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2026徐州专版中考数学
提升训练1　反比例函数综合题
1.(2024·江苏苏州中考)如图,点A为反比例函数y=-(x<0)图像上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图像交于点B,则的值为(　　)
A. B. C. D.
2.(2025·徐州模拟)如图,点A、C在反比例函数y1=(x>0)的图像上,点B、D在反比例函数y2=(x<0)的图像上,AB∥CD∥x轴,AB=2,CD=3,AB与CD之间的距离为1,则a-b的值是(　　)
A.1 B.3 C.6 D.8
3.(2025·江苏宿迁中考)如图,点A、B在双曲线y1=(x>0)上,直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D,与双曲线y2=(x<0)交于点E,连接OA、OB.若S△AOC=20,AB=3BC,AD=DE,则k2的值为(　　)
A.-10 B.-11 C.-12 D.-13
4.(2023·徐州中考)如图,点P在反比例函数y=(k>0)的图像上,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,PA=PB.一次函数y=x+1的图像与PB交于点D,若D为PB的中点,则k的值为________.
5.(2025·徐州睢宁三模)如图,点A在双曲线y1=(x>0)上,连接AO并延长,交双曲线y2=(x<0)于点B,点C为x轴上一点,且AO=AC,连接BC,若△ABC的面积是6,则k的值为　　　　.
6.(2025·江苏镇江中考)如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在反比例函数y=-和y=(k>0)的图像上,点A的横坐标为-1,点B的横坐标为n(n>3),点C的坐标为(3,0),AC⊥BC,AC=2BC.
(1)求点A、B的坐标和反比例函数y=(k>0)的表达式;
(2)点D、E分别在反比例函数y=(k>0)和y=-的图像上,与点A、B构成以AB为边的平行四边形,求点D、E的坐标.
7.(2022·徐州中考)如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=(x>0)的图像交于点A,与x轴交于点B,与y轴交于点C,AD⊥x轴于点D,CB=CD,点C关于直线AD的对称点为点E.
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上 请说明理由.
(2)连接AE、DE,若四边形ACDE为正方形.
①求k、b的值;
②若点P在y轴上,当|PE-PB|最大时,求点P的坐标.
备用图
8.如图①,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+1(k≠0)的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B,与y轴交于点C,点A的横坐标为2.
(1)求k的值;
(2)利用图像直接写出kx+1<时,x的取值范围;
(3)如图②,将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度,与函数y=(x>0)的图像交于点D,与y轴交于点E,再将函数y=(x>0)的图像沿AB平移,使点A、D分别平移到点C、F处,求图中阴影部分的面积.
图①
图②
9.如图①,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上,且OA=3,OC=6,反比例函数y=(x>0)的图像与AB、BC分别交于点D、E,连接DE.
(1)如图②,连接OD、OE,当△OAD的面积为2时,
①k=　　　　;
②求△ODE的面积.
(2)如图③,将△DEB沿DE翻折,当点B的对称点F恰好落在边OC上时,求k的值.
图①
图②
图③
提升训练1　反比例函数综合题
1.(2024·江苏苏州中考)如图,点A为反比例函数y=-(x<0)图像上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图像交于点B,则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案:A
解析:如图,过点A作AG⊥x轴,垂足为G;
过点B作BH⊥x轴,垂足为H.
∵点A在反比例函数y=-(x<0)的图像上,点B在反比例函数y=(x>0)的图像上,
∴S△AGO=,S△BOH=2.
∵∠AOB=90°,∴∠AOG=∠HBO,又∠AGO=∠OHB=90°,∴△AGO∽△OHB,
∴=()2=,∴.故选A.
2.(2025·徐州模拟)如图,点A、C在反比例函数y1=(x>0)的图像上,点B、D在反比例函数y2=(x<0)的图像上,AB∥CD∥x轴,AB=2,CD=3,AB与CD之间的距离为1,则a-b的值是(　　)
A.1 B.3 C.6 D.8
答案:C
解析:设点A的纵坐标为n,则A(,n),B(,n),C(,n-1),D(,n-1).
∵AB∥x轴,AB=2,
∴=2,∴a-b=2n.
∵CD∥AB,CD=3,∴=3,
∴a-b=3n-3.∴2n=3n-3,解得n=3,
∴a-b=2n=6.故选C.
3.(2025·江苏宿迁中考)如图,点A、B在双曲线y1=(x>0)上,直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D,与双曲线y2=(x<0)交于点E,连接OA、OB.若S△AOC=20,AB=3BC,AD=DE,则k2的值为(　　)
A.-10 B.-11 C.-12 D.-13
答案:C
解析:过点E作EK⊥y轴于点K,过点A作x轴、y轴的垂线,垂足分别为G、H,过点B作x轴的垂线,垂足为F,连接OE、HF、BH、AF,
由条件可知S△OAH=S△OBF=k1,
∵BF∥y轴,AH∥x轴,AG∥y轴,
∴S△OAH=S△AFH=S△OBF=S△BFH,
由条件可知△AFH、△BFH在FH上的高相等,∴AB∥FH,∴四边形DHFB为平行四边形,
∴BF=DH.
∵AH∥x轴,∴∠DAH=∠BCF,
又∠AHD=∠CFB=90°,
∴△AHD≌△CFB,∴AD=BC.
在△EKD和△AHD中,
∴△EKD≌△AHD,
∴S△EKD=S△AHD,ED=AD,
∵AB=3BC,∴ED∶AD∶AB∶BC=1∶1∶3∶1,∴ED=AC,
∴S△ODE=S△OAD=S△AOC=×20=5.
∵AG∥y轴,∴,
∴S△AGO=S△AHO=S△AOC=×20=4,
∴S△ADH=S△AOD-S△AHO=5-4=1,
∴S△EKD=S△AHD=1,
∴S△OEK=S△OED+S△EKD=5+1=6=|k2|,
∵双曲线y2=(x<0)经过第二象限,
∴k2=-12,故选C.
4.(2023·徐州中考)如图,点P在反比例函数y=(k>0)的图像上,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,PA=PB.一次函数y=x+1的图像与PB交于点D,若D为PB的中点,则k的值为________.
答案:4
解析:设一次函数图像与x轴的交点为M,与y轴的交点为N,则M(-1,0)、N(0,1),
∴OM=ON=1.
∵PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,PA=PB,∴四边形AOBP是正方形,∴PB∥x轴,∴△DBN∽△MON,
∴=1,∴BD=BN.
∵D为PB的中点,∴N为OB的中点,∴OB=2ON=2,∴PB=OB=2,∴P(2,2).∵点P在反比例函数y=(k>0)的图像上,∴k=2×2=4.
5.(2025·徐州睢宁三模)如图,点A在双曲线y1=(x>0)上,连接AO并延长,交双曲线y2=(x<0)于点B,点C为x轴上一点,且AO=AC,连接BC,若△ABC的面积是6,则k的值为　　　　.
答案:4
解析:过点A作AD⊥x轴,过点B作BF⊥x轴,如图所示.
∴AD∥BF,
∴△AOD∽△BOF,
∵点A在双曲线y1=(x>0)上,点B在双曲线y2=(x<0)上,
∴S△AOD=,S△BOF=,∴=4,
∴()2=4,即=2,∴BF=AD.
∵AO=AC,AD⊥x轴,∴OC=2OD.
∵OD·AD=k,
∴OD·AD=k,∴OC·AD=2k,
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=OC·AD+OC·BF=OC·(AD+BF)=OC·AD=k=6,∴k=4.
6.(2025·江苏镇江中考)如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在反比例函数y=-和y=(k>0)的图像上,点A的横坐标为-1,点B的横坐标为n(n>3),点C的坐标为(3,0),AC⊥BC,AC=2BC.
(1)求点A、B的坐标和反比例函数y=(k>0)的表达式;
(2)点D、E分别在反比例函数y=(k>0)和y=-的图像上,与点A、B构成以AB为边的平行四边形,求点D、E的坐标.
解:(1)∵点A的横坐标为-1,将x=-1代入y=-中,得y=2,
∴A(-1,2).
作AF⊥x轴,BN⊥x轴,如图.
∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴∠ACF+∠BCN=90°.∵∠CBN+∠BCN=90°,
∴∠ACF=∠CBN,
又∠AFC=∠BNC=90°,
∴△AFC∽△CNB,
又AC=2BC,∴.
∵A(-1,2),点C的坐标为(3,0),
∴,∴BN=2,CN=1,
∴ON=OC+CN=4,∴B(4,2).
∵B(4,2)在反比例函数y=(k>0)的图像上,∴k=2×4=8,
故反比例函数的表达式为y=.
(2)设D(a,),E(b,-),
∵A(-1,2),B(4,2),
∴AB∥x轴,且AB=5.
∵点D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形,∴AB∥DE,且AB=DE,如图,
∴DE∥x轴,且DE=5,∴
由②,得a=-4b,
代入①,得|-4b-b|=5,
解得b1=1,b2=-1(舍去),则a=-4,
∴D(-4,-2),E(1,-2).
7.(2022·徐州中考)如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=(x>0)的图像交于点A,与x轴交于点B,与y轴交于点C,AD⊥x轴于点D,CB=CD,点C关于直线AD的对称点为点E.
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上 请说明理由.
(2)连接AE、DE,若四边形ACDE为正方形.
①求k、b的值;
②若点P在y轴上,当|PE-PB|最大时,求点P的坐标.
备用图
解:设点A的坐标为(m,).
(1)点E在这个反比例函数的图像上.
理由:∵点C关于直线AD的对称点为点E,
∴AD⊥CE,AD平分CE.
如图,连接CE交AD于H,∴CH=EH.
∵BC=CD,OC⊥BD,
∴OB=OD,
∴OC=AD.
∵AD⊥x轴于D,∴CE∥x轴,
∴E(2m,).
∵2m·=8,
∴点E在这个反比例函数的图像上.
(2)①∵四边形ACDE为正方形,∴AD=CE,AD垂直平分CE,∴CH=AD,
∴CH=m,AD=,∴m=,
∴m=2(负值舍去),∴A(2,4),C(0,2).
把A(2,4),C(0,2)代入y=kx+b,得解得
②∵CB=CD,OC⊥BD,∴点B与点D关于y轴对称,∴|PE-PB|=|PE-PD|,∴当点E、D、P三点共线时,|PE-PB|最大.
延长ED交y轴于点P,则点P即为符合条件的点.
由①知,A(2,4),C(0,2),∴D(2,0),E(4,2),
设直线DE的表达式为y=ax+n,
∴解得
∴直线DE的表达式为y=x-2,
当x=0时,y=-2,∴P(0,-2).
故当|PE-PB|最大时,点P的坐标为(0,-2).
8.如图①,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+1(k≠0)的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B,与y轴交于点C,点A的横坐标为2.
(1)求k的值;
(2)利用图像直接写出kx+1<时,x的取值范围;
(3)如图②,将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度,与函数y=(x>0)的图像交于点D,与y轴交于点E,再将函数y=(x>0)的图像沿AB平移,使点A、D分别平移到点C、F处,求图中阴影部分的面积.
图①
图②
解:(1)∵点A在y=的图像上,点A的横坐标为2,∴A(2,3).
∴将点A(2,3)代入y=kx+1,得k=1.
(2)由(1)可知一次函数的表达式为y=x+1,联立方程组
解得
∴A(2,3),B(-3,-2),根据图像可知,不等式的解集为x<-3或0(3)∵一次函数的表达式为y=x+1,
∴C(0,1).
∵将直线AB沿y轴向下平移4个单位长度,
∴CE=4.
如图,过点C作CG⊥DE,垂足为G,
∵CE=4,∠CEG=45°,∴CG=2.
又A(2,3),C(0,1),
∴AC=2.
由平移性质可知,阴影部分面积就是 ACFD的面积,即2×2=8.
9.如图①,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上,且OA=3,OC=6,反比例函数y=(x>0)的图像与AB、BC分别交于点D、E,连接DE.
(1)如图②,连接OD、OE,当△OAD的面积为2时,
①k=　　　　;
②求△ODE的面积.
(2)如图③,将△DEB沿DE翻折,当点B的对称点F恰好落在边OC上时,求k的值.
图①
图②
图③
解:(1)①∵△OAD的面积为2,即=2,
∴k=4,故答案为4.
②在矩形OABC中,OA=BC=3,OC=AB=6.
∵k=4,∴反比例函数的表达式是y=(x>0),
令y==3,解得x=,∴D(,3).
同理,当x=6时,y=,
∴E(6,),∴AD=,BD=AB-AD=6-,CE=,BE=BC-CE=3-,
∴S△ODE=S矩形OABC-S△OAD-S△OCE-S△BDE=OA·OC-BD·BE=6×3-.
(2)过点D作DG⊥x轴于点G,则DG=OA=3,令y==3,得x=,
∴D(,3).
同理可得,当x=6时,y=,∴E(6,).
∴AD=,BD=6-,CE=,BE=3-.
由折叠的性质,可知DF=BD=6-,FE=BE=3-,∠DFE=∠B=90°,
∴∠DFG+∠CFE=90°,
∵DG⊥x轴,∴∠DFG+∠GDF=90°,
∴∠CFE=∠GDF,
又∠FCE=∠DGF=90°,∴△CFE∽△GDF,
∴,即,∴GF=.
在Rt△GDF中,DG2+GF2=DF2,即32+()2=(6-)2,解得k=,故k的值为.
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