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2026徐州专版中考数学
提升训练5　三角函数的实际应用
1.如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为________m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
2.如图,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距m米,在建筑物的顶部A观测塔顶C的仰角为α,塔底D的俯角为β,则铁塔的高度为________米.(用含m、α、β的式子表示)
3.拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱的示意图如图所示(滚轮忽略不计),箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为60 cm,两节可调节的拉杆长度相等,且与BC在同一条直线上.如图①,当拉杆伸出一节(AB)时,AC与地面夹角∠ACG=53°;如图②,当拉杆伸出两节(AM、MB)时,AC与地面夹角∠ACG=37°,两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度.
(参考数据:sin 53°≈,sin 37°≈,tan 53°≈,tan 37°≈)
图①
图②
4.(2024·南京中考)如图,港口B位于港口A的北偏西37°方向,港口C位于港口A的北偏东21°方向,港口C位于港口B的北偏东76°方向.一艘海轮从港口A出发,沿正北方向航行.已知港口B到航线的距离为12 km,求港口C到航线的距离.
(参考数据:tan 21°≈,tan 37°≈,tan 76°≈4)
5.四边形不具有稳定性,工程上可利用这一性质解决问题.某篮球架的侧面示意图如图所示,BE、CD、GF为长度固定的支架,支架在A、D、G处与立柱AH连接(AH垂直于MN,垂足为H),在B、C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN),EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度,使得支架BE绕点A旋转,从而改变四边形ABCD的形状,以此调节篮板的高度).已知AD=BC,DH=208 cm,测得∠GAE=60°时,点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF,将∠GAE由60°调节为54°,判断点C离地面的高度升高还是降低了 升高(或降低)了多少 (参考数据:sin 54°≈0.8,cos 54°≈0.6)
6.如图①,某校的一棵银杏树,树龄已逾千年,为了映衬这棵银杏树,园林部门以树干根部为中心,在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪.小伟所在的综合学习小组,为了测量这棵银杏树的高度,采取如下测量方案:将测角仪支架AB放在圆形草坪的圆周上,使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径,当测角仪距离地面1米时,在A处测得银杏树顶D的仰角为77°,再将测角仪的支架下降20厘米,在C处测得树顶的仰角为78°(如图②),请求出这棵银杏树的高度OD.(精确到1 m.参考数据:sin 77°≈0.97,cos 77°≈0.22,tan 77°≈4.33,sin 78°≈0.98,cos 78°≈0.21,tan 78°≈4.70)
图①
图②
7.(2025·徐州模拟)阅读下列材料,解答问题.
【背景】如图①,李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡,为方便浇水灌溉,从家里铺设的水管到果园,原来经过小土坡铺设的水管(DB—BA—AC—CE)由于风吹日晒,老化损坏,现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管(点D、B、C、E在同一直线上).
【问题】为了计算新水管的长度,需要测量B、C之间的距离;
要了解水管承受的压力,需要测量土坡的高度.
【工具】一把皮尺和一台测角仪,如图②.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离;测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小.
【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度AB=a m,AC=b m,再用测角仪测得∠A=α.
解答问题:
图①
图②
(1)求BC的长度;(结果用含a、b、α的代数式表示)
(2)若测得a=20 m,b=25 m,α=120°,求出小土坡的高度.
提升训练5　三角函数的实际应用
1.如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为________m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
答案:17
解析:如图,AB的延长线与PQ的延长线交于点C,
由题意,知AC=30 m,PQ=26.6 m,∠APC=37°,∠BQC=45°,
在Rt△APC中,PC==40(m),
∴QC=PC-PQ≈40-26.6=13.4(m).
在Rt△BQC中,BC=QC≈13.4 m,
∴AB=AC-BC≈30-13.4≈17(m).
2.如图,平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距m米,在建筑物的顶部A观测塔顶C的仰角为α,塔底D的俯角为β,则铁塔的高度为________米.(用含m、α、β的式子表示)
答案:(mtan α+mtan β)
解析:如图,过A作AE⊥CD,垂足为E,
则∠AEC=∠AED=90°,AE=m米.
在Rt△AEC中,CE=AE·tan α=mtan α米,
在Rt△AED中,DE=AE·tan β=mtan β米,
∴CD=CE+DE=(mtan α+mtan β)米,
即铁塔的高度为(mtan α+mtan β)米.
3.拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱的示意图如图所示(滚轮忽略不计),箱体截面是矩形BCDE,BC的长度为60 cm,两节可调节的拉杆长度相等,且与BC在同一条直线上.如图①,当拉杆伸出一节(AB)时,AC与地面夹角∠ACG=53°;如图②,当拉杆伸出两节(AM、MB)时,AC与地面夹角∠ACG=37°,两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度.
(参考数据:sin 53°≈,sin 37°≈,tan 53°≈,tan 37°≈)
图①
图②
解:如图①,过点A作AF⊥CG,垂足为F,设AB=x cm,则AC=(60+x)cm,
图①
图②
∴AF=(60+x)·sin 53°.
如图②,过点A作AH⊥CG,垂足为H,则AC=(60+2x)cm,∴AH=(60+2x)·sin 37°.
∵AF=AH,∴(60+x)·sin 53°=(60+2x)·sin 37°,∴,解得x=30.
故每节拉杆的长度约为30 cm.
4.(2024·南京中考)如图,港口B位于港口A的北偏西37°方向,港口C位于港口A的北偏东21°方向,港口C位于港口B的北偏东76°方向.一艘海轮从港口A出发,沿正北方向航行.已知港口B到航线的距离为12 km,求港口C到航线的距离.
(参考数据:tan 21°≈,tan 37°≈,tan 76°≈4)
解:如图,设BC交航线于点D,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,
则∠BDE=∠CDF=76°,BE=12 km,
由题意知∠BAE=37°,∠CAF=21°,
∵tan∠BDE=,
∴DE==3(km).
∵tan∠BAE=,
∴AE==16(km).
设CF=x km,∵tan∠CDF==tan 76°≈4,
∴DF≈CF= km,∴AF=AE+DE+DF=16+3+=19+(km).
∵tan∠CAF==tan 21°≈,∴CF≈AF,即x≈(19+),解得x≈8,
故港口C到航线的距离约为8 km.
5.四边形不具有稳定性,工程上可利用这一性质解决问题.某篮球架的侧面示意图如图所示,BE、CD、GF为长度固定的支架,支架在A、D、G处与立柱AH连接(AH垂直于MN,垂足为H),在B、C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN),EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度,使得支架BE绕点A旋转,从而改变四边形ABCD的形状,以此调节篮板的高度).已知AD=BC,DH=208 cm,测得∠GAE=60°时,点C离地面的高度为288 cm.调节伸缩臂EF,将∠GAE由60°调节为54°,判断点C离地面的高度升高还是降低了 升高(或降低)了多少 (参考数据:sin 54°≈0.8,cos 54°≈0.6)
解:点C离地面的高度升高了,理由:
如图,当∠GAE=60°时,过点C作CK⊥HA,交HA的延长线于点K,
∵BC⊥MN,AH⊥MN,∴BC∥AH.
∵BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠ADC=∠GAE=60°.
∵点C离地面的高度为288 cm,DH=208 cm,
∴DK=288-208=80(cm).
在Rt△CDK中,CD==160 cm.
如图,当∠GAE=54°,过点C作CQ⊥HA,交HA的延长线于点Q,
在Rt△CDQ中,CD=160 cm,∴DQ=CD·cos 54°≈160×0.6=96(cm),∴96-80=16(cm),即点C离地面的高度升高约16 cm.
6.如图①,某校的一棵银杏树,树龄已逾千年,为了映衬这棵银杏树,园林部门以树干根部为中心,在其四周的地面铺设了圆形的景观草坪.小伟所在的综合学习小组,为了测量这棵银杏树的高度,采取如下测量方案:将测角仪支架AB放在圆形草坪的圆周上,使得测角仪与树干的距离等于圆形草坪的半径,当测角仪距离地面1米时,在A处测得银杏树顶D的仰角为77°,再将测角仪的支架下降20厘米,在C处测得树顶的仰角为78°(如图②),请求出这棵银杏树的高度OD.(精确到1 m.参考数据:sin 77°≈0.97,cos 77°≈0.22,tan 77°≈4.33,sin 78°≈0.98,cos 78°≈0.21,tan 78°≈4.70)
图①
图②
解:如图,作AE⊥OD,CF⊥OD.
由题意,得∠DAE=77°,∠DCF=78°,AB=OE=1 m,AC=EF=20 cm=0.2 m,
则OF=OE-EF=0.8 m.
设这棵银杏树高OD=h m.
在Rt△ADE中,tan∠DAE=tan 77°=,则AE=.
在Rt△DCF中,tan∠DCF=tan 78°=,则CF=.
∵AE=CF,∴,解得h≈22.
故这棵银杏树的高度OD约为22米.
7.(2025·徐州模拟)阅读下列材料,解答问题.
【背景】如图①,李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡,为方便浇水灌溉,从家里铺设的水管到果园,原来经过小土坡铺设的水管(DB—BA—AC—CE)由于风吹日晒,老化损坏,现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管(点D、B、C、E在同一直线上).
【问题】为了计算新水管的长度,需要测量B、C之间的距离;
要了解水管承受的压力,需要测量土坡的高度.
【工具】一把皮尺和一台测角仪,如图②.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离;测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小.
【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度AB=a m,AC=b m,再用测角仪测得∠A=α.
解答问题:
图①
图②
(1)求BC的长度;(结果用含a、b、α的代数式表示)
(2)若测得a=20 m,b=25 m,α=120°,求出小土坡的高度.
解:(1)如图,过点B作BF⊥CA交CA延长线于点F,则∠F=90°,
设∠BAF=β,∴sin∠BAF==sin β,cos∠BAF==cos β,
∴BF=ABsin β=asin β(m),AF=ABcos β=acos β(m),
∴CF=AF+AC=(acos β+b)(m).
在Rt△BFC中,BC2=BF2+CF2,
故BC=
=
=
=(m).
∵∠BAF+∠BAC=180°,
∴β+α=180°,即β=180°-α,
∴BC=(m),
即BC的长度为m.
(2)如图,过点A作AG⊥BC于点G,
∵a=20 m,b=25 m,α=120°,
∴BF=asin(180°-α)=20sin 60°=10(m),BC=
=
=5(m),
∵S△ABC=AC·BF=BC·AG,
∴AG=(m),
即小山坡的高度为m.
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