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2026徐州专版中考数学
考点强化练26　矩形、菱形、正方形
基础过关
1.如图,在菱形ABCD中,AC、BD是对角线,AB=5.若∠ABD=30°,则AC的长是 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.10
2.(2025·四川德阳中考)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要增加的一个条件可以是(　　)
A.AB∥CD B.AB=BC
C.∠B=∠D D.AC=BD
3.如图,在Rt△ABC中,AB=4,M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16,则S△ABC= (　　)
A.4 B.8 C.12 D.16
4.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F.若AD=8,BE=10,则tan∠ABD=________.
5.(2025·青海西宁中考)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,连接OE.若BD=6,OE=,则菱形ABCD的面积是________.
6.如图, ABCD的对角线AC、BD交于点O,分别以点B、C为圆心,AC、BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP、CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形
能力提升
7.如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为(　　)
A.2 B.3 C. D.
8.如图,在菱形ABCD中,O是BD的中点,AM⊥BC,垂足为M,AM交BD于点N,OM=2,BD=8,则MN的长为(　　)
A. B. C. D.
9.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,连接AE、AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为(　　)
A.2 B. C. D.
10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E在线段OA上,AE=2,点F在线段OC上,OF=1,连接BE,G为BE的中点,连接FG,则FG的长为　　　.
11.如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B、D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E、F分别为垂足.连接EF、AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
创新拓展
12.综合与实践
【问题情境】
如图,小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F,且AE=BF,AF交DE于点O.连接AC,过点F作FG⊥AC,垂足为G,连接GD、GE,DE交AC于点P,GE交AF于点Q.
【活动猜想】
(1)GD与GE的数量关系是　　　　,位置关系是　　　　;
【探索发现】
(2)证明(1)中的结论;
【实践应用】
(3)若AD=3,AE=1,求QF的长;
【综合探究】
(4)若AD=3,则当AP=　　　　时,△DPG的面积最小.
考点强化练26　矩形、菱形、正方形
基础过关
1.如图,在菱形ABCD中,AC、BD是对角线,AB=5.若∠ABD=30°,则AC的长是 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.10
答案:B
解析:由题意,得AC⊥BD,AO=CO,∠AOB=90°.∵∠ABD=30°,∴AO=AB=,
∴AC=2AO=5.
故选B.
2.(2025·四川德阳中考)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要增加的一个条件可以是(　　)
A.AB∥CD B.AB=BC
C.∠B=∠D D.AC=BD
答案:D
3.如图,在Rt△ABC中,AB=4,M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF=16,则S△ABC= (　　)
A.4 B.8 C.12 D.16
答案:B
解析:∵四边形AMEF是正方形,且S正方形AMEF=16,∴AM2=16,∴AM=4.在Rt△ABC中,M是斜边BC的中点,则BC=2AM=8.
又AB=4,
∴AC==4,
∴S△ABC=AB·AC=×4×4=8.
故选B.
4.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F.若AD=8,BE=10,则tan∠ABD=________.
答案:
解析:如图,连接DE,
∵EF垂直平分BD,∴BE=DE=10,
∴AE==6,
∴AB=AE+BE=16,
∴tan∠ABD=.
5.(2025·青海西宁中考)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,连接OE.若BD=6,OE=,则菱形ABCD的面积是________.
答案:6
解析:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,
∴AC⊥BD,OA=OC,
又AE⊥BC,OE=,
∴AC=2OE=2.
∵BD=6,∴S菱形ABCD=AC·BD=×2×6=6.
6.如图, ABCD的对角线AC、BD交于点O,分别以点B、C为圆心,AC、BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP、CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形
解:(1)四边形BPCO为平行四边形.
理由:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OC=OA=AC,OB=OD=BD.
∵以点B、C为圆心,AC、BD长为半径画弧,两弧交于点P,
∴OB=CP,BP=OC,
∴四边形BPCO为平行四边形.
(2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形.
∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.
∵AC=BD,OB=BD,OC=AC,
∴OB=OC.
又四边形BPCO为平行四边形,
∴四边形BPCO为正方形.
能力提升
7.如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为(　　)
A.2 B.3 C. D.
答案:B
解析:由题意,得AD∥GF,进而可得△ADH∽△FGH,故=3,又DG=6-2=4,得DH=3.故选B.
8.如图,在菱形ABCD中,O是BD的中点,AM⊥BC,垂足为M,AM交BD于点N,OM=2,BD=8,则MN的长为(　　)
A. B. C. D.
答案:C
解析:如图,连接AC.∵四边形ABCD是菱形,∴AC与BD互相垂直平分.又O是BD的中点,∴A、O、C三点在同一条直线上,∴OA=OC.∵OM=2,AM⊥BC,∴OA=OC=OM=2.∵BD=8,∴OB=OD=BD=4,∴BC==2,∴tan∠OBC=.∵∠ACM+∠MAC=90°,∠ACM+∠OBC=90°,∴∠MAC=∠OBC,∴sin∠MAC=sin∠OBC=,∴MC=ACsin∠MAC=,∴BM=BC-MC=2,∴MN=BMtan∠OBC=.故选C.
9.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,连接AE、AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为(　　)
A.2 B. C. D.
答案:D
解析:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠ADF=90°.
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF.
∵AM平分∠EAF,
∴∠EAM=∠FAM.
在△AEM和△AFM中,
∴△AEM≌△AFM(SAS),∴EM=FM.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=4,∠C=90°,
设DM=x,则MC=4-x,EM=FM=FD+DM=1+x,在Rt△MCE中,CE=BC-BE=3,
故(1+x)2=(4-x)2+32,
解得x=.
故选D.
10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,点E在线段OA上,AE=2,点F在线段OC上,OF=1,连接BE,G为BE的中点,连接FG,则FG的长为　　　.
答案:
解析:方法一:在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,
∴OA=AC=4,OB=BD=6,AC⊥BD.
∵AE=2,∴OE=OA-AE=4-2=2.
如图,取OE中点H,连接GH,
∵G为BE的中点,H为OE的中点,
∴GH是△EBO的中位线,∴GH=OB=3,GH∥OB,
∴∠GHE=∠BOA=90°.
∵OF=1,∴HF=OH+OF=OE+OF=×2+1=2.
在Rt△GFH中,由勾股定理得GF=.
方法二:在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12,AE=2,OF=1,
∴OC=4,OB=6,CE=6,
∴CF=OC-OF=3,∴F为CE的中点,
又G为BE的中点,
∴GF是△BCE的中位线.
∵BC==2,
∴FG=.
11.如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B、D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E、F分别为垂足.连接EF、AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
(1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴∠ADE=∠GEC=90°,
∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.
(2)解:AH⊥EF.理由如下:
如图,连接GC交EF于点O.
∵BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ADG=∠CDG=45°,
又DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG,
∴∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD中,∠ECF=90°,
又GE⊥CD,GF⊥BC,
∴四边形FCEG为矩形,∴OE=OC,
∴∠OEC=∠DCG,
∴∠DAG=∠OEC,
由(1)得∠DAG=∠EGH,
∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
创新拓展
12.综合与实践
【问题情境】
如图,小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F,且AE=BF,AF交DE于点O.连接AC,过点F作FG⊥AC,垂足为G,连接GD、GE,DE交AC于点P,GE交AF于点Q.
【活动猜想】
(1)GD与GE的数量关系是　　　　,位置关系是　　　　;
【探索发现】
(2)证明(1)中的结论;
【实践应用】
(3)若AD=3,AE=1,求QF的长;
【综合探究】
(4)若AD=3,则当AP=　　　　时,△DPG的面积最小.
解:(1)相等　垂直
(2)证明:过点G作GM⊥BC于点M,过点G作NT⊥GM分别交AB、CD于点T、N,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45°,∠B=∠BCD=90°,
∴∠TGM=∠B=∠GMB=∠GMC=∠BCD=∠NGM=90°,
∴四边形TBMG为矩形,四边形GMCN为正方形,
∴GN=GM=MC=CN=BT,∠CNT=∠BTG=90°,BM=GT,
∴∠DNG=∠GTE=90°,
∴DC-CN=BC-CM,即DN=BM=GT,
∵FG⊥AC,∠ACB=45°,
∴∠CFG=45°,
∴CG=GF,∴CM=MF,
∴GN=GM=MC=CN=BT=MF,
∵AE=BF,
∴AB-AE-BT=BC-BF-MF,
∴ET=NG,
∴Rt△DNG≌Rt△GTE,
∴DG=GE,∠NDG=∠EGT,
又∠NDG+∠NGD=90°,
∴∠EGT+∠NGD=90°,
∴∠DGE=90°,∴DG⊥GE.
(3)在正方形ABCD中,AB=AD,∠DAE=∠B=90°,AE=BF,
∴Rt△DAE≌Rt△ABF,
∴∠ADE=∠BAF,AF=DE,
∴∠ADE+∠DEA=∠BAF+∠DEA=90°,∴∠AOE=90°,∴AF⊥DE.
在Rt△DAE中,AD=3,AE=1,
∴DE=,
则AF=,由等面积法得AO·DE=AE·AD,∴AO=.
在Rt△OAE中,OE=,
由(2)可知DG=GE,DG⊥GE,
∴∠GED=45°,
∴△EOQ为等腰直角三角形,
∴QO=EO=,∴QF=AF-AO-OQ=.
(4)如图,构造△DGP的外接圆☉H,连接DH、PH、GH,过点H作HR⊥AC于点R,设☉H的半径为r,过点D作DT⊥AC于点T,
由(2)可知DG=GE,DG⊥GE,
∴∠GDP=45°,
∴∠PHG=2∠GDP=90°.
∵HP=HG,∴△HPG是等腰直角三角形,HR=PR=GR=PG=r,
∴PG=r.
∵在正方形ABCD中,AD=3,△ACD是等腰直角三角形,AC=AD=3,DT=AT=CT=AC=,
∴S△DPG=PG·DT=PG,
∴当PG最小时,△DPG的面积最小,
∴当r最小时,△DPG的面积最小,DH+HR=r+r=(1+)r,
∴当DH+HR最小时,△DPG的面积最小.由点到直线的最短距离可得,
当D、H、R依次共线,且DR⊥AC时,DH+HR最小,此时如图,点R与T重合,
则DR=(1+)r=,
解得r=3-3,
∴PR=r=,
∴AP=AR-PR=AT-PR==3-3.
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