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2026徐州专版中考数学
提升训练9　动态几何问题
1.(2025·徐州泉山模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,以AB边上的动点O为圆心,OB为半径作圆,将△AOD沿OD翻折至△A'OD,若☉O过△A'OD一边上的中点,则☉O的半径为________.
2.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=7 cm,BC=10 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.当一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t s.
(1)求几秒后,△PBQ的面积等于6 cm2.
(2)P、Q两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PBQ的面积最大 若存在,求出时间t和△PBQ的最大面积;若不存在,请说明理由.
3.如图,将Rt△ABC沿AD翻折,直角顶点C的对应点C'落在边AB上,折痕为AD,点O在边AB上,☉O经过点A、D.
(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=4,∠B=30°,求☉O的半径.
4.在△ABC中,AB=AC,D是射线CB上的一动点(不与点B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图①,当点D在线段CB上,且∠BAC=90°时,那么∠DCE=　　　 .
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.
①如图②,当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图③,当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图③补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系(不需证明).
图①
图②
图③
5.综合与实践课上,李老师带领同学们动手折叠一张正方形纸片ABCD.点E在边AD上,点F、G分别在边AB、CD上,分别沿EF、EG把∠A、∠D向内折叠并压平,点A、D分别落在点A'、D'处,且点A'、D'都在正方形ABCD内部.
【问题初探】
(1)小明同学的折叠如图①,若∠FEG=110°,求∠A'ED'的度数.
【特例探究】
(2)小颖同学的操作如图②,点D'在线段EA'上;小丽同学的操作如图③,点A'在EG上,点D'在EF上.分别求出图②和图③中∠FEG的度数.
【归纳推广】
(3)若小聪折叠后∠A'ED'=n°(n≠0),直接写出∠FEG的度数(用含n的代数式表示).
图①
图②
图③
提升训练9　动态几何问题
1.(2025·徐州泉山模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,以AB边上的动点O为圆心,OB为半径作圆,将△AOD沿OD翻折至△A'OD,若☉O过△A'OD一边上的中点,则☉O的半径为________.
答案:
解析:如图①,当以OB为半径的☉O过△A'OD的边OA'的中点时,由折叠可知OA=OA',而OA'=2OB,
图①
∴AB=3OB,
∴OB=AB=;
如图②,当以OB为半径的☉O过△A'OD的边OD的中点时,则OD=2OB,
图②
设OB=x,则OD=2x,OA=2-x.
在Rt△AOD中,OA2+AD2=OD2,
即(2-x)2+22=(2x)2,
解得x=或x=<0(舍去),
即半径OB=;
如图③,当以OB为半径的☉O过△A'OD的边A'D的中点时,则A'E=A'D=AD=1,连接OE.
图③
设OB=y,则OE=y,OA'=OA=2-y.
在Rt△A'OE中,OA'2+A'E2=OE2,
即(2-y)2+12=y2,
解得y=,即半径OB=.
综上,半径OB的长为.
2.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=7 cm,BC=10 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.当一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t s.
(1)求几秒后,△PBQ的面积等于6 cm2.
(2)P、Q两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PBQ的面积最大 若存在,求出时间t和△PBQ的最大面积;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意,得AP=t,BQ=2t,则PB=7-t,CQ=10-2t,
∴S△PBQ=(7-t)·2t=6.
解得t=1或t=6.
∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,
∴0≤t≤5.∴t=1.
故1 s后△PBQ的面积等于6 cm2.
(2)存在.理由如下:
由题意,得S△PBQ=(7-t)·2t=-t2+7t=-(t-)2+(0≤t≤5),
∴当t=时,△PBQ的面积最大,最大面积为 cm2.
3.如图,将Rt△ABC沿AD翻折,直角顶点C的对应点C'落在边AB上,折痕为AD,点O在边AB上,☉O经过点A、D.
(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=4,∠B=30°,求☉O的半径.
解:(1)BC与☉O相切.理由如下:
如图,连接OD.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
由翻折,得∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠C=∠ODB.在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴∠ODC=90°,即OD⊥BC.
∵OD为☉O的半径,
∴BC与☉O相切.
(2)∵在Rt△ABC中,∠B=30°,
∴∠CAO=60°,
∴∠CAD=∠OAD=∠ODA=30°,
∴∠DOC'=60°.
由翻折,得∠AC'D=∠C=90°,AC'=AC=4,
∴∠ODC'=90°-60°=30°.
∵在Rt△ADC'中,AC'=4,∠OAD=30°,
∴AD=2DC'.
设DC'=x,则AD=2x,
∴(2x)2-x2=(4)2,
解得x=4(负值舍去),
∴DC'=4.
在Rt△ODC'中,OD=,即☉O的半径为.
4.在△ABC中,AB=AC,D是射线CB上的一动点(不与点B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图①,当点D在线段CB上,且∠BAC=90°时,那么∠DCE=　　　 .
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.
①如图②,当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图③,当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图③补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系(不需证明).
图①
图②
图③
解:(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ACE=∠B.
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.
故答案为90°.
(2)①α+β=180°　证明:∵∠BAC=∠DAE=α,∴∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ACE=∠B.
∵∠B+∠ACB=180°-α,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=180°-α=β,
∴α+β=180°.
②如图即为所求.
α=β　理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=α,
∴∠BAD+∠BAE=α,∠BAE+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠AEC=∠ADB.
∵∠ADE+∠AED+α=180°,∠CDE+∠CED+β=180°,∠CED=∠AEC+∠AED,
∴α=β.
5.综合与实践课上,李老师带领同学们动手折叠一张正方形纸片ABCD.点E在边AD上,点F、G分别在边AB、CD上,分别沿EF、EG把∠A、∠D向内折叠并压平,点A、D分别落在点A'、D'处,且点A'、D'都在正方形ABCD内部.
【问题初探】
(1)小明同学的折叠如图①,若∠FEG=110°,求∠A'ED'的度数.
【特例探究】
(2)小颖同学的操作如图②,点D'在线段EA'上;小丽同学的操作如图③,点A'在EG上,点D'在EF上.分别求出图②和图③中∠FEG的度数.
【归纳推广】
(3)若小聪折叠后∠A'ED'=n°(n≠0),直接写出∠FEG的度数(用含n的代数式表示).
图①
图②
图③
解:(1)∵∠FEG=110°,
∴∠AEF+∠DEG=180°-∠FEG=70°,
由折叠,得∠AEF=∠A'EF,∠DEG=∠D'EG,
∴∠AEF+∠DEG=∠A'EF+∠D'EG=70°,
∴∠A'ED'=∠FEG-(∠A'EF+∠D'EG)=40°.
(2)题图②中,由折叠,得∠AEF=∠A'EF,∠DEG=∠D'EG,
∴∠AEF+∠DEG=∠A'EF+∠D'EG.
∵∠AEF+∠DEG+∠A'EF+∠D'EG=180°,
∴2(∠A'EF+∠D'EG)=180°,
∴∠A'EF+∠D'EG=90°,
∴∠FEG=∠A'EF+∠D'EG=90°;
题图③中,由折叠,得∠AEF=∠A'ED',∠DEG=∠A'ED',
∴∠AEF=∠A'ED'=∠DEG.
∵∠AEF+∠A'ED'+∠DEG=180°,
∴∠A'ED'=60°,
即∠FEG=60°.
(3)分两种情况进行讨论:
①当△A'EF与△D'EG不重叠时,如图.
由折叠,得∠AEF=∠A'EF,∠DEG=∠D'EG,
∴∠AEF+∠DEG=∠A'EF+∠D'EG.
∵∠AEF+∠DEG+∠A'EF+∠D'EG+∠A'ED'=180°,∴∠A'EF+∠D'EG=,
∴∠FEG=∠A'EF+∠D'EG+∠A'ED'=+n°=;
②当△A'EF与△D'EG重叠时,如图.
由折叠,得∠AEF=∠A'EF,∠DEG=∠D'EG,
∴∠AEF+∠DEG=∠A'EF+∠D'EG=∠FEG+∠A'ED'.
∵∠AEF+∠DEG+∠FEG=180°,
∴∠FEG+∠A'ED'+∠FEG=180°,
∴∠FEG=.
综上,∠FEG的度数为.
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