B到AD的距离为　　　　.
4.如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C都在格点上,则sin∠ABC=　　　　.
5.在计算时,小亮的计算过程如下:
解:
=
=
=-2
小莹发现小亮的计算有误,帮助小亮找出了3个错误.请你找出其他错误,参照①~③的格式写在横线上,并依次标注序号:
①-22=4;②(-1)10=-1;③|-6|=-6;　 .
请写出正确的计算过程.
能力提升
6.(2025·四川自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO平移,得到△EFG,点E、F在坐标轴上.若∠A=90°,tan B=,A(-4,3),则点G的坐标为(　　)
A.(11,-4) B.(10,-3)
C.(12,-3) D.(9,-4)
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,D是AC上一点,连接BD.若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为(　　)
A.2 B.3
C. D.2
8.计算:+cos 60°-(-3 018)0=　　　　.
9.如图,在△ABC中,AB=BC,tan B=,D为BC上一点,若满足CD=BD,过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E,则=　　　　.
10.(2025·四川乐山中考)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=60°,AC=2.求:
(1)AB的长;
(2)点C到线段AB的距离.
创新拓展
11.如图,根据提供的数据回答下列问题:
图①
图②
(1)在图①中,sin A=　　　,cos A=　　　,sin2A+cos2A=　　　;在图②中,sin A1=　　　,cos A1=　　　,sin2A1+cos2A1=　　　,
通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律 用一个一般式子把你发现的规律表示出来,并加以证明.
(2)在图①中,tan A=　　　,=　　　;在图②中,tan A1=　　　,=　　　　,
通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律 用一个一般式子把你发现的规律表示出来,并加以证明.
考点强化练23　锐角三角函数
基础过关
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,则sin B的值是(　　)
A. B. C. D.
答案:C
解析:∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC==5,
∴sin B=.故选C.
2.在△ABC中,∠C=90°,tan A=,AC=2,则BC的长为(　　)
A.1 B.2 C. D.5
答案:C
解析:如图,在△ABC中,tan A=,又AC=2,∴BC=AC=.故选C.
3.(2025·广东广州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,已知cos∠CAD=,AB=26,则点B到AD的距离为　　　　.
答案:10
解析:如图,过点D作DH⊥AB于点H.
∵∠C=90°,cos∠CAD=,
∴可设AC=12k,AD=13k,则CD=5k.
∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DH⊥AB,
∴DH=CD=5k.
设点B到AD的距离为h,则有×13k×h=×26×5k,
解得h=10.
故点B到AD的距离为10.
4.如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C都在格点上,则sin∠ABC=　　　　.
答案:
解析:如图,连接AC,由勾股定理,
得AB2=22+42=20,BC2=12+32=10,AC2=12+32=10,
则BC2+AC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∴sin∠ABC=.
5.在计算时,小亮的计算过程如下:
解:
=
=
=-2
小莹发现小亮的计算有误,帮助小亮找出了3个错误.请你找出其他错误,参照①~③的格式写在横线上,并依次标注序号:
①-22=4;②(-1)10=-1;③|-6|=-6;　 .
请写出正确的计算过程.
解:④tan 30°=;⑤(-2)-2=22;
⑥(-2)0=0.
原式==28.
能力提升
6.(2025·四川自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO平移,得到△EFG,点E、F在坐标轴上.若∠A=90°,tan B=,A(-4,3),则点G的坐标为(　　)
A.(11,-4) B.(10,-3)
C.(12,-3) D.(9,-4)
答案:B
解析:过点A作AH⊥y轴于点H,作BK⊥AH交HA的延长线于点K,则∠AHO=∠K=90°=∠BAO,∴∠BAK=∠AOH=90°-∠HAO,∴△AHO∽△BKA,∴.在Rt△ABO中,tan∠ABO=,A(-4,3),∴OH=3,AH=4,,∴,∴BK=8,AK=6.∵将△ABO平移,∴OF=BK=8,OE=AK=6,∴E(6,0),∴将点A先向右平移10个单位长度,再向下平移3个单位长度得到点E,∴将点O(0,0)先向右平移10个单位长度,再向下平移3个单位长度得到点G,∴G(10,-3).故选B.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,D是AC上一点,连接BD.若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为(　　)
A.2 B.3
C. D.2
答案:C
解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵tan A=,tan∠ABD=,∴AE=2DE,BE=3DE,∴AB=AE+BE=5DE.在Rt△ABC中,tan A=,BC=,∴,解得AC=2,∴AB==5,∴DE=1,∴AE=2,∴AD=,∴CD=AC-AD=.故选C.
8.计算:+cos 60°-(-3 018)0=　　　　.
答案:-1
解析:+cos 60°-(-3 018)0=--1=-1.
9.如图,在△ABC中,AB=BC,tan B=,D为BC上一点,若满足CD=BD,过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E,则=　　　　.
答案:
解析:如图,过点A作AH⊥CB于点H,过点C作CM⊥AD于点M.
∵AB=BC,,
设BD=8a,则CD=5a,
∴BC=AB=BD+CD=13a.
又tan B=,∴AH=5a,BH=12a,
∴DH=BH-BD=4a,CH=a.
在Rt△ACH中,AC=a.
在Rt△ADH中,AD=a.
∴cos∠ADC=,
∴DM=CD·cos∠ADC=a,
∴AM=AD-DM=a,
∴.
10.(2025·四川乐山中考)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=60°,AC=2.求:
(1)AB的长;
(2)点C到线段AB的距离.
解:(1)如图,过点A作AJ⊥BC于点J.
在Rt△ACJ中,AC=2,∠ACJ=60°,
∴AJ=ACsin 60°=,CJ=ACcos 60°=1.
在Rt△ABJ中,∠B=45°,
∴AJ=BJ=,
∴AB=AJ=.
(2)如图,过点C作CK⊥AB于点K.
由(1)可知BC=CJ+BJ=1+,
∵AB·CK=BC·AJ,
∴CK=,
∴点C到线段AB的距离为.
创新拓展
11.如图,根据提供的数据回答下列问题:
图①
图②
(1)在图①中,sin A=　　　,cos A=　　　,sin2A+cos2A=　　　;在图②中,sin A1=　　　,cos A1=　　　,sin2A1+cos2A1=　　　,
通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律 用一个一般式子把你发现的规律表示出来,并加以证明.
(2)在图①中,tan A=　　　,=　　　;在图②中,tan A1=　　　,=　　　　,
通过以上两个特殊例子,你发现了什么规律 用一个一般式子把你发现的规律表示出来,并加以证明.
解:(1)sin A=,cos A=,sin2A+cos2A=1;
sin A1=,cos A1=,sin2A1+cos2A1=1.
规律:对于任意锐角α,有sin2α+cos2α=1.
证明:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
sin α=,cos α=,c2=a2+b2,sin2α+cos2α==1.
(2)tan A=;
tan A1=.
规律:对于任意锐角α,有tan α=.
证明:如图,∵tan α=,
∴tan α=.
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