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2026徐州专版中考数学
提升训练8　阴影部分的面积计算
1.如图,在矩形ABCD中,P为对角线AC上一点,过点P分别作AB、AD的平行线GH、EF,若矩形ABCD的面积为S,则阴影部分的面积可以表示为(　　)
A.S B.S C.S D.S
2.(2025·徐州新沂月考)如图,第一象限内点A、B分别在反比例函数y=和y=的图像上,分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线,围成的阴影部分的面积为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
3.(2025·徐州泉山模拟)如图,矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数y=(x>0)与y=-(x<0)的图像上,点C、D在x轴上,AB、BD分别交y轴于点E、F,则阴影部分的面积等于(　　)
A. B.2 C. D.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D',点A'恰好落在矩形ABCD的边CD上,则AD扫过的部分(即阴影部分)面积为________.
5.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,☉A与BC相切于点D.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)设☉A上有一动点P,连接CP、BP,当CP的长度最大时,求BP的长.
6.(2025·江苏南通中考)如图,PA与☉O相切于点A,AC为☉O的直径,点B在☉O上,连接PB、PC,且PA=PB.
(1)连接OB,求证:OB⊥PB;
(2)若∠APB=60°,PA=2,求图中阴影部分的面积.
7.(2025·徐州期中)已知AB为☉O的直径,C为☉O上一点,D为BA的延长线上一点,连接CD.过点C作CE⊥AB于点E,且∠ACD=∠ACE.
(1)求证:DC是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,且A为OD的中点,求图中阴影部分的面积.
8.将边长均为6 cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起,使点E、B分别在边AC、DF上(端点除外),边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点H.
(1)如图①,当E是边AC的中点时,两张纸片重叠部分的形状是________;
(2)如图②,若EF∥BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值.
图①
图②
提升训练8　阴影部分的面积计算
1.如图,在矩形ABCD中,P为对角线AC上一点,过点P分别作AB、AD的平行线GH、EF,若矩形ABCD的面积为S,则阴影部分的面积可以表示为(　　)
A.S B.S C.S D.S
答案:B
解析:设AG=a,GD=b,AE=c,EB=d,在矩形ABCD中,有S△ABC=S△ACD,S△AEP=S△AGP,S△CFP=S△CHP,
∴S矩形BHPE=S矩形DGPF,即ad=bc.
∵S=(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,
S空白=a(c+d)+d(a+b)=(ac+ad+ad+bd)=(ac+ad+bc+bd)=S,
∴S阴影=S-S空白=S-S=S.
故选B.
2.(2025·徐州新沂月考)如图,第一象限内点A、B分别在反比例函数y=和y=的图像上,分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线,围成的阴影部分的面积为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
答案:B
解析:如图,由题意,得四边形ACOD和BEOF为矩形,根据反比例函数比例系数的几何意义,得S矩形ACOD=8,S矩形BEOF=2,则阴影部分的面积为S矩形ACOD-S矩形BEOF=6.故选B.
3.(2025·徐州泉山模拟)如图,矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数y=(x>0)与y=-(x<0)的图像上,点C、D在x轴上,AB、BD分别交y轴于点E、F,则阴影部分的面积等于(　　)
A. B.2 C. D.
答案:D
解析:设点A的坐标为(a,),a>0,则OD=a,OE=,∴点B的纵坐标为,
将y=代入y=-,得x=-,故点B的坐标为(-),∴OC=,∴BE=.
∵AB∥CD,∴△BEF∽△DOF,∴,
∴EF=OE=,OF=OE=,
∴S△BEF=EF·BE=,
S△ODF=OD·OF=×a×,
∴S阴影=S△BEF+S△ODF=.
故选D.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D',点A'恰好落在矩形ABCD的边CD上,则AD扫过的部分(即阴影部分)面积为________.
答案:
解析:如图,连接BD'、BD,∵将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D',
∴S△BAD+S△BC'D'=S矩形BC'D'A',A'B=AB=2,∠BCD=∠ABC=90°.
在△A'BC中,A'C=,
∴∠A'BC=60°,∴∠ABA'=30°,由旋转的性质可知∠DBD'=∠ABA'=30°.在△ABD中,BD=,
∴S阴影=S△ABD+S扇形DBD'+S△BC'D'-S扇形ABA'-S矩形A'BC'D'=S扇形DBD'-S扇形ABA'=.
5.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,☉A与BC相切于点D.
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)设☉A上有一动点P,连接CP、BP,当CP的长度最大时,求BP的长.
解:(1)如图,连接AD,∵AB=3,AC=4,BC=5,
∴AC2+AB2=BC2,∴∠BAC=90°.
∵☉A与BC相切于点D,
∴AD=,S阴影=S△ABC-S扇形EAF=×3×4-=6-π.
(2)如图,当C、A、P三点共线时,CP的长度最大,
∴AP=.
∵∠CAB=90°,
∴∠PAB=90°.
∴BP=.
6.(2025·江苏南通中考)如图,PA与☉O相切于点A,AC为☉O的直径,点B在☉O上,连接PB、PC,且PA=PB.
(1)连接OB,求证:OB⊥PB;
(2)若∠APB=60°,PA=2,求图中阴影部分的面积.
(1)证明:如图,连接OP,
∵PA与☉O相切,∴OA⊥PA,
∴∠OAP=90°.
在△AOP和△BOP中,
∴△AOP≌△BOP(SSS),
∴∠OBP=∠OAP=90°,∴OB⊥PB.
(2)解:如图,连接BC,
∵∠OBP=∠OAP=90°,∠APB=60°,
∴∠AOB=120°,
∴∠COB=60°.
∵OB=OC,∴△BOC为等边三角形,
∴∠OCB=60°,由(1)知△AOP≌△BOP,
∴∠AOP=∠BOP=60°.
∴∠AOP=∠OCB,OA==2,
∴OP∥BC,∴S△PCB=S△OCB,
∴S阴影=S扇形OCB=.
7.(2025·徐州期中)已知AB为☉O的直径,C为☉O上一点,D为BA的延长线上一点,连接CD.过点C作CE⊥AB于点E,且∠ACD=∠ACE.
(1)求证:DC是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,且A为OD的中点,求图中阴影部分的面积.
(1)证明:如图,连接OC,∵CE⊥AB,
∴∠ACE+∠CAE=90°.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAE.
∵∠ACD=∠ACE,
∴∠OCA+∠ACD=90°,
∴OC⊥CD,
∵OC是☉O的半径,∴DC是☉O的切线.
(2)解:在Rt△OCD中,A为OD的中点,
∴AC=OA=OC,
∴△AOC为等边三角形,
∴∠DOC=60°.
∵☉O的半径为2,∴OD=4,
∴CD==2,
∴S阴影=S△DOC-S扇形AOC=×2×2-=2.
8.将边长均为6 cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起,使点E、B分别在边AC、DF上(端点除外),边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点H.
(1)如图①,当E是边AC的中点时,两张纸片重叠部分的形状是________;
(2)如图②,若EF∥BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值.
图①
图②
解:(1)如图,连接BE、CD.
∵△ABC,△DEF都是等边三角形,
∴∠ACB=∠EDF=60°,
∴B、D、C、E四点共圆.
∵E是AC的中点,
∴∠BEC=90°,
∴BC为过B、D、C、E四点的圆的直径.
∵DE=BC=6 cm,
∴DE为过B、D、C、E四点的圆的直径,
∴点H为圆心,∴EH=BH,
∴∠HBE=∠HEB=30°,
∴∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=30°,
∴BG∥EH,BH∥EG,
∴四边形BHEG是平行四边形,
∵EH=BH,∴四边形BHEG是菱形,
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形.
故答案为菱形.
(2)∵△ABC、△DEF都是等边三角形,
∴∠ABC=∠DEF=∠C=60°,AC=BC=6 cm.
∵EF∥BC,∴∠CHE=∠DEF=60°,
∴∠ABC=∠CHE,∴BG∥EH,
∴四边形BHEG是平行四边形.
∵∠C=∠CHE=60°,
∴△EHC是等边三角形,
过点E作ET⊥HC,
∴设EH=CH=2x cm,
则BH=(6-2x)cm,HT=CH=x cm,
∴ET=x cm,
∴S重叠=S四边形BHEG=BH·ET=(6-2x)·x=-2(x-)2+,∴当x=时,S重叠有最大值,最大值为 cm2.
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