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2026徐州专版中考数学
提升训练4　方程与不等式的实际应用
1.叶子是植物进行光合作用的重要部分,研究植物的生长情况会关注叶面的面积.在研究水稻等农作物的生长时,经常用一个简洁的经验公式S=来估算叶面的面积,其中a、b分别是稻叶的长和宽(如图①),k是常数.试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本,发现绝大部分稻叶的形状比较狭长(如图②),大致都在稻叶的处“收尖”.根据图②进行估算,对于此品种的稻叶,经验公式中k的值约为(　　)
图①
图②
A.0.79 B.0.99 C.1.01 D.1.27
2.(2025·徐州丰县月考)如图,现有一块矩形铁皮,其长是宽的2倍,在铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积是480 cm3,设矩形的宽为x,则可列方程为________.
3.(2025·徐州沛县期末)为了打造区域中心城市,实现跨越式发展,我市新区建设正按投资计划有序推进.新区建设工程部,因道路建设需要开挖土石方,计划每小时挖掘土石方540 m3,现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作,租赁公司提供的挖掘机有关信息如表:
挖掘机 租金(单位:元/台·时) 挖掘土石方量(单位:m3/台·时)
甲型号 100 60
乙型号 120 80
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台,恰好完成每小时的挖掘量,则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台
(2)如果每小时支付的租金不超过850元,又恰好完成每小时的挖掘量,那么共有几种不同的租用方案
有一种租车方案,即租用1台甲型挖掘机和6台乙型挖掘机.
4.(2024·徐州铜山期中)如图,在数轴上,点A表示数a,点B表示数b,a、b满足(a+9)2+|b-3|=0.
(1)点A表示的数为________,点B表示的数为________;
(2)若点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC,请在数轴上找一点C,使AC=2BC,则点C表示的数为________;
(3)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以每秒3个单位长度的速度向右运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动;同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位长度的速度也向右运动.若运动的时间为t秒,试求:当t为何值时,甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度.
5.近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长,为了缓解新能源汽车充电难的问题,某小区计划新建地上和地下两类充电桩,每个充电桩的占地面积分别为3 m2和1 m2.已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元,新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元.
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩,且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍,则共有几种建造方案 并列出所有方案.
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响,要求充电桩的总占地面积不得超过a m2,在(2)的条件下,若仅有两种方案可供选择,求出a的取值范围.
6.为了推进五育并举,促进学生全面发展,各校积极建设劳动实践基地.某校有一块长方形劳动实践基地,长为(2a-2)m,宽为a m(a>6).
(1)去年实践基地收获500 kg蔬菜,该校安排甲、乙两组志愿者进行采摘.已知甲组每分钟的采摘速度是乙组的2倍,而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成采摘任务所需要的时间少10 min.求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜.
(2)该校打算将原劳动基地进行扩建,计划将长增加14 m,宽增加a m,若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍,求整数a的值.
7.某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定:一次性销售1 000千克以内时,以50元/千克的价格销售;一次性销售不低于1 000千克时,每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响,一次性销售高于1 750千克时,均以某一固定价格销售.一次性销售利润y(单位:元)与一次性销售量x(单位:千克)的函数关系如图所示.
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元
(2)求一次性销售量不低于1 000千克且不高于1 750千克时的最大利润.
(3)当一次性销售多少千克时利润为22 100元
提升训练4　方程与不等式的实际应用
1.叶子是植物进行光合作用的重要部分,研究植物的生长情况会关注叶面的面积.在研究水稻等农作物的生长时,经常用一个简洁的经验公式S=来估算叶面的面积,其中a、b分别是稻叶的长和宽(如图①),k是常数.试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本,发现绝大部分稻叶的形状比较狭长(如图②),大致都在稻叶的处“收尖”.根据图②进行估算,对于此品种的稻叶,经验公式中k的值约为(　　)
图①
图②
A.0.79 B.0.99 C.1.01 D.1.27
答案:D
解析:由题图①可知,矩形的面积大于叶的面积,即S1.由题图②可知,叶片的尖端可以近似看作等腰三角形,∴稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分,∴矩形的长为4t,等腰三角形的高为3t,稻叶的宽为b,∴k=≈1.27,故选D.
2.(2025·徐州丰县月考)如图,现有一块矩形铁皮,其长是宽的2倍,在铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的容积是480 cm3,设矩形的宽为x,则可列方程为________.
答案:4(2x-8)(x-8)=480
3.(2025·徐州沛县期末)为了打造区域中心城市,实现跨越式发展,我市新区建设正按投资计划有序推进.新区建设工程部,因道路建设需要开挖土石方,计划每小时挖掘土石方540 m3,现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作,租赁公司提供的挖掘机有关信息如表:
挖掘机 租金(单位:元/台·时) 挖掘土石方量(单位:m3/台·时)
甲型号 100 60
乙型号 120 80
(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台,恰好完成每小时的挖掘量,则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台
(2)如果每小时支付的租金不超过850元,又恰好完成每小时的挖掘量,那么共有几种不同的租用方案
解:(1)设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台.
依题意得解得
故甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台.
(2)设租用m台甲型挖掘机、n台乙型挖掘机.
依题意,得60m+80n=540(m、n均为自然数),
∴m=9-n,符合条件的m、n的值为
当m=9,n=0时,支付租金为100×9+120×0=900元>850元,超出限额;
当m=5,n=3时,支付租金为100×5+120×3=860元>850元,超出限额;
当m=1,n=6时,支付租金为100×1+120×6=820元<850元,符合要求.
故有一种租车方案,即租用1台甲型挖掘机和6台乙型挖掘机.
4.(2024·徐州铜山期中)如图,在数轴上,点A表示数a,点B表示数b,a、b满足(a+9)2+|b-3|=0.
(1)点A表示的数为________,点B表示的数为________;
(2)若点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC,请在数轴上找一点C,使AC=2BC,则点C表示的数为________;
(3)若在原点O处放一挡板,一小球甲从点A处以每秒3个单位长度的速度向右运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动;同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位长度的速度也向右运动.若运动的时间为t秒,试求:当t为何值时,甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度.
解:(1)∵(a+9)2+|b-3|=0,
∴a+9=0,b-3=0,∴a=-9,b=3,
故答案为-9;3.
(2)设点C表示的数为m,当点C在线段AB上时,m-(-9)=2(3-m),解得m=-1;
当点C在点B右侧时,m-(-9)=2(m-3),解得m=15.∴点C表示的数为-1或15.
故答案为-1或15.
(3)当0≤t≤3时,小球甲所在点表示的数为-9+3t,小球乙所在点表示的数为3+2t,则3+2t-(-9+3t)=10,解得t=2;
当t>3时,小球甲所在点表示的数为0-3(t-3)=-3t+9,小球乙所在点表示的数为3+2t,则3+2t-(-3t+9)=10,解得t=3.2.
综上,当t为2秒或3.2秒时,甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度.
5.近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长,为了缓解新能源汽车充电难的问题,某小区计划新建地上和地下两类充电桩,每个充电桩的占地面积分别为3 m2和1 m2.已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元,新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元.
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩,且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍,则共有几种建造方案 并列出所有方案.
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响,要求充电桩的总占地面积不得超过a m2,在(2)的条件下,若仅有两种方案可供选择,求出a的取值范围.
解:(1)设该小区新建1个地上充电桩需要x万元,新建1个地下充电桩需要y万元,
根据题意,得解得
故该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元,新建1个地下充电桩需要0.3万元.
(2)设新建m个地上充电桩,则新建(60-m)个地下充电桩,
根据题意,得
解得18≤m≤20.
又m为正整数,∴m可取18、19、20,
∴共有3种建造方案,
方案1:新建18个地上充电桩,42个地下充电桩;
方案2:新建19个地上充电桩,41个地下充电桩;
方案3:新建20个地上充电桩,40个地下充电桩.
(3)选择方案1时,新建充电桩的总占地面积为3×18+1×42=96(m2);
选择方案2时,新建充电桩的总占地面积为3×19+1×41=98(m2);
选择方案3时,新建充电桩的总占地面积为3×20+1×40=100(m2).
∵在(2)的条件下,若仅有两种方案可供选择,
∴98≤a<100.
6.为了推进五育并举,促进学生全面发展,各校积极建设劳动实践基地.某校有一块长方形劳动实践基地,长为(2a-2)m,宽为a m(a>6).
(1)去年实践基地收获500 kg蔬菜,该校安排甲、乙两组志愿者进行采摘.已知甲组每分钟的采摘速度是乙组的2倍,而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成采摘任务所需要的时间少10 min.求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜.
(2)该校打算将原劳动基地进行扩建,计划将长增加14 m,宽增加a m,若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍,求整数a的值.
解:(1)设乙组每分钟采摘x kg的蔬菜,则甲组每分钟采摘2x kg的蔬菜,
由题意,得=10,解得x=25,
经检验,x=25是原分式方程的解,且符合题意.
2×25=50(kg),
故甲组每分钟采摘50 kg的蔬菜,乙组每分钟采摘25 kg的蔬菜.
(2)设扩建后的基地面积是原来的n倍(n为正整数),根据题意,得(2a-2+14)(a+a)=n(2a-2)a,解得n=2+,
∵a>6,a为整数,且n为正整数,
∴∴整数a的值为8或15.
7.某公司的化工产品成本为30元/千克.销售部门规定:一次性销售1 000千克以内时,以50元/千克的价格销售;一次性销售不低于1 000千克时,每增加1千克降价0.01元.考虑到降价对利润的影响,一次性销售高于1 750千克时,均以某一固定价格销售.一次性销售利润y(单位:元)与一次性销售量x(单位:千克)的函数关系如图所示.
(1)当一次性销售800千克时利润为多少元
(2)求一次性销售量不低于1 000千克且不高于1 750千克时的最大利润.
(3)当一次性销售多少千克时利润为22 100元
解:(1)根据题意,当x=800时,y=800×(50-30)=16 000,
故当一次性销售800千克时利润为16 000元.
(2)设一次性销售量不低于1 000千克且不高于1 750千克时,销售价格为50-30-0.01(x-1 000)=-0.01x+30,
∴y=x(-0.01x+30)=-0.01(x-1 500)2+22 500,
∵-0.01<0,1 000≤x≤1 750,∴当x=1 500时,y有最大值,最大值为22 500,
∴一次性销售量不低于1 000千克且不高于1 750千克时的最大利润为22 500元.
(3)①当1 000≤x≤1 750时,
令-0.01(x-1 500)2+22 500=22 100,
解得x1=1 700,x2=1 300;
②当x>1 750时,设此时函数表达式为y=kx,由(2)知,当x=1 750时,y=-0.01×(1 750-1 500)2+22 500=21 875,
∴B(1 750,21 875),
把点B的坐标代入y=kx,得21 875=1 750k,解得k=12.5,∴当x>1 750时函数表达式为y=12.5x,令22 100=12.5x,解得x=1 768.
综上,当一次性销售1 300千克或1 700千克或1 768千克时利润为22 100元.
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