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2026徐州专版中考数学
考点强化练27　圆的有关概念与性质
基础过关
1.如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数为(　　)
A.41° B.45° C.49° D.59°
2.图②是从正面看到的一个碗(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA、OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为(　　)
图①
图②
A.13 cm B.16 cm
C.17 cm D.26 cm
3.(2025·四川内江中考)如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8,OC=5,则DC的长是　　　　.
4.(2025·江苏常州中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.若∠DCB=45°,AD=1,则AB=　　　　.
5.如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A的度数为　　　　.
6.如图,在△ABC中,AB=4,D为AB的中点,∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=,☉O是△ACD的外接圆.
(1)求BC的长;
(2)求☉O的半径.
能力提升
7.如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
8.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC边上一点,连接AD并延长交☉O于点E.若AD=2,DE=3,则☉O的半径为(　　)
A. B. C.2 D.3
9.(2025·四川广安中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BCD=120°,☉O的半径为6,则BD的长为　　　　.
10.如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连接AD.给出下面三个结论:
①∠ABD=∠DAC;
②AF=FG;
③当DG=2,GB=3时,FG=.
上述结论中,正确结论的序号有　　　　.
11.如图,在圆内接四边形ABCD中,AD(1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数.
(2)求证:①EF∥BC;
②EF=BD.
创新拓展
12.如图,四边形ABCD的顶点都在半圆O上,AB是半圆O的直径,连接OC,∠DAB+2∠ABC=180°.
(1)求证:OC∥AD;
(2)若AD=2,BC=2,求AB的长.
考点强化练27　圆的有关概念与性质
基础过关
1.如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数为(　　)
A.41° B.45° C.49° D.59°
答案:C
解析:∵CD是☉O的直径,∴∠DBC=90°.∵∠DBA=∠DCA=41°,∴∠ABC=90°-∠DBA=49°.故选C.
2.图②是从正面看到的一个碗(图①)的形状示意图.是☉O的一部分,D是的中点,连接OD,与弦AB交于点C,连接OA、OB.已知AB=24 cm,碗深CD=8 cm,则☉O的半径OA为(　　)
图①
图②
A.13 cm B.16 cm
C.17 cm D.26 cm
答案:A
解析:∵是☉O的一部分,D是的中点,AB=24 cm,∴OD⊥AB,AC=BC=AB=12 cm.设☉O的半径OA为R cm,则OC=OD-CD=(R-8)cm.在Rt△OAC中,OA2=AC2+OC2,∴R2=122+(R-8)2,解得R=13,即☉O的半径OA为13 cm.故选A.
3.(2025·四川内江中考)如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8,OC=5,则DC的长是　　　　.
答案:2
解析:∵OC⊥AB,∴AD=BD=AB=×8=4.
在Rt△OAD中,OA=5,AD=4,
∴OD==3,
∴DC=OC-OD=5-3=2.
4.(2025·江苏常州中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.若∠DCB=45°,AD=1,则AB=　　　　.
答案:
解析:∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠DCB=45°,
∴∠DAB=∠DCB=45°,
∴∠ABD=90°-∠DAB=45°,
∴BD=AD=1.
∴AB=.
5.如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A的度数为　　　　.
答案:62°
解析:如图,连接OC,
∵OB=OC,∠OBC=28°,
∴∠OCB=∠OBC=28°,
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=124°,
∴∠A=∠BOC=62°.
6.如图,在△ABC中,AB=4,D为AB的中点,∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=,☉O是△ACD的外接圆.
(1)求BC的长;
(2)求☉O的半径.
解:(1)∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,
∴△BAC∽△BCD,∴.
∵AB=4,D为AB的中点,
∴BD=AD=2,∴BC2=16,∴BC=4.
(2)如图,过点A作AE⊥CD于点E,连接CO,并延长交☉O于点F,连接AF.
∵在Rt△AED中,cos∠ADC=,AD=2,∴DE=1,∴AE=.
∵△BAC∽△BCD,∴.
设CD=x,则AC=x,CE=x-1.
∵在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2,
∴(x)2=(x-1)2+()2,
解得x=2或x=-4(舍去),
∴CD=2,AC=2.
∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角,
∴∠AFC=∠ADC.
∵CF为☉O的直径,∴∠CAF=90°,
∴sin∠AFC==sin∠CDA=,
∴CF=,∴☉O的半径为.
能力提升
7.如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
答案:B
解析:如图,连接OB,设OA交BC于点E.∵∠ADB=30°,∴∠AOB=60°.∵OA⊥BC,BC=2,∴BE=BC=.在Rt△BOE中,sin∠AOB=,∴sin 60°=,∴OB=2,∴OC=2.故选B.
8.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC边上一点,连接AD并延长交☉O于点E.若AD=2,DE=3,则☉O的半径为(　　)
A. B. C.2 D.3
答案:A
解析:如图,连接OA、OC、CE.
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠ACB=30°,
∴∠AOC=60°.
∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA.
∵∠E=∠B,∴∠E=∠ACB.
又∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC,
∴,∴AC2=AD·AE.
∵AD=2,DE=3,∴AE=5,
∴AC=,
∴OA=AC=,即☉O的半径为.
故选A.
9.(2025·四川广安中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BCD=120°,☉O的半径为6,则BD的长为　　　　.
答案:6
解析:如图,连接DO,并延长交☉O于点E,连接BE,则∠A=∠E,∠EBD=90°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A+∠BCD=180°.∵∠BCD=120°,∴∠A=60°.∴∠E=60°.∵☉O的半径为6,∴DE=12,∴BD=DE·sin E=12×sin 60°=12×=6.
10.如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连接AD.给出下面三个结论:
①∠ABD=∠DAC;
②AF=FG;
③当DG=2,GB=3时,FG=.
上述结论中,正确结论的序号有　　　　.
答案:①②
解析:①∵D是的中点,∴,
∴∠ABD=∠DAC,故结论①正确;
②∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠ADE+∠BDE=90°.
∵DE⊥AB,∴∠BDE+∠ABD=90°,
∴∠ADE=∠ABD,
∴∠ADE=∠DAC,∴AF=FD.
∵∠ADE+∠BDE=90°,∠AGD+∠DAC=90°,∴∠BDE=∠AGD,∴FD=FG,
∴AF=FG,故结论②正确;
③∵DG=2,GB=3,∴BD=DG+GB=5.
在Rt△ADG中,tan∠DAC=.
在Rt△ABD中,tan∠ABD=.
∵∠ABD=∠DAC,∴,∴AD2=10.
在Rt△ADG中,AG=,
∴AF=FG=AG=,
故结论③不正确.
综上,正确结论的序号是①②.
11.如图,在圆内接四边形ABCD中,AD(1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数.
(2)求证:①EF∥BC;
②EF=BD.
(1)解:∵CD为直径,∴∠CAD=90°.
∵∠AFE=∠ADC=60°,
∴∠ACD=90°-60°=30°,
∴∠ABD=∠ACD=30°.
(2)证明:①如图,延长AB至点M,
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠ABC+∠CBM=180°,
∴∠CBM=∠ADC.
∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE=∠CBM,
∴EF∥BC.
②如图,过点D作DG∥BC交圆于点G,连接AG、CG、DG.
∵DG∥BC,
∴,∴BD=CG,
∵四边形ACGD是圆内接四边形,
∴∠GDA+∠ACG=180°.
∵∠EDG+∠GDA=180°,
∴∠EDG=∠ACG.
由①知EF∥BC,∴EF∥DG,
∴∠DEF=∠EDG,∴∠DEF=∠ACG.
∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,
∴∠AFE=∠AGC.
∵AE=AC,∴△AEF≌△ACG,
∴EF=CG,∴EF=BD.
创新拓展
12.如图,四边形ABCD的顶点都在半圆O上,AB是半圆O的直径,连接OC,∠DAB+2∠ABC=180°.
(1)求证:OC∥AD;
(2)若AD=2,BC=2,求AB的长.
(1)证明:∵∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°.
∴∠DAB+∠AOC=180°,∴OC∥AD.
(2)解:如图,连接BD,交OC于点E.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵OC∥AD,∴△OEB∽△ADB,
∴.
∵OA=OB,∴EB=DE,
∴OC⊥BD,且OE是△ABD的中位线,
∴OE=AD=1,
设半圆O的半径为r,则CE=r-1.
在Rt△OEB中,BE2=OB2-OE2=r2-1.
在Rt△CEB中,BE2=BC2-CE2=12-(r-1)2.即r2-1=12-(r-1)2,
解得r=3或r=-2(舍去),
故AB=2r=6.
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