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湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试
数学试题
时量：120分钟 满分:150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 8 B. －8 C. 2 D. －2
3. 已知，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
4. 已知为三条不同直线，为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
5. 甲乙两人投球命中率分别为，，且是否投中互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
7. （ ）
A. 1 B.
C. D.
8. 已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8，点M是棱AA 的中点，E是棱AB上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱 所得截面的周长为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为
B.
C. 的共轭复数为
D.
10. 连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，A表示事件“第一次正面朝上的点数为3”，B表示事件“第二次正面朝上的点数为奇数”，C表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，D表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则（ ）
A. A 与B 相互独立 B. A与C 相互独立
C. A 与D 相互独立 D. C与D 相互独立
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则在上单调递增
B. 若，则的最小值为
C. 若在内无零点，则的取值范围为
D. 若在内单调递减，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________．
13. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________
14. 已知平面向量满足，则的最大值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且，
（1）求证: 平面
（2）求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值.
16. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛(满分100分)，共有100名教职工参加，其成绩均落在区间[50，100]内，将竞赛成绩数据分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值，并估计竞赛成绩的第75 百分位数；
（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[80，90)，[90，100]内的两组教职工中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在[90，100]内的概率.
17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A的值;
（2）若的面积为，，求的周长.
18. 如图，在四棱锥中， 是正三角形，.
（1）求证:平面平面;
（2）设 求二面角的余弦值.
（3）若P，A，B，C，D五个点均在球O的球面上，且O在平面内，若四棱锥的体积与球O 的体积分别为，求的值.
19. 已知O为坐标原点，对于函数 称向量 为函数的相伴向量，同时称函数为向量 的相伴函数.已知 分别为函数的相伴向量，
（1）若，
（i）求
（ii）若，且在处取到最大值，求的值.
（2）若的最大值为2026，求 的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C 2. C 3. A 4. D 5. C 6. C. 7. B 8. D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ACD
10. ABC
11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. 220．
14. 12.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）连接交于，因为为劣弧的中点，
故是中点，又是中点，所以，
平面，平面，因此平面．
（2）依题意，平面，平面，故，
又为半圆弧的中点，因此，平面，
因此平面，故是直线与平面所成的角．
因为，所以，
因为，所以，
故直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值为．
16. （1）由频率分布直方图可知，解得．
因为前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，所以第75百分位数在内．
设这次竞赛成绩的第75百分位数为，则，解得．
（2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8人，
竞赛成绩在内的有人，记为，，，，，
所以竞赛成绩在内的有人，记为，，．
所有选法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种，
其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
故所求概率为．
17. （1）在中，可得，
由正弦定理得，
即，
整理得，又，所以，
故，整理得，
又，所以.
（2）因为的面积为，则，则，
由正弦定理及，
则，所以，
则．
由余弦定理得，即，所以，
则，所以.
则的周长为．
18. 1）依题意，，，则是线段的中垂线，即，
又，，平面，因此平面，
而平面，所以平面平面.
（2）记与交于点，连接，如图，作出符合题意的图形，
由，而为的中点，得，
由（1）知，平面平面，平面平面，平面，
则平面，取的中点，由，得，
同理，因此为二面角的平面角，
由，，得，
于是，，，，
又，在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为．
（3）由题意得，，，，五点同在球上，且在平面内，
则为四边形的外心，且、、、四点共圆，
由对称性知，为的中点，且为正的中心，
设球的半径为，则，，，又，于是，
因此，，所以．
19. （1）（ⅰ）依题意，，
所以的相伴向量，.
（ⅱ）设，由，得，即，解得，
则，其中，
依题意，，即，由在处取到最大值，得，
即，因此，
而，所以.
（2）设，则，，
，
因此的最大值为，
而，
则，又，
因此，即，
取，则，
且的最大值为2026，符合题意，
所以的最大值为2026.

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