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2026徐州专版中考数学
考点强化练24　解直角三角形的实际应用
基础过关
1.如图,小丽从点A出发,沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B,则她沿垂直方向升高了(　　)
A.米 B.米
C.120tan 10°米 D.120sin 10°米
2.某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度,测量方案如图所示.无人机在距水平地面119 m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°,再将无人机沿水平方向飞行74 m到达点N,测得潮汐塔底端B的俯角为45°(点M、N、A、B在同一平面内),则潮汐塔AB的高度为(　　)(结果精确到1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
A.41 m B.42 m C.48 m D.51 m
3.(2025·内蒙古中考)如图,因地形原因,湖泊两端A、B的距离不易测量,某科技小组需要用无人机进行测量,他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处,从C点测得A点的俯角为60°,测得B点的俯角为30°(A、B、C三点在同一竖直平面内),则湖泊两端A、B的距离为　　　　m.(结果保留根号)
4.(2025·山东济南中考)某水上乐园有两个相邻的水上滑梯,如图所示,左边滑梯的长度AB为21 m,倾斜角为40°,右边滑梯的高度DF为11 m,倾斜角为32°,支架AC、NF都与地面垂直,AN、MD都与地面平行,两支架之间的距离CF为3 m(点B、C、F、E在同一条直线上).
(1)求两滑梯的高度差;
(2)两滑梯的底端分别为B、E,求BE的长.
(结果精确到0.01 m.参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766,tan 40°≈0.839)
能力提升
5.如图,有一天桥AB高为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠D=30°,则CD的长度约为(　　)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
A.1.59米 B.2.07米
C.3.55米 D.3.66米
6.某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB、CD在同一平面内,B、D在同一水平面上),则建筑物CD的高为(　　)
A.20米 B.15米
C.12米 D.(10+5)米
7.(2025·黑龙江绥化中考)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高BC=15 m,则迎水坡面AB的长度是　　　　.
8.(2025·四川资阳中考)如图,已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN,该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°,在B处测得C的仰角为60°,斜坡AB的坡度i=1∶3,AB=10米(点A、B、C、D在同一竖直平面内).求:
(1)平台BN的高度;
(2)建筑物CD的高度.
创新拓展
9.下图为一工具模型示意图,已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4 dm,OB=12 dm,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为　　　　dm.(结果用含根号的式子表示)
考点强化练24　解直角三角形的实际应用
基础过关
1.如图,小丽从点A出发,沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B,则她沿垂直方向升高了(　　)
A.米 B.米
C.120tan 10°米 D.120sin 10°米
答案:D
解析:由题意可知,在Rt△ABC中(如图),AB=120米,∠A=10°,∴BC=ABsin A=120sin 10°米.故选D.
2.某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度,测量方案如图所示.无人机在距水平地面119 m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°,再将无人机沿水平方向飞行74 m到达点N,测得潮汐塔底端B的俯角为45°(点M、N、A、B在同一平面内),则潮汐塔AB的高度为(　　)(结果精确到1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
A.41 m B.42 m C.48 m D.51 m
答案:B
解析:如图,延长BA交MN于点C,则∠ACN=90°,由题意可知,BC=119 m,MN=74 m,∠BNC=45°,∴CN=CB=119 m,∴CM=CN+MN=119+74=193(m),
∴tan∠AMC==tan 22°≈0.40,
∴AC≈77.2 m,∴AB=BC-AC≈119-77.2≈42(m).故选B.
3.(2025·内蒙古中考)如图,因地形原因,湖泊两端A、B的距离不易测量,某科技小组需要用无人机进行测量,他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处,从C点测得A点的俯角为60°,测得B点的俯角为30°(A、B、C三点在同一竖直平面内),则湖泊两端A、B的距离为　　　　m.(结果保留根号)
答案:120
解析:如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D,
由题意得EF∥AB,∴∠FCA=∠A=60°,∠ECB=∠B=30°.
在Rt△ACD中,CD=90 m,
∴AD==30(m);
在Rt△BCD中,BD==90(m).
∴AB=AD+BD=30+90=120(m),
故湖泊两端A、B的距离为120 m.
4.(2025·山东济南中考)某水上乐园有两个相邻的水上滑梯,如图所示,左边滑梯的长度AB为21 m,倾斜角为40°,右边滑梯的高度DF为11 m,倾斜角为32°,支架AC、NF都与地面垂直,AN、MD都与地面平行,两支架之间的距离CF为3 m(点B、C、F、E在同一条直线上).
(1)求两滑梯的高度差;
(2)两滑梯的底端分别为B、E,求BE的长.
(结果精确到0.01 m.参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766,tan 40°≈0.839)
解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=40°,
∴AC=ABsin 40°≈21×0.643=13.503(m),
∴ND=NF-DF=AC-DF=13.503-11≈2.50 m,
故两滑梯的高度差约为2.50 m.
(2)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=40°,
∴BC=ABcos 40°≈21×0.766=16.086(m).
在Rt△EFD中,∠DEF=90°,∠E=32°,
∴EF==17.6(m).
∴BE=BC+CF+EF=16.086+3+17.6≈36.69(m),
故BE的长约为36.69 m.
能力提升
5.如图,有一天桥AB高为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠D=30°,则CD的长度约为(　　)(参考数据:≈1.414,≈1.732)
A.1.59米 B.2.07米
C.3.55米 D.3.66米
答案:D
解析:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AC=AB=5米.在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠D=30°,∴AD==5(米),∴CD=AD-AC=5-5≈5×1.732-5=3.66(米),∴CD的长度约为3.66米.故选D.
6.某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB、CD在同一平面内,B、D在同一水平面上),则建筑物CD的高为(　　)
A.20米 B.15米
C.12米 D.(10+5)米
答案:B
解析:设过点A的水平线交CD于点E,如图.
由题意,知四边形ABDE是矩形,DE=AB=10,AE=BD,在Rt△BCD中,BD=CD.在Rt△ACE中,AE=(CD-DE)=(CD-10),
∴(CD-10)=CD,解得CD=15.故选B.
7.(2025·黑龙江绥化中考)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高BC=15 m,则迎水坡面AB的长度是　　　　.
答案:15 m
解析:∵斜坡AB的斜面坡度i=1∶,∴BC∶AC=1∶.
又BC=15 m,∴AC=15 m.
由勾股定理,得AB==15(m).
8.(2025·四川资阳中考)如图,已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN,该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°,在B处测得C的仰角为60°,斜坡AB的坡度i=1∶3,AB=10米(点A、B、C、D在同一竖直平面内).求:
(1)平台BN的高度;
(2)建筑物CD的高度.
解:(1)如图,过点B作BE⊥AM于点E,
∵斜坡AB的坡度i=1∶3,∴,
∴AE=3BE.
在Rt△ABE中,AB2=BE2+AE2,
即(10)2=BE2+(3BE)2,解得BE=10,
故平台BN的高度为10米.
(2)如图,延长CD交AM于点F,则CF⊥AM,
∴四边形BEFD为矩形,
∴DF=BE=10米,BD=EF.
设CD=x米,则CF=(x+10)米,
在Rt△ACF中,∠CAF=30°,
∵tan∠CAF=,
∴,∴AF=(x+10)米.
在Rt△CBD中,∠CBD=60°,则BD=x米.
由(1)可知,AE=3BE=30米,
∴(x+10)-x=30,
解得x=15-15,
故建筑物CD的高度为(15-15)米.
创新拓展
9.下图为一工具模型示意图,已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4 dm,OB=12 dm,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为　　　　dm.(结果用含根号的式子表示)
答案:(6-2)
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