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2026徐州专版中考数学
提升训练11　直线与圆的位置关系综合问题
1.(2025·江苏南通中考)在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心,为半径作☉A.直线y=kx-3k+2与☉A交于B、C两点,则BC的最小值为　　　　.
2.如图,已知两条平行线l1、l2,点A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,点C、D分别是l1、l2上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin∠BAH的值为________.
3.如图,AB是☉O的弦,过点B作直线EF,以O为顶点作∠AOC=90°,分别交EF、AB于点C、D,若CB=CD.
(1)试判断直线EF与☉O的位置关系,并说明理由.
(2)若☉O的半径为3,tan∠OAD=,求BC的长.
4.(2025·江苏宿迁中考)如图,点A在☉O上,点B在☉O外,线段OB与☉O交于点C,过点C作☉O的切线交直线AB于点D,且AD=CD.
(1)判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠B=30°,CD=4,求图中阴影部分的面积.
5.如图,在△ABC中,AB=4,D为AB中点,∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=,☉O是△ACD的外接圆.
(1)求BC的长;
(2)求☉O的半径.
6.如图①,过☉O外一点M引☉O的两条切线MA、MB,切点是A、B,∠AMB为锐角,连接MO并延长与☉O交于点N,点P在MN的延长线上,过点P作MA的垂线,与BO的延长线相交于点E,垂足为F.
(1)求证:△EOP是等腰三角形;
(2)在图②中作△EOP,满足OP=OF(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(3)已知sin∠AMB=,在你所作的△EOP中,若PF=2,求OE的长.
图①
图②
提升训练11　直线与圆的位置关系综合问题
1.(2025·江苏南通中考)在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心,为半径作☉A.直线y=kx-3k+2与☉A交于B、C两点,则BC的最小值为　　　　.
答案:6
解析:当x=3时,y=3k-3k+2=2,
∴直线y=kx-3k+2过定点P(3,2),
∵A(3,0),∴AP==2.
∵☉A的半径为,2<,
∴点P在☉A内部,
根据垂径定理,得当直线y=kx-3k+2与AP垂直时,BC取最小值,如图,
则BP=CP,∴BC=2BP,
在Rt△ABP中,AB=,AP=2,
∴BP==3,
∴BC=2BP=6,即BC的最小值为6.
2.如图,已知两条平行线l1、l2,点A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,点C、D分别是l1、l2上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin∠BAH的值为________.
答案:
解析:连接BC、AD.
∵AC BD,∴四边形ACBD是平行四边形,
∴AE=BE=AB.
∵点A是l1上的定点,且AB⊥l2,
∴AE为定值.
∵BH⊥CD,∴∠BHE=90°,
∴点H在以BE为直径的圆上运动(如图,O为圆心),
此时OE=BE=OA.
当AH与☉O相切时,∠BAH最大,
∴sin∠BAH=.
3.如图,AB是☉O的弦,过点B作直线EF,以O为顶点作∠AOC=90°,分别交EF、AB于点C、D,若CB=CD.
(1)试判断直线EF与☉O的位置关系,并说明理由.
(2)若☉O的半径为3,tan∠OAD=,求BC的长.
解:(1)直线EF与☉O相切,
理由:如图,连接OB.
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA.
∵CB=CD,
∴∠CBD=∠CDB.
∵∠ADO=∠CDB,
∴∠CBD=∠ADO.
∵∠AOC=90°,
∴∠A+∠ADO=90°,
∴∠OBD+∠CBD=90°,
∴∠CBO=90°,∴OB⊥EF,
∵OB是☉O的半径,
∴直线EF与☉O相切.
(2)∵∠AOC=90°,tan∠OAD=,
∴.
∵☉O的半径为3,∴OA=3,∴OD=1.
设CB=CD=x,∴OC=x+1.
由(1)知∠OBC=90°,∴CB2+OB2=OC2,
∴x2+32=(x+1)2,
解得x=4,∴BC=4.
4.(2025·江苏宿迁中考)如图,点A在☉O上,点B在☉O外,线段OB与☉O交于点C,过点C作☉O的切线交直线AB于点D,且AD=CD.
(1)判断直线AB与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠B=30°,CD=4,求图中阴影部分的面积.
解:(1)直线AB与☉O相切,理由如下:
如图,连接OA,OD,
∵直线CD与☉O相切,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°.
在△OAD和△OCD中,
∴△OAD≌△OCD(SSS),
∴∠OAD=∠OCD=90°,∴OA⊥AD.
∵OA是☉O的半径,
∴直线AB与☉O相切.
(2)由(1)得△OAD≌△OCD,∠OAD=∠OCD=90°,
∴∠AOD=∠COD,S△OAD=S△OCD.
∵∠B=30°,∴∠AOC=60°,
∴∠AOD=∠COD=30°,
∴OD=2CD=8,
在△OCD中,OC==4,
∴S△OAD=S△OCD=×4×4=8,
∴S阴影=S△OAD+S△OCD-S扇形AOC=8+8=16-8π.
5.如图,在△ABC中,AB=4,D为AB中点,∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=,☉O是△ACD的外接圆.
(1)求BC的长;
(2)求☉O的半径.
解:(1)∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,
∴△BAC∽△BCD,∴.
∵AB=4,D为AB中点,
∴BD=AD=2,
∴BC2=16,∴BC=4.
(2)如图,过点A作AE⊥CD于点E,连接CO,并延长交☉O于点F,连接AF.
在Rt△AED中,cos∠ADC=,AD=2,
∴DE=1,∴AE=.
由(1)知△BAC∽△BCD,∴.
设CD=x,则AC=x,CE=x-1,
在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2,
∴(x)2=(x-1)2+()2,
即x2+2x-8=0,
解得x=2或x=-4(舍去),
∴CD=2,AC=2.
∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角,
∴∠AFC=∠ADC.
∵CF为☉O的直径,∴∠CAF=90°,
∴sin∠AFC==sin∠CDA=,
∴CF=,即☉O的半径为.
6.如图①,过☉O外一点M引☉O的两条切线MA、MB,切点是A、B,∠AMB为锐角,连接MO并延长与☉O交于点N,点P在MN的延长线上,过点P作MA的垂线,与BO的延长线相交于点E,垂足为F.
(1)求证:△EOP是等腰三角形;
(2)在图②中作△EOP,满足OP=OF(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(3)已知sin∠AMB=,在你所作的△EOP中,若PF=2,求OE的长.
图①
图②
(1)证明:如图,连接OA.
∵过☉O外一点M引☉O的两条切线MA、MB,∴OA⊥MA,OB⊥MB.
在Rt△AOM和Rt△BOM中,
∴Rt△AOM≌Rt△BOM(HL),
∴∠AMO=∠BMO.
∵PF⊥MF,∴∠P+∠AMO=90°,
∵∠MOB+∠BMO=90°,∴∠P=∠MOB.
∵∠MOB=∠EOP,∴∠EOP=∠P,
∴△EOP是等腰三角形.
(2)解:如图,△EOP即为所求.
(3)解:如图,过点O作OD⊥PE于点D,
∵OP=OF,OD⊥PE,
∴FD=PD=PF=1.
∵∠MBC=∠EFC=90°,∠MCB=∠ECF,
∴∠E=∠AMB,
∴sin E=sin∠AMB=,
∵sin E=,
∴,设OD=k,
则OE=3k,∴DE==2k,
∴PE=DE+PD=2k+1,
由(1)知∠EOP=∠P,∴OE=PE,
∴3k=2k+1,解得k=1,
∴OE=3k=3.
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