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2026徐州专版中考数学
提升训练7　相似综合问题
1.(2025·徐州泉山期末)如图,在△ABC中,D为BC上一点,E为AC上一点,AD、BE交于点G,且AG∶GD=4∶1,BD∶DC=2∶3,则AE∶EC的值是 (　　)
A.3∶2 B.4∶3
C.6∶5 D.8∶5
2.(2024·江苏南通中考)在△ABC中,∠B=∠C=α(0°<α<45°),AH⊥BC,垂足为H,D是线段HC上的动点(不与点H、C重合),将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.两位同学经过深入研究,小明发现:当点E落在边AC上时,D为HC的中点;小丽发现:连接AE,当AE的长最小时,AH2=AB·AE.请对两位同学的发现作出评判(　　)
A.小明正确,小丽错误
B.小明错误,小丽正确
C.小明、小丽都正确
D.小明、小丽都错误
3.(2025·江苏宿迁中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D在边AB上,过点A作AE⊥CD,垂足为点E,则的最小值是________.
4.(2024·江苏苏州中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CB=5,CA=10,点D、E分别在AC、AB边上,AE=AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折,得到△FDE,连接CE、CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍,则AD=________.
5.在△ABC中,点D在边AB上,若CD2=AD·DB,则称点D是点C的“关联点”.
图①
图②
(1)如图①,在△ABC中,若∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.试说明:点D是点C的“关联点”.
(2)如图②,已知点D在线段AB上,用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC,使其同时满足下列条件:①点D为点C的“关联点”;②∠ACB是钝角(保留作图痕迹,不写作法).
6.在正方形ABCD中,点E在边BC、CD上运动(不与正方形顶点重合).作射线AE,将射线AE绕点A逆时针旋转45°,交射线CD于点F.
(1)如图,点E在边BC上,BE=DF,则图中与线段AE相等的线段是　　　　;
(2)过点E作EG⊥AF,垂足为G,连接DG,求∠GDC的度数;
(3)在(2)的条件下,当点F在边CD延长线上且DF=DG时,求的值.
7.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使点A的对称点P落在CD上,点B的对称点为G,PG交BC于点H.
图①
图②
(1)求证:△EDP∽△PCH.
(2)若P为CD的中点,且AB=2,BC=3,求GH的长.
(3)如图②,连接BG.若P为CD的中点,H为BC的中点,探究BG与AB的数量关系并说明理由.
提升训练7　相似综合问题
1.(2025·徐州泉山期末)如图,在△ABC中,D为BC上一点,E为AC上一点,AD、BE交于点G,且AG∶GD=4∶1,BD∶DC=2∶3,则AE∶EC的值是 (　　)
A.3∶2 B.4∶3
C.6∶5 D.8∶5
答案:D
解析:如图,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F,则△AGF∽△DGB,△AFE∽△CBE,
∴,∴AF=4BD.
∵BD∶DC=2∶3,∴BD∶BC=2∶5,
∴BC=BD,∴.故选D.
2.(2024·江苏南通中考)在△ABC中,∠B=∠C=α(0°<α<45°),AH⊥BC,垂足为H,D是线段HC上的动点(不与点H、C重合),将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.两位同学经过深入研究,小明发现:当点E落在边AC上时,D为HC的中点;小丽发现:连接AE,当AE的长最小时,AH2=AB·AE.请对两位同学的发现作出评判(　　)
A.小明正确,小丽错误
B.小明错误,小丽正确
C.小明、小丽都正确
D.小明、小丽都错误
答案:C
解析:∵将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE,∴DH=DE,∠HDE=2α,
如图,当点E落在边AC上时.
∵∠HDE=∠C+∠CED,∠C=α,
∴∠CED=α=∠C,
∴DE=CD,∴DH=CD,∴D为CH的中点,故小明的发现是正确的;
如图,连接AE、HE,
∵DH=DE,∠HDE=2α,∴∠DHE=∠DEH=(180°-2α)=90°-α.
∵AH⊥BC,∴∠AHB=∠AHD=90°,
∴∠AHE=∠AHD-∠DHE=α,
∴点E在射线HE上运动,
∴当AE⊥HE时,AE的长最小,
∴当AE的长最小时,∠AEH=∠AHB=90°.
∵∠B=∠C=α=∠AHE,
∴△AEH∽△AHB,
∴,∴AH2=AB·AE,
故小丽的发现正确.故选C.
3.(2025·江苏宿迁中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D在边AB上,过点A作AE⊥CD,垂足为点E,则的最小值是________.
答案:1
解析:如图,过点C作CF⊥AB于点F,过点E作EK⊥AB于点K,
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB==5.
∵S△ABC=AC·BC=AB·CF,
∴CF=.
∵CF⊥AB,EK⊥AB,
∴∠EKD=∠CFD=90°.
∵∠EDK=∠CDF,∴△EDK∽△CDF,
∴.
∵CF=,是定值,
∴EK取最大值时,取最小值.
∵点D运动过程中,始终保持AE⊥CD,
∴点E在以AC中点O为圆心,AC长为半径的半圆上,则AO=CO=AC=2.
当点E在弧AF上,E、K、O三点共线时,即点E在E'位置,与AB交于点K'时,EK取最大值.
∵∠AK'O=∠ACB=90°,∠K'AO=∠CAB,
∴△K'AO∽△CAB,∴,即,
解得K'O=,
∴E'K'=OE'-K'O=2-,
即EK的最大值为,
当EK=时,取最小值,最小值为=3.
当点E在弧CF上时,同理可知,点E与点C重合时,点D与点B重合,EK最大,∴的最小值是1.
综上,的最小值是1.故答案为1.
4.(2024·江苏苏州中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CB=5,CA=10,点D、E分别在AC、AB边上,AE=AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折,得到△FDE,连接CE、CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍,则AD=________.
答案:
解析:∵AE=AD,∴设AD=x,则AE=x.
∵△ADE沿DE翻折,得到△FDE,
∴DF=AD=x,∠ADE=∠FDE.
如图,过点E作EH⊥AC于点H,设EF与AC相交于点M,则∠AHE=∠ACB=90°,
∵∠A=∠A,
∴△AHE∽△ACB,
∴.
∵CB=5,CA=10,∴AB==5,∴,
∴EH=x,AH=2x,则DH=AH-AD=x=EH,∴△EHD是等腰直角三角形,
∴∠HDE=∠HED=45°,则∠ADE=∠EDF=135°,∴∠FDM=135°-45°=90°.
在△FDM和△EHM中,
∴△FDM≌△EHM(AAS),
∴DM=MH=x,CM=AC-AD-DM=10-x,
∴S△CEF=S△CME+S△CMF=CM·EH+CM·DF=(10-x)·x+(10-x)·x=(10-x)·x,
S△BEC=S△ABC-S△AEC=×10×5-×10·x=25-5x.
∵S△CEF=2S△BEC,
∴(10-x)·x=2(25-5x),
整理得3x2-40x+100=0,
解得x1=,x2=10(舍去),则AD=.
5.在△ABC中,点D在边AB上,若CD2=AD·DB,则称点D是点C的“关联点”.
图①
图②
(1)如图①,在△ABC中,若∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.试说明:点D是点C的“关联点”.
(2)如图②,已知点D在线段AB上,用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC,使其同时满足下列条件:①点D为点C的“关联点”;②∠ACB是钝角(保留作图痕迹,不写作法).
(1)证明:∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠CDB=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD,∠B=∠ACD.
∴△ACD∽△CBD,∴,
∴CD2=AD·DB,
∴点D是点C的“关联点”.
(2)解:如图,△ABC即为所求.
6.在正方形ABCD中,点E在边BC、CD上运动(不与正方形顶点重合).作射线AE,将射线AE绕点A逆时针旋转45°,交射线CD于点F.
(1)如图,点E在边BC上,BE=DF,则图中与线段AE相等的线段是　　　　;
(2)过点E作EG⊥AF,垂足为G,连接DG,求∠GDC的度数;
(3)在(2)的条件下,当点F在边CD延长线上且DF=DG时,求的值.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠D=90°,
∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF.故答案为AF.
图①
(2)如图①,当点E在BC边上时,过点G作GM⊥AD交于点M,延长MG交BC于点N,
∴∠AMG=∠DMG=∠GNE=90°,
∴四边形CDMN是矩形,
∴∠AGM+∠MAG=90°.
又EG⊥AF,∴∠AGM+∠EGN=90°,
∴∠MAG=∠EGN.
∵∠AGE=90°,∠EAF=45°,
∴△AEG是等腰直角三角形,∴AG=EG,
∴△AMG≌△GNE,∴AM=GN.
∵AM+MD=GN+MG,∴MD=MG,
∴△MDG为等腰直角三角形,
∴∠MDG=45°,∴∠GDC=45°.
图②
如图②,当点E在边CD上时,过点G作GN⊥DF交于点N,延长NG交BA延长线于点M,∴四边形ADNM是矩形,
同理,△AMG≌△GNE,
∴GN=AM=DN,
∴△NDG为等腰直角三角形,∴∠GDN=45°,
∴∠GDC=180°-45°=135°.
综上,∠GDC的度数为45°或135°.
(3)当点F在边CD延长线上时,点E在边CD上,如图②,设GN=DN=a,则DG=a,
∴DF=DG=a,
∴FN=DF-DN=(-1)a,
∵GN∥AD,∴-1.
7.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,使点A的对称点P落在CD上,点B的对称点为G,PG交BC于点H.
图①
图②
(1)求证:△EDP∽△PCH.
(2)若P为CD的中点,且AB=2,BC=3,求GH的长.
(3)如图②,连接BG.若P为CD的中点,H为BC的中点,探究BG与AB的数量关系并说明理由.
(1)证明:如图,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,∴∠1+∠3=90°.
由折叠可知,∠EPH=∠A=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠3=∠2,
∴△EDP∽△PCH.
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠D=90°.
∵P为CD的中点,∴DP=CP=CD=1.
设EP=AE=x,则ED=3-x.
在Rt△EDP中,EP2=ED2+DP2,即x2=(3-x)2+1,解得x=,∴EP=AE=,
∴ED=.
∵△EDP∽△PCH,∴,
∴,解得PH=.
∵PG=AB=2,∴GH=PG-PH=.
(3)解:AB=BG.理由如下:如图,延长AB、PG的延长线交于点M,连接AP.
由矩形折叠的性质可知,BG∥AP,AE=EP,
∴∠EAP=∠EPA,
∴∠BAP=∠GPA,
∴MA=MP.
设DP=CP=y,则AB=PG=CD=2y.
∵H为BC的中点,∴BH=CH.
∵∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH,
∴△MBH≌△PCH,
∴BM=CP=y,HM=HP,
∴MP=MA=MB+AB=3y,
∴HP=PM=y.
在Rt△PCH中,CH=y,
∴AD=BC=2CH=y.
在Rt△APD中,AP=y.
∵BG∥AP,∴△BMG∽△AMP,∴,
∴BG=y,∴,
∴AB=BG.
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