资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026徐州专版中考数学
提升训练3　二次函数综合题
1.已知王叔叔晚饭后步行的路程S(单位:m)与时间t(单位:min)的函数图像如图所示,其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分.下列说法正确的是(　　)
A.线段CD的函数表达式为S=30t+400(25≤t≤50)
B.25~50 min,王叔叔步行的路程为2 000 m
C.曲线段AB的函数表达式为S=-3(t-20)2+1 200(5≤t≤20)
D.5~20 min,王叔叔步行的速度由慢到快
2.(2025·徐州铜山一模)小宇想在边长为10的正方形纸片ABCD上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片,设计了如图所示的方案,若要使正方形纸片EFGH的面积最小,则AE的长为________.
3.如图,某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水,喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直),如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面3米,则水流下落点B离墙的距离OB为________.
4.【提出问题】
某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾,如何设计拱桥悬挂牌匾的方案
拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料
素材1 图①是一座拱桥,图②是桥拱的示意图,某时测得水面宽20 m,拱顶离水面5 m.每年夏季,该河段水位在此基础上会再涨1.8 m达到最高
素材2 国庆节,拟在图①所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾,悬挂点在桥拱上,牌匾长8 m、宽1.2 m,下沿与水面平行,为了安全,牌匾底部距离水面应不小于1 m
图①
图②
图③
【解决问题】
(1)若桥拱所构成的曲线是抛物线,建立如图③所示的平面直角坐标系,求抛物线相应的函数表达式;
(2)请你设计方案:在(1)的基础上,牌匾悬挂能否成功 请说明理由.
5.新定义:我们把抛物线y=ax2+bx(ab≠0)与y=bx2+ax称为“友好抛物线”,例如:抛物线y=x2+2x的“友好抛物线”为y=2x2+x.
(1)抛物线y=6x2-x的“友好抛物线”为　　　　;“友好抛物线”的顶点坐标为　　　　.
(2)若抛物线M:y=ax2+bx(a<0)和其“友好抛物线”的图像形状相同,开口方向不同,且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2,求抛物线M相应的函数表达式.
(3)已知抛物线C:y=ax2+bx(其中a≠b)经过其“友好抛物线”的顶点:
①求抛物线C的对称轴;
②当-1≤x≤1时,y的最大值是4,求a的值.
6.如图①,已知抛物线y=x2+x-4与x轴交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C.
(1)抛物线的顶点为D,连接AD、AC、CD,求点D到AC的距离;
(2)如图②,在y轴正半轴有一点E满足OC=2OE,点P为直线AC下方抛物线上的一个动点,连接PA、AE,过点E作EF∥AP交x轴于点F,M为y轴上一个动点,N为x轴上一个动点,平面内有一点G-,-,连接PM、MN、NG、PF,当S△APF最大时,求PM+MN+NG的最小值;
(3)如图③,连接AC、BC,将抛物线沿着射线BC的方向平移2个单位长度,得到新的抛物线,新抛物线上是否存在一点R,使得∠RAC+∠BCO=45° 若存在,直接写出点R的坐标,若不存在,请说明理由.
图①
图②
图③
提升训练3　二次函数综合题
1.已知王叔叔晚饭后步行的路程S(单位:m)与时间t(单位:min)的函数图像如图所示,其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分.下列说法正确的是(　　)
A.线段CD的函数表达式为S=30t+400(25≤t≤50)
B.25~50 min,王叔叔步行的路程为2 000 m
C.曲线段AB的函数表达式为S=-3(t-20)2+1 200(5≤t≤20)
D.5~20 min,王叔叔步行的速度由慢到快
答案:C
解析:设线段CD的函数表达式为S=kt+b,将(25,1 200)、(50,2 000)代入,得解得
∴线段CD的函数表达式为S=32t+400(25≤t≤50),故选项A错误;
25~50 min,王叔叔步行的路程为2 000-1 200=800(m),故选项B错误;
由题图可得B(20,1 200),故可设曲线段AB的函数表达式为S=a(t-20)2+1 200(5≤t≤20),将(5,525)代入,得525=a(5-20)2+1 200,解得a=-3,
∴曲线段AB的函数表达式为S=-3(t-20)2+1 200(5≤t≤20),故选项C正确;
在OA段,王叔叔步行的平均速度为=105(m/min),在AB段,王叔叔步行的平均速度为=45(m/min),故选项D错误.
故选C.
2.(2025·徐州铜山一模)小宇想在边长为10的正方形纸片ABCD上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片,设计了如图所示的方案,若要使正方形纸片EFGH的面积最小,则AE的长为________.
答案:5
解析:设AE=x,正方形EFGH的面积为S,由题意,得S=x2+(10-x)2=2x2-20x+100,∴当x=-=5时,S最小,即AE的长为5时,S最小.
3.如图,某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水,喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直),如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面3米,则水流下落点B离墙的距离OB为________.
答案:3米
解析:由题意可得,抛物线的顶点坐标为(1,3),设抛物线相应的函数表达式为y=a(x-1)2+3,
将A(0,2.25)代入,得2.25=a(0-1)2+3,
解得a=-,∴y=-(x-1)2+3.
令y=0,解得x1=-1,x2=3,
∴点B的坐标为(3,0),∴OB=3,
即水流下落点B离墙的距离OB为3米.
4.【提出问题】
某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾,如何设计拱桥悬挂牌匾的方案
拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料
素材1 图①是一座拱桥,图②是桥拱的示意图,某时测得水面宽20 m,拱顶离水面5 m.每年夏季,该河段水位在此基础上会再涨1.8 m达到最高
素材2 国庆节,拟在图①所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾,悬挂点在桥拱上,牌匾长8 m、宽1.2 m,下沿与水面平行,为了安全,牌匾底部距离水面应不小于1 m
图①
图②
图③
【解决问题】
(1)若桥拱所构成的曲线是抛物线,建立如图③所示的平面直角坐标系,求抛物线相应的函数表达式;
(2)请你设计方案:在(1)的基础上,牌匾悬挂能否成功 请说明理由.
解:(1)如图,∵水面宽20 m,拱顶离水面5 m,
∴顶点C的坐标为(0,5),且抛物线经过点B(10,0),A(-10,0).
设该抛物线相应的函数表达式为y=ax2+bx+c,将C(0,5)、B(10,0)、A(-10,0)代入,得
解得
∴抛物线相应的函数表达式为y=-x2+5.
(2)根据题意得危险高度为1+1.8+1.2=4(m),
∵y=-x2+5,
当y=4时,解得x1=2,x2=-2,
∴牌匾的最大长度为2-(-2)≈8.94(m),
∵8.94>8,∴牌匾悬挂能成功.
5.新定义:我们把抛物线y=ax2+bx(ab≠0)与y=bx2+ax称为“友好抛物线”,例如:抛物线y=x2+2x的“友好抛物线”为y=2x2+x.
(1)抛物线y=6x2-x的“友好抛物线”为　　　　;“友好抛物线”的顶点坐标为　　　　.
(2)若抛物线M:y=ax2+bx(a<0)和其“友好抛物线”的图像形状相同,开口方向不同,且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2,求抛物线M相应的函数表达式.
(3)已知抛物线C:y=ax2+bx(其中a≠b)经过其“友好抛物线”的顶点:
①求抛物线C的对称轴;
②当-1≤x≤1时,y的最大值是4,求a的值.
解:(1)根据题意,得抛物线y=6x2-x的“友好抛物线”为y=-x2+6x,
∵y=-x2+6x=-(x-3)2+9,
∴“友好抛物线”的顶点坐标为(3,9),
故答案为y=-x2+6x;(3,9).
(2)抛物线M:y=ax2+bx(a<0)的“友好抛物线”为y=bx2+ax,
∵抛物线M:y=ax2+bx(a<0)和其“友好抛物线”的图像形状相同,开口方向不同,
∴a=-b①.
∵抛物线M:y=ax2+bx(a<0)上有且只有三个点到x轴的距离为2,
∴抛物线M:y=ax2+bx(a<0)的顶点纵坐标是2,即=2②.
由①②可得a=-8,b=8,∴抛物线M相应的函数表达式为y=-8x2+8x.
(3)①抛物线C:y=ax2+bx(其中a≠b)的“友好抛物线”为y=bx2+ax,其“友好抛物线”的顶点坐标为(-),
∴=a·(-)2+b·(-),
整理化简,得()2+-2=0,
解得=-2或=1,
∵a≠b,∴a=-2b,∴y=-2bx2+bx,
∴对称轴为直线x=-.
②由①知b=-a,对称轴为直线x=,
∴y=ax2-ax.
当a>0时,∵-1≤x≤1时,y的最大值为4,
∴当x=-1时,y=4,即4=a+a,解得a=;
当a<0时,∵-1≤x≤1时,y的最大值为4,
∴当x=时,y=4,即4=,
解得a=-64.
综上,a的值为或-64.
6.如图①,已知抛物线y=x2+x-4与x轴交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C.
(1)抛物线的顶点为D,连接AD、AC、CD,求点D到AC的距离;
(2)如图②,在y轴正半轴有一点E满足OC=2OE,点P为直线AC下方抛物线上的一个动点,连接PA、AE,过点E作EF∥AP交x轴于点F,M为y轴上一个动点,N为x轴上一个动点,平面内有一点G-,-,连接PM、MN、NG、PF,当S△APF最大时,求PM+MN+NG的最小值;
(3)如图③,连接AC、BC,将抛物线沿着射线BC的方向平移2个单位长度,得到新的抛物线,新抛物线上是否存在一点R,使得∠RAC+∠BCO=45° 若存在,直接写出点R的坐标,若不存在,请说明理由.
图①
图②
图③
解:(1)∵抛物线y=x2+x-4与x轴交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C,
当x=0时,y=-4,即C(0,-4),当y=0时,x=-4或x=2,即A(-4,0)、B(2,0),则对称轴为直线x=-1,当x=-1时,y=-,即D(-1,-).
连接OD(图略).
S△ACD=S△AOD+S△OCD-S△AOC=×4××4×1-×4×4=3,AC==4,
设点D到AC的距离为h,则AC·h=3,
解得h=,即点D到AC的距离为.
(2)由(1)知C(0,-4),∴OC=4.
∵OC=2OE,∴OE=2,∴E(0,2).
设AE相应的函数表达式为y=kx+m,将A(-4,0)、E(0,2)代入,
得解得
∴AE相应的函数表达式为y=x+2.
图①
连接PE,作PQ∥y轴交AE于点Q,如图①.
∵EF∥AP,
∴S△APF=S△APE=·PQ·|xE-xA|(xE、xA分别为E、A两点的横坐标),
设P(m,m2+m-4)(-4即PQ=-m2-m+6,则S△APF=-m2-m+12=-(m+)2+,
当m=-时,S△APF最大,最大值为,此时点P的坐标为(-,-).
如图②,作点P关于y轴对称的对称点P',可得P'的坐标为(,-),作点G关于x轴对称的对称点G',可得G'的坐标为(-),
图②
连接G'N、P'M、P'G',G'N=GN,MP'=MP,
∴PM+MN+NG=MP'+MN+G'N≥G'P,则当点G'、N、M、P共线时,PM+MN+NG有最小值,最小值为P'G'=.
(3)存在,R()或R(-5+,2-2).
∵将抛物线沿着射线BC的方向平移2个单位长度,得到新的抛物线,
∴平移后的新抛物线相应的函数表达式为y'=x2+3x-4,
假设新抛物线上存在一点R,使得∠RAC+∠BCO=45°,即在y轴上找点S满足OS=OB,
在△OSA和△OBC中,则△OSA≌△OBC(SAS),
∴∠OAS=∠OCB.
∵∠OAC=45°,
∴∠OAS+∠SAC=45°,
同理存在一点S1,使得∠S1AC=∠CAS,使得∠SAC+∠BCO=45°,
设直线AS相应的函数表达式为y=ax+b(a≠0),将A(-4,0)、S(0,-2)代入,得
解得∴y=-x-2.
联立
解得(舍).
∵存在一点S1,使得∠S1AC=∠CAS,使得∠SAC+∠BCO=45°,∴OS1=8.
设直线AS1相应的函数表达式为y=nx+q,将A(-4,0)、S1(0,-8)代入,得
解得∴y=-2x-8.
联立
解得(舍).
综上,R()或R(-5+,2-2).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑