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苏科版数学暑假预习讲义
第6讲　数轴
【学习目标】
理解数轴的概念，掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
能正确画出数轴，会用数轴上的点表示有理数。
能利用数轴比较有理数的大小。
理解数轴上的点与有理数的对应关系，体会数形结合思想。
【知识梳理】
一、数轴的定义
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
二、数轴的三要素
要素 含义 说明
原点 数轴上表示0的点 原点是正数与负数的分界点
正方向 规定向右（或向上）为正方向 一般规定向右为正方向
单位长度 度量长度的标准 根据需要选取，同一数轴上的单位长度必须一致
三要素缺一不可，共同构成数轴。
三、用数轴上的点表示有理数
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
正数在原点的右侧，负数在原点的左侧。
四、利用数轴比较有理数的大小
数轴上，右边的数总比左边的数大。
即：数轴上从左到右，数从小到大排列。
做一做（即时练习）：
(1) 数轴的三要素是________、________和________。
(2) 在数轴上，原点表示的数________，原点右侧的点表示的数是________，原点左侧的点表示的数是________。
(3) 在数轴上表示 的点在原点的________侧，距离原点________个单位长度。
(4) 在数轴上，表示3的点在表示 的点的________侧。
(5) 在数轴上，比 大3的数是________。
【典例精讲】
【例1】（画数轴并在数轴上表示数）
画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：
，，，，
【分析】 先画出数轴，标出原点、正方向和单位长度，再依次找到各数对应的点并标出。
【解答】
画图步骤：画一条水平直线，在中间取一点作为原点0，规定向右为正方向，选取适当的单位长度，然后标出各点。
在数轴上从左到右依次为：，，，，。
【反思】 画数轴时，单位长度要选取适当，使各数都能在数轴上清晰地表示出来。标点时要先在数轴上找到对应的位置，再画实心点。
【例2】（利用数轴比较有理数的大小）
在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序排列：
，，，，，
【分析】 先在数轴上标出各数对应的点，再根据数轴上“右边的数总比左边的大”进行排列。
【解答】
在数轴上从左到右依次为：，，，，，。
所以从小到大排列为：。
【反思】 利用数轴比较大小非常直观。负数都在0的左侧，正数都在0的右侧。负数中，越靠左的数越小。
【例3】（数轴上两点之间的距离）
(1) 在数轴上，表示2的点与表示 的点，哪个点在右边？它们之间相隔几个单位长度？
(2) 在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是4，点A和点B哪个在右边？两点之间相隔几个单位长度？
【分析】 先在数轴上找到这两个点，观察它们的位置关系，再数一数中间隔了几个单位长度。
【解答】
(1) 表示2的点在右边。从到2，中间隔了5个单位长度。
(2) 表示4的点在右边。从到4，中间隔了6个单位长度。
【反思】 求数轴上两点之间的距离，先看哪个点在右边，再用“右边的数 左边的数”来计算，结果就是两点之间的距离。
【跟踪练习1】
(1) 画一条数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，，。
(2) 在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序排列：，，，，，。
(3) 在数轴上，表示 的点与表示3的点，哪个在右边？两点之间相隔几个单位长度？
(4) 在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是6，点A和点B哪个在右边？两点之间相隔几个单位长度？
【举一反三】
在数轴上，原点表示的数是________。
在数轴上，表示 的点在原点的________侧，距离原点________个单位长度。
在数轴上，表示 和表示 的两个点位于原点两侧，且到原点的距离________。
在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是3.5，哪个点在右边？两点之间相隔几个单位长度？
在数轴上，表示数 的点在原点左侧，那么 是________数。
在数轴上，比 大2的数是________。
在数轴上，与原点距离为3个单位长度的点有________个，它们分别表示________和________。
在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序排列：，，，，，，。
【分层训练】
◆ A组·基础过关
一、填空题。
规定了________、________和________的直线叫做数轴。
在数轴上，原点右边的点表示的数是________数，原点左边的点表示的数是________数。
在数轴上，表示 的点在原点的________侧，距离原点________个单位长度。
在数轴上，表示 的点在表示 的点的________侧。
在数轴上，与原点距离为2个单位长度的点有________个，它们分别表示________和________。
在数轴上，表示 和表示4的两点中，右边的点表示的数是________，两点之间的距离是________。
在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是2，点C是线段AB的中点，则点C表示的数是________。
在数轴上，比 大3的数是________。
在数轴上，一个点先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达原点，则这个点的起始位置表示的数是________。
二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”）
数轴上左边的数总比右边的数大。（　　）
0在数轴的原点处。（　　）
数轴上的点只能表示整数。（　　）
任何有理数都可以用数轴上的点来表示。（　　）
三、选择题。
在数轴上，到原点距离为4的点表示的数是（　　）
A. 4　　B. 　　C. 4或　　D. 0
在数轴上，表示 和表示3的两点之间的距离是（　　）
A. 1　　B. 5　　C. 　　D.
在数轴上，点A表示的数是 ，将点A向右移动3个单位长度后表示的数是（　　）
A. 　　B. 2　　C. 　　D. 4
下列各数中，在数轴上离原点最远的是（　　）
A. 2　　B. 　　C. 1.5　　D.
在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是5，点C表示的数是0，下列说法正确的是（　　）
A. 点A在点B的右侧　　B. 点C在点A的左侧　　
C. 点A在点C的左侧　　D. 点B在点C的左侧
◆ B组·能力提升
在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序排列。
，，，，，
数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是3。
(1) A、B两点中，哪个点在右边？
(2) A、B两点之间的距离是多少？
(3) 点C是线段AB的中点，点C表示的数是多少？
数轴上点A表示的数是 ，将点A先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度后到达点B。
(1) 点B表示的数是多少？
(2) A、B两点之间的距离是多少？
在数轴上，点A表示的数是 ，点B与点A的距离是5个单位长度，点B表示的数是多少？
23.已知：如图所示，、是数轴上的两个点，点所表示的数为，动点以每秒4个单位长度的速度从点向左运动，同时，动点、从点向右运动，且点的速度是点速度的，当运动时间为2秒和4秒时，点和点的距离都是6个单位长度，则当点运动到点时，动点所表示的数为　　．
某城市早晨的气温为 C，中午上升了C，傍晚又下降了C。用数轴表示气温的变化过程，并写出傍晚的气温。
◆ C组·思维拓展
在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是4。点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动。
(1) 几秒后点P与点Q相遇？
(2) 相遇时点P表示的数是多少？
在数轴上，有一个点P，它到表示 的点和表示5的点的距离相等。
(1) 点P表示的数是多少？
(2) 点P到表示5的点的距离是多少？
观察下面的数轴，回答问题。
数轴上的整数点：
(1) 在数轴上，从 到3之间（包括 和3），有多少个整数点？
(2) 在数轴上，从 到10之间（包括 和10），有多少个整数点？
(3) 在数轴上，从 到 之间（包括 和 ，为正整数），有多少个整数点？
【本讲总结】
知识框架
分类 核心内容 关键要点
数轴的定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线 三要素缺一不可
数轴上的点与有理数 正数在原点右侧，负数在原点左侧 任何有理数都可用数轴上的点表示
比较大小 右边的数总比左边的大 负数<0<正数
两点间距离 右边数减左边数 距离是非负数
数形结合 用数轴直观表示数的大小和位置关系 将抽象的“数”与直观的“形”结合
常见错误提醒
错误类型 正确理解
忽略数轴的三要素 没有原点、正方向或单位长度的直线不是数轴
单位长度不一致 同一数轴上单位长度必须保持一致
认为数轴上只能表示整数 数轴上的点可以表示任何有理数
数轴上比较大小方向弄反 右边的数总比左边的大
两点间距离算错 距离 = 右边的数 左边的数，结果是正数或0
方法口诀
数轴是一条直线，三要素要记全。
原点、正方向和单位长度，缺一不可成数轴。
正数在右负在左，右边总是大于左。
数形结合巧运用，有理数上显身手。
学习建议
画数轴时，先画直线，再定原点，标正方向，选单位长度，四步有序进行。
比较有理数大小时，先在数轴上标出各数对应的点，再根据位置判断。
求两点间距离时，先在数轴上找到两点，再看哪个在右边，用右边的数减左边的数。
【参考答案】
知识梳理·做一做
(1) 答案：原点，正方向，单位长度
(2) 答案：0，正数，负数
(3) 答案：左，2
(4) 答案：右
(5) 答案：1
。
典例精讲·跟踪练习1
(1) 答案：在数轴上从左到右依次为 ，，，，。
（学生画出数轴并标点即可。）
(2) 答案：从左到右排列：。
(3) 答案：表示3的点在右边，两点之间相隔8个单位长度。
。
(4) 答案：表示6的点在右边，两点之间相隔10个单位长度。
。
举一反三
答案：0
答案：左，4
答案：相等
答案：表示3.5的点在右边，两点之间相隔5个单位长度。
。
答案：负
答案：1
。
答案：2个，3，
答案：从左到右排列：
A组·基础过关
答案：原点，正方向，单位长度
答案：正，负
答案：左，3
答案：右
，右边的数大。
答案：2个，2，
答案：4，6
。
答案：
中点：。
答案：0.5
。
答案：2
设起始位置为 ，则 ，，。
答案：×
数轴上左边的数比右边的小。
答案：√
0在原点处。
答案：×
数轴上的点可以表示任何有理数。
答案：√
答案：C
答案：B
。
答案：B
。
答案：B
2到原点的距离是2，到原点的距离是3，1.5到原点的距离是1.5，到原点的距离是0.5，所以 离原点最远。
答案：C
点A（）在点C（0）的左侧，所以C正确。A错：点A在点B的左侧；B错：点C在点A的右侧；D错：点B在点C的右侧。
B组·能力提升
答案：从左到右排列：
答案：(1) 表示3的点（点B）在右边。
(2) 。
(3) 中点：。
答案：(1) ，点B表示的数是0。
(2) 。
答案： 或 。
点B表示的数是3或。
答案：解：设点运动的速度为每秒个单位长度，则点运动的速度为每秒个单位长度，
由运动时间为2秒和4秒时，点和点的距离都是6个单位长度，
，解得：，
点运动的速度为每秒6个单位长度，，
点所表示的数为．
故本题答案为：22．
答案：早晨：C，中午：C，傍晚：C。
用数轴表示：从向右移5个单位到2，再向左移4个单位到。
答：傍晚的气温是C。
C组·思维拓展
答案：(1) 2秒后相遇；(2) 点P表示的数是0。
设秒后点P与点Q相遇。点P向右运动，位置为；点Q向左运动，位置为。
相遇时两点位置相同：
移项：
点P的位置：。
答：2秒后点P与点Q相遇，相遇时点P表示的数是0。
答案：(1) 点P表示的数是1；(2) 点P到表示5的点的距离是4。
点P到和5的距离相等，说明点P是这两点的中点。
点P表示的数为。
点P到5的距离：。
答案：(1) 7个（）；(2) 21个；(3) 个。
从到3共有：个整数点。
从到10共有：个整数点。
从到共有：个整数点。
【本讲完成情况】
项目 完成情况（ ） 自我评价
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做一做（5题） （　） 全对 / 错____题
典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练
跟踪练习1（4题） （　） 全对 / 错____题
举一反三（8题） （　） 全对 / 错____题
A组·基础过关（18题） （　） 全对 / 错____题
B组·能力提升（6题） （　） 全对 / 错____题
C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错____题
错题号：________
订正笔记：
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