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2026徐州专版中考数学
考点强化练25　平行四边形
基础过关
1.(2025·山西中考)如图,在 ABCD中,O是对角线AC的中点,E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是 (　　)
A.OE=AD B.OE=BC
C.OE=AB D.OE=AC
2.如图,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (　　)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
3.如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是BC的中点,AC=4.若 ABCD的周长为12,则△COE的周长为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
4.如图,在 ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AC⊥AB,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE、OF,若AE=4,则OF=　　　　.
5.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件________,使四边形ABCD是平行四边形.
6.(2025·四川宜宾中考)如图,E是平行四边形ABCD的边CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,AD=5.求证:△ADE≌△FCE,并求BF的长.
能力提升
7.(2025·安徽中考)如图,在 ABCD中,E、G分别为边AD、BC的中点,点F、H分别在边AB、CD上移动(不与端点重合),且满足AF=CH,则下列为定值的是 (　　)
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
8.如图,在 ABCD中,O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图,在 ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE=________.
10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,E、F分别是边CD、AD上的动点,且CE=DF.当AE+CF的值最小时,CE=________.
11.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB、CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.
(1)求证:四边形AFCD为平行四边形;
(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.
创新拓展
12.【平行六边形】如图①,在凸六边形ABCDEF中,满足AB∥DE,BC∥EF,CD∥FA,我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”.其中AB与DE,BC与EF,CD与FA叫做“主对边”;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F叫做“主对角”;AD,BE,CF叫做“主对角线”.
(1)类比平行四边形性质,有如下猜想,请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”.
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等 　　　
②平行六边形的三组主对角分别相等 　　　
③平行六边形的三条主对角线互相平分 　　　
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”.
(2)如图②,已知平行六边形OPQRST满足OP=PQ=QR=RS.求证:平行六边形OPQRST是菱六边形.
图①
图②
考点强化练25　平行四边形
基础过关
1.(2025·山西中考)如图,在 ABCD中,O是对角线AC的中点,E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是 (　　)
A.OE=AD B.OE=BC
C.OE=AB D.OE=AC
答案:C
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,O是对角线AC的中点,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,∵E是边AD的中点,∴OE是△ACD的中位线,
∴OE=CD=AB.故选C.
2.如图,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (　　)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
答案:D
3.如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是BC的中点,AC=4.若 ABCD的周长为12,则△COE的周长为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
答案:B
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,AC=4,∴AB=CD,BC=AD,OC=OA=AC=2.∵E是BC的中点,∴CE=BE=BC,OE=AB,∴CE+OE=(BC+AB),∵ ABCD的周长为12,即2BC+2AB=12,∴(BC+AB)=3,即CE+OE=3,∴CE+OE+OC=3+2=5,即△COE的周长为5.故选B.
4.如图,在 ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AC⊥AB,E、F分别为BC、CD的中点,连接AE、OF,若AE=4,则OF=　　　　.
答案:4
解析:∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°.
∵点E为BC的中点,∴BC=2AE=8.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,
又点F为CD的中点,∴OF=BC=4.
5.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件________,使四边形ABCD是平行四边形.
答案:OB=OD(答案不唯一)
解析:当补充条件为OB=OD时,四边形ABCD是平行四边形,证明如下:
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
6.(2025·四川宜宾中考)如图,E是平行四边形ABCD的边CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,AD=5.求证:△ADE≌△FCE,并求BF的长.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD=5,∴∠D=∠FCE.
∵E是CD的中点,∴DE=CE.
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA),∴AD=FC=5,
∴BF=BC+FC=5+5=10.
能力提升
7.(2025·安徽中考)如图,在 ABCD中,E、G分别为边AD、BC的中点,点F、H分别在边AB、CD上移动(不与端点重合),且满足AF=CH,则下列为定值的是 (　　)
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
答案:C
解析:如图,连接EG.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵E、G分别为边AD、BC的中点,∴AE=DE=BG=CG,∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形,∴S△EGF=S ABGE,S△EHG=S DEGC,∴S四边形EFGH=S ABCD,∴四边形EFGH的面积是定值,故选C.
8.如图,在 ABCD中,O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正确;∴S△ABD=S△CDB=S平行四边形ABCD,∠ODE=∠OBF.∵O是BD的中点,∴OD=OB,又∠DOE=∠BOF,∴△ODE≌△OBF,∴S△ODE=S△OBF,EO=FO≠ED,故②不正确;∴S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF,即S四边形ABOE=S四边形CDOF,故④正确.综上,正确结论的个数为3,故选C.
9.如图,在 ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE=________.
答案:5
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC=2,
∴∠EAB=∠CBA.
∵BA平分∠EBC,∴∠EBA=∠CBA,
∴∠EAB=∠EBA,
∴AE=BE=3,∴DE=AD+AE=2+3=5.
10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,E、F分别是边CD、AD上的动点,且CE=DF.当AE+CF的值最小时,CE=________.
答案:
解析:如图,延长BC至H,使CH=CD,连接EH,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC=4,AB=CD=2,AD∥BC,
∴∠D=∠DCH.
又CD=CH,DF=CE,
∴△CDF≌△HCE,
∴CF=EH,∴AE+CF=AE+EH,
∴当A、E、H三点共线时,AE+CF有最小值,此时,△CEH∽△BAH,∴,
∴,∴CE=.
11.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB、CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.
(1)求证:四边形AFCD为平行四边形;
(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.
(1)证明:∵E是AB的中点,∴AE=BE,
又DF=FB,∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥AD,则CF∥AD,
又AF∥CD,∴四边形AFCD为平行四边形.
(2)解:由(1)知,EF是△ABD的中位线,
∴AD=2EF=2.
∵∠EFB=90°,tan∠FEB=3,
∴FB=3EF=3,
又DF=FB,∴DF=3.
∵AD∥CE,∴∠ADF=∠EFB=90°,
∴AF=.
∵四边形AFCD为平行四边形,
∴CD=AF=,
又DF=BF,CE⊥BD,∴BC=CD=.
创新拓展
12.【平行六边形】如图①,在凸六边形ABCDEF中,满足AB∥DE,BC∥EF,CD∥FA,我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”.其中AB与DE,BC与EF,CD与FA叫做“主对边”;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F叫做“主对角”;AD,BE,CF叫做“主对角线”.
(1)类比平行四边形性质,有如下猜想,请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”.
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等 　　　
②平行六边形的三组主对角分别相等 　　　
③平行六边形的三条主对角线互相平分 　　　
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”.
(2)如图②,已知平行六边形OPQRST满足OP=PQ=QR=RS.求证:平行六边形OPQRST是菱六边形.
图①
图②
(1)解:如图,连接BE、CF、AD,BE、AD交于点O,
由图可知:
①AB∥DE,只能知道△AOB∽△DOE,其他对边同理,故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的;
②AB∥DE,∠ABE=∠BED,同理可得∠CBE=∠BEF,其他对角同理,故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的;
③由①可知,平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的.
故答案:为①错误;②正确;③错误.
(2)证明:过点Q作QH平行且相等于PO,连接OH、HS,
则平行四边形PQHO是平行四边形,
∴PQ∥OH,PQ=OH,
在平行六边形OPQRST中,PO∥RS,PO=RS,∴QH∥RS,QH=RS,
∴QRSH为平行四边形,
∴QR∥HS,QR=HS,
在平行六边形OPQRST中,PQ∥ST,QR∥OT,∴OH∥ST,HS∥OT,
∴HSTO为平行四边形,
∴HS=OT,OH=ST,
∴QR=OT,PQ=ST.
∵OP=PQ=QR=RS,
∴PQ=QR=RS=ST=OT=PO,
∴平行六边形OPQRST是菱六边形.
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