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2026徐州专版中考数学
考点强化练28　点、直线与圆的位置关系
基础过关
1.如图,AB是☉O的弦,PB与☉O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P=50°,则∠PAB的度数为　　　　.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠BCD=∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C、D两点.
(1)试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若sin B=,☉O的半径为3,求AC的长.
能力提升
3.已知△ABC的周长为l,其内切圆的面积为πr2,则△ABC的面积为(　　)
A.rl B.πrl C.rl D.πrl
4.(2025·山东淄博中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为斜边AB上一点,以DB为直径的圆与AC相切于点E.若AD=5,AE=10,则BC的长是(　　)
A.10 B.12
C.13 D.15
5.如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为　　　　.
创新拓展
6.【问题提出】
(1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.若AB=15,AC=8,则AD的长为　　　.
【问题解决】
(2)如图②,某工厂剩余一块三角形板材,其中AB=100 cm,BC=160 cm,AC=140 cm.为了充分利用材料,工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件.你认为可以吗 若可以,请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置,并求出☉O的半径;若不可以,请说明理由.
图①
考点强化练28　点、直线与圆的位置关系
基础过关
1.如图,AB是☉O的弦,PB与☉O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P=50°,则∠PAB的度数为　　　　.
答案:20
解析:如图,连接OB,∵PB与☉O相切于点B,
∴PB⊥OB,
∴∠OBP=90°.
∵∠P=50°,∴∠POB=90°-∠P=40°,
∴∠PAB=∠POB=20°.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠BCD=∠A,点O在BC上,以点O为圆心的圆经过C、D两点.
(1)试判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若sin B=,☉O的半径为3,求AC的长.
解:(1)直线AB与☉O相切,
理由:如图,连接OD.
∵∠BOD=2∠BCD,∠BCD=∠A,
∴∠A=∠BOD.
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
∴∠BOD+∠B=90°,∴∠BDO=90°.
∵OD是☉O的半径,∴直线AB与☉O相切.
(2)在△OBD中,sin B=.
∵OD=3,∴OB=5,∴BC=OB+OC=8.
在Rt△ACB中,sin B=,
∴设AC=3x,AB=5x,
∴BC==4x=8,
∴x=2,∴AC=3x=6.
能力提升
3.已知△ABC的周长为l,其内切圆的面积为πr2,则△ABC的面积为(　　)
A.rl B.πrl C.rl D.πrl
答案:A
解析:如图,设内切圆O与△ABC相切于点D、E、F,连接OA、OB、OC、OE、OD、OF,∵AB切☉O于点E,∴OE⊥AB,OE=r,∴S△AOB=AB·OE=AB·r.
同理,S△BOC=BC·r,S△AOC=AC·r,∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB·r+BC·r+AC·r=(AB+BC+AC)·r.∵l=AB+BC+AC,∴S△ABC=lr.故选A.
4.(2025·山东淄博中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为斜边AB上一点,以DB为直径的圆与AC相切于点E.若AD=5,AE=10,则BC的长是(　　)
A.10 B.12
C.13 D.15
答案:B
解析:如图,设圆心为O,连接OE,∵AC是☉O的切线,∴OE⊥AC,设☉O的半径为r,∴OE=OD=r,∴AO=AD+OD=5+r,AB=AD+BD=5+2r.在Rt△AEO中,AO2=AE2+OE2,∴(5+r)2=102+r2,∴r=7.5,∴AO=5+r=12.5,AB=5+2r=20.∵sin A=,∴,∴BC=12.故选B.
5.如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为　　　　.
答案:2
解析:如图,连接PM、QM.
由题意,得OM=4,QM=2.
∵PQ是☉M的切线,∴QM⊥PQ,
∴PQ=,
当PM最小时,PQ最小,当PM⊥AB时,PM最小,
直线y=x+4与x轴的交点A的坐标为(-4,0),与y轴的交点B的坐标为(0,4),
∴OA=OB=4,∴∠BAO=45°,AM=8.
当PM⊥AB时,PM=AM·sin∠BAO=8×=4,
∴PQ的最小值为=2.
创新拓展
6.【问题提出】
(1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.若AB=15,AC=8,则AD的长为　　　.
【问题解决】
(2)如图②,某工厂剩余一块三角形板材,其中AB=100 cm,BC=160 cm,AC=140 cm.为了充分利用材料,工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件.你认为可以吗 若可以,请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置,并求出☉O的半径;若不可以,请说明理由.
图①
解:(1)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=8,
图②
∴BC==17.
∵S△ABC=AB·AC=BC·AD,
∴AB·AC=BC·AD,
∴AD=.
故答案为.
(2)可以.
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆,∴所求圆的圆心是△ABC的内心,如图,作∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF交于点O,则点O就是裁出的最大圆形部件的圆心O的位置,过点O作OH⊥BC于点H,OP⊥AC于点P,OQ⊥AB于点Q,连接OA、OB、OC,过点A作AM⊥BC于点M,设BM=x cm,☉O的半径为R cm,
∵AB=100 cm,BC=160 cm,AC=140 cm,
∴CM=(160-x)cm.
在Rt△ABM中,AM2=AB2-BM2=1002-x2,
在Rt△ACM中,AM2=AC2-CM2=1402-(160-x)2,
∴1002-x2=1402-(160-x)2,解得x=50,
∴AM==50(cm),
∴S△ABC=BC·AM=×160×50=4 000(cm2).
∵点O为△ABC的内心,
∴OH=OP=OQ=R cm.
∵S△OBC+S△OCA+S△OAB=S△ABC,
∴BC·OH+AC·OP+AB·OQ=4 000,
即(160+140+100)R=8 000,
解得R=20.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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