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二〇二六年绥化市初中学业水平考试
数学试题
座位号 （考号的最后两位数字）
考生注意：
1 ．考试时间 120 分钟
2 ．本试题共三道大题，28 个小题， 总分 120 分
3 ．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内
一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）请在答题卡上用 2B 铅笔将你的选项所对应的方框涂黑
1 ．下列有理数中，没有倒数的是
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A ．正六边形 B ．矩形 C ．正方形 D ．等边三角形
3 ．若分式 有意义，则 满足的条件是
A ． 为任意实数 B ． C ． D ．
4 ．下列计算中，结果正确的是
A ． B ． C ． D ．
5．某校为了了解学生使用电子产品的情况，随机抽查了某班 ， 两组学生一周使用电子产品的时间（单位：小时），数据如下表所示：
组 6 7 8 8 8 9 10
组 4 7 9 9 9 11 14
下列说法正确的是
A ．两组数据的众数相等
B ． 组数据的平均数大于 组数据的平均数
C ． 组数据的方差小于 组数据的方差
D ． 组数据的中位数大于 组数据的中位数
6 ．已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为
A ． B ． C ． D ．
7 ．下列命题正确的是
A ．正五边形的外角和是
B ．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
C ．三角形两边的和大于第三边
D ．一组对角相等的四边形一定是平行四边形
8 ．如图， ， ， ，则 的度数是
A ． B ． C ． D ．
9 ．《孙子算经》是我国古代数学经典著作， 书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有 3 个人坐一辆车，有 2 辆车是空的；2 个人坐一辆车，有 9 个人需要步行．问共有多少人？设共有 人，可列方程为
A ． B ． C ． D ．
10 ．如图，有一小型科学探测器在空中 处探测到地平面目标 ，此时从探测器上看目标 的俯角
, 探测器飞行的高度 ，则探测器到目标 的距离 约为（其中 ，计算结果精确到 0.1）
A ． B ． C ． D ．
11 ．如图，在平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形， ，，将 绕点
顺时针旋转 后，得到 ，点 ， 的对应点分别是点 ，，以原点为位似中心，将
放大为原来的 3 倍后，得到 ，顶点 在第一象限对应点 的坐标是
A ． B ． C ． D ．
12 ．已知二次函数 的图象如图所示，顶点坐标为 ，与 轴交于 ， 两点，其中 ．则下列结论：
① ②
③ ④
⑤方程 （ 为常数）有实数根．其中正确的个数有
A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个
二、填空题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
13．海水淡化，利国利民．2026 年 6 月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破 300 万吨．把 300
万用科学记数法表示为 ．
14 ．分解因式： ．
15 ．某几何体是由棱长为 的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是 ．
16．如图，有一个亭子，它的地基是边长为 的正六边形，则这个正六边形地基的面积是 （计算结果保留根号）．
17 ．计算： ．
18 ．如图，在 中， ， ，则
19 ．如图，反比例函数 与边长为 10 的等边三角形 相交于 ， 两点，边 与 轴重合， ,则 的值是 ．
20．如图，在直角三角形 中， ， ， ，点 ，分别在边 ， 上运动，连接 ， ．则 的最小值是 ．
21 ．按一定规律排列的数据依次为 ， ， ， ， ， ，… . 若按此规律继续排列下去，则第 个
数可以表示为 （结果用含 的代数式表示）．
22 ．已知 是腰长为 4 的等腰直角三角形， ， 是 的中点，连接 ，将 绕点 旋转，得到 ，点 ， 的对应点分别是点 ， ，连接 ．当 时，则 的长为 ．
三、解答题（本题共 6 个小题，共 54 分）请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
23 ．（7 分）尺规作图：如图，在 的内部有一点 ．
【初步探索】
（1）如图 1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形 ，并使等腰三角形的底边 经过点 ，点 ，点 分别在射线 ，射线 上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹）
【拓展探究】
（2）如图 2，若 ，连接 ， ．以 为圆心， 为半径画圆，交射线 ，射线
于 ， 两点，则劣弧 的长度为 ．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含 的代数式表示的结果）
24 ．（7 分）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明 ”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明 ”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题：
类别 参与创新实践活动的时间 （单位：小时）
（1）本次随机调查的学生共有 人，补全条形统计图．
（2）若该校八年级学生共有 320 人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在 1.5 小时及以上的学生人数．
（3）已知 类学生中恰好有 2 名女生和 1 名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明 ”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
25 ．（10 分）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购进 ， 两种型号的快递智能分拣机械手（以下 型快递智能分拣机械手简称 型机械手， 型快递智能分拣机械手简称 型机械手），已知 型机械手的单价比 型机械手的单价高 2 万元，用 120 万元购进 型机械手的数量和用80 万元购进 型机械手的数量相等．
（1）求 ， 两种型号机械手的单价分别是多少万元？
（2）快递公司计划购买 ， 两种型号的机械手共 30 台，且 型的数量不少于 型数量的 2 倍．如何购买这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？
（3）该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量 （件）与甲机械手工作时间 （分钟）之间的函数关系如图所示．
①乙机械手的工作速度为 件/分钟， ．
②直接写出 所在直线的函数表达式： ．
③当乙机械手工作 分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．
26 ．（9 分）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ，连接 ，过点 作 的垂线，垂足
为 ，交直径 于点 ，交过点 的直线于点，连接 并延长，交 于点 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ， ，求线段 的长．
27 ．（10 分）综合与探究
已知抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，点 为坐标原点，作直线 ．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线上有两个动点 ， ，点 在第一象限，横坐标为 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交 于点 ，点 的横坐标为 ．若 的面积记作 ， 的面积记作 ，当
有最大值时，求点 的坐标．（自行完成作图并解答）
（3）把抛物线沿射线 方向平移，平移后，新抛物线 过点 ，点 是新抛物线 对称轴与 轴的交点，点 是新抛物线 对称轴上的动点，连接 ， ．若 平分 ，请直接写出符合条件的点 坐标．（自行完成作图并作答）
28 ．（11 分）综合与实践
【问题情境】
在数学活动课上，老师让学生以“矩形 ”为主题，开展动点问题的研究．
在矩形 中，点 ， 分别是边 ， 上的动点．
【观察感知】
（1）如图 1，当点 ， 运动到 时，连接 ， ．求证： ．
【探索发现】
（2）如图 2，连接 ，点 是 上的一点， ，连接 ， ， 与 相交于点 ，连接 ．当 平分 ， 平分 时，且 ，试求出 与 的数量关系，并说明你的理由．
【问题拓展】
（3）如图 3，当 ， 时，作直线 ，若直线 将矩形 分成周长相等的两部分，过点 作 于点 ，连接 ．当矩形的边 与直线 的夹角成 时，请你直接写出
的正切值．（自行完成作图并作答）
二〇二六年绥化市初中学业水平考试
数学试题参考答案及评分说明
一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B D C A C D B A A B
二、填空题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 13 ． 14 ． 15 ．14 16 ． 17 ． 18 ． 19 ． 20 ．3
21 ． 22 ． 或 （也可写成 ）
（说明：第 18 题写成 80 度也给分，第 21 题写成 也给分，第 22 题填写一个正确答案给 2 分）
22 ．图形解析：分四种情形、共两种答案
三、解答题（本题共 6 个小题，共 54 分）评分说明：解答题如果有其它正确解法，均参照所给出的标准给分．
23 ．（本题 7 分）
（1）作法一：如图所示
①以点 为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线 、射线 分别交于点 、点 ，连接 （1
分）
②作射线 （1 分）
③以点 为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线 、线段 分别交于点 、点 ，以点 为圆心，
为半径画弧，弧与射线 交于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 （1 分）
④作直线 ，与射线 、射线 分别交于点 、点 ， 即为所求 （1 分）
作法二：如图所示
①以点 为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线 、射线 分别交于点 、点 ，分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 （1 分）
②以点 为圆心，适当长为半径画弧，交射线 于 、 两点 （1 分）
③分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 （1 分）
④作直线 ，与射线 、射线 分别交于点 、点 ， 即为所求 （1 分）
作法三：如图所示
①过点 向射线 作垂线 （1 分）
②过点 向射线 作垂线 （1 分）
③过点 作两垂线夹角的平分线 （1 分）
④作直线 ，与射线 、射线 分别交于点 、点 ， 即为所求 （1 分）
（2） （3 分）
解析：如图，
24 ．（本题 7 分）（1）40 （1 分）补全条形统计图 （1 分）
（2）解： （人） （1 分）
答：该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在 1.5 小时及以上的学生人数为 120 人． （1 分）
（3）解：设 2 名女生分别记作女 、女 ，1 名男生记作男．
根据题意树状图法如下图：
列表法如下图
女 女 男
女 （女 ，女 ） （女 ，男）
女 （女 ，女 ） （女 ，男）
男 （男，女 ） （男，女 ）
（2分）
由树状图法或列表法可以看出共有 6 种结果出现的可能性相等，所抽取的两名学生恰好是一男一女的情况有共 4 种．
（所抽取的两名学生恰好是一男一女） （1 分） （选择任何一种方法，答题正确即可得分）
25 ．（本题 10 分）
解：（1）设 型机械手的单价为 万元， 型机械手的单价为 万元，
由题意得
（1 分）
解得
经检验： 是原分式方程的解． （1 分）
型机械手的单价： （万元）
答： 型机械手的单价为 6 万元， 型机械手的单价为 4 万元． （1 分）
（2）设购买 型机械手 台，则购买 型机械手（ ）台，所需费用为 万元．
解得 （1 分）
由题意得：
随 的增大而增大，且 取正整数
当 时， （万元）．
此时 型机械手： （台） （1 分）
答：购买 型机械手 20 台， 型机械手 10 台，此时所需费用最少，费用最少为 160 万元． （1 分）
（3）①20 60 （2 分）
② （1 分）
解析：设 所在直线的函数表达式为
将点 ， 代入
得
解得
所在直线的函数表达式为 ．
③22.5（也可写成 ） （1 分）
26 ．（本题 9 分）
（1）方法一：
证明：连接
是 的直径，
在 中， ,垂足为
在 中，
（1 分）
,垂足为
是等腰三角形
（1 分）
为 的半径
是 的切线 （1 分）
方法二：
证明：由题可知， ，
在 和 中， 即 （1 分）
（1分）
为 的半径
是 的切线 （1 分）方法三：
证明：
,
在 和 中，
在 中， 所对圆周角
（1分）
（1分）
,
为 的直径
是 的切线 （1 分）
（2）方法一：
解： 是 的直径， ，垂足为 ,
, （1 分）由（1）可知，
（1分）
设 的半径为
（1分）
解得 ， （舍去）
（1 分）
在 中， （1 分）
,
解得 （1 分）
方法二：
解：连接 ，设
是 的直径， ，垂足为 ，
, , （1 分）
（已证），
（1 分）
（1分）
在 中，
解得 ， （舍去）
（1分）
在 中，
（1 分） 在 和 中
解得 （1 分）
方法三：
解： 是 的直径， ，垂足为 ,
, （1 分）由（1）可知，
（1 分）连接 ，设
则
（1 分）
在 中，
解得 ， （舍去）
（1 分）
在 中，
（1 分） 在 和 中
,
即
解得 （1 分）
27 ．（本题 10 分）
（1）解：把点 ， 代入 得 （1 分）
解得 （1 分）
（1分）
（2）（图形变化有两种情形，但列式计算不受影响，只要列式计算正确即可得分）
解：由题可知， 、 、设直线 的解析式为
抛物线与 轴交于点 ，
,
把点 ， 代入 中得
解得
直线 的解析式为 （1 分）
（1 分）
当 时，面积有最大值．
此时， ．
即 点坐标为 ． （1 分）
（3） ，
也可写成 、 每写对一个坐标得 2 分 （4 分）解析：原抛物线沿射线 方向平移后经过点
相当于点 与点 是平移前后的对应点．
即把原抛物线向左平移 4 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，
则 ．
新抛物线 的对称轴是 ，点 ，
设点
过点 作 轴，垂足为
平分
轴
在 中，
如图 1 ， （或 ）如图 2 ， （或 ）
也可写成 、
28 ．（本题 11 分）
（1）证明： 四边形 是矩形
（1 分）在 和 中
（1 分）
（1 分）证明格式也可写成
证明：四边形 是矩形
（1 分）
, （1 分）
（1 分）
（2）方法一：
解：连接 ，过点 作 于点
平分 、 平分 ，且 与 相交于点
点 是 的内心
点 到 三边的距离相等 （1 分）设
（1分）
,
（1分）
（也可写成 ）（也可写成 ） （1 分）方法二：
解：连接 ，过点 作 于点
平分 、 平分 ，且 与 相交于点
点 是 的内心
点 到 三边的距离相等 （1 分）
设
（1分）
过点作 ，垂足为
四边形 是矩形
, 又
又 ，
四边形 是矩形 （1 分）
（也可写成 ）（也可写成 ） （1 分）
（2） 或
也可直接写 或 （每填写一个正确答案得 2 分） （4 分）理由如下：矩形的边 与直线 的夹角成
分以下两种情况讨论
情况一：当 时，如图 1
过点 作 ，垂足为
设
,
,垂足为
,
直线 将矩形 分成周长相等的两部分
过点 作 ，交 于点
四边形 是矩形
在 中，
,
解得
情况二：当 时，如图 2
由情况一可得
解得
综上所述， 或 ．直接写出 或 即可给分．
也可以参照下列辅助线图形提示解出 的正切值．
（以上答案仅供参考，若有其他正确解题方法，请参照评分标准，酌情合理给分）

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