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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.3 等腰三角形的性质定理——知识小结（原卷版）
一、等边对等角
1. ______：等腰三角形的两个______。简记：在同一个三角形中，______。
2. 已知AB=AC→∠B=∠C；证明：作顶角平分线AD→______证△ABD≌△ACD。
3. ______：已知等腰＋一个角→需分该角是______还是______，用等边对等角＋内角和180°求其他角。
二、等边三角形的内角
1. ______：等边三角形的各个内角都等于______。等边三角形是______，有______条对称轴。
2. ______：等边△三边相等→三次用等边对等角→∠A=∠B=∠C→除以3→各角60°。
3. ______：已知等边三角形→每个角60°直接使用；已知一个角60°的等腰三角形→即为等边三角形。
三、三线合一
1. ______：等腰三角形的______、______、______互相重合。
2. ______：知一推二——已知任意一条（平分线/中线/高线），可推出另外两条。
3. ______：已知等腰＋一线→用重合求角度/边长/垂直关系；实际应用如屋顶钢架、菜地水渠等。
考点一 等边对等角
例1．如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，在等腰中，，，是的垂直平分线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，则该五角星中的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点二 等边三角形的内角
例2．如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．3 B． C．7 D．8
变式1．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
变式2．如图，已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
考点三 三线合一
例3．已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____
变式1．已知等腰三角形的底边和腰长分别为8和5，则这个等腰三角形的面积为______．
变式2．如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________．
一、选择题
1．（25-26七年级下·上海虹口·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直
B．过直线外一点作这条直线的垂线，所得的垂线段就是点到直线的距离
C．等腰三角形的角平分线、中线和高三线合一
D．以一条线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点为顶点的三角形是等边三角形
2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．到角两边距离相等的点在角的平分线上
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合 B．面积相等的两个三角形是全等三角形
C．有两个内角是的三角形是等边三角形 D．直角三角形的两个锐角互余
5．（2023八年级上·全国·专题练习）在中，，，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
二、填空题
6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________．
7．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）等腰三角形的一个角等于80°，等腰三角形的底角的度数是__________．
8．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，若________，则是等边三角形．
三、解答题
9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在下面的等腰三角形中，是顶角，分别求出它们的底角的度数．
10．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段检测）如图，是等边三角形，，点在的延长线上，且．求证：是等腰三角形．
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.3 等腰三角形的性质定理——知识小结（解析版）
一、等边对等角
1. 性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。简记：在同一个三角形中，等边对等角。
2. 已知AB=AC→∠B=∠C；证明：作顶角平分线AD→SAS证△ABD≌△ACD。
3. 应用：已知等腰＋一个角→需分该角是顶角还是底角，用等边对等角＋内角和180°求其他角。
二、等边三角形的内角
1. 推论：等边三角形的各个内角都等于60°。等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
2. 推导：等边△三边相等→三次用等边对等角→∠A=∠B=∠C→除以3→各角60°。
3. 应用：已知等边三角形→每个角60°直接使用；已知一个角60°的等腰三角形→即为等边三角形。
三、三线合一
1. 性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。
2. 三个方向：知一推二——已知任意一条（平分线/中线/高线），可推出另外两条。
3. 常见题型：已知等腰＋一线→用重合求角度/边长/垂直关系；实际应用如屋顶钢架、菜地水渠等。
考点一 等边对等角
例1．如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，得到，再根据是的角平分线得到，然后利用三角形外角性质计算即可．
【详解】解：∵等腰中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故选：B．
变式1．如图，在等腰中，，，是的垂直平分线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，进而可得，根据线段垂直平分线的性质可得，即得，再利用角的和差求解.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴.
变式2．五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，则该五角星中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，求出，再根据邻补角互补即可求解．
【详解】解：如图，
∵五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，
∴，，
∴，
∴．
考点二 等边三角形的内角
例2．如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．3 B． C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，由等边三角形的性质得到，再求出，根据平行线的性质得到，再判定为等边三角形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵等边三角形的边长为7，
∴，
∵点E，F是边的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长是：，
故选：C．
变式1．如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键．
由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形
∴，，
∵
∴
∴，
∴，
∴
同理可得：，，
∴．
故选B．
变式2．如图，已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
……，
∴的边长为．
故选：C．
考点三 三线合一
例3．已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____
【答案】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知底边上的中线即为底边上的高，利用勾股定理求出底边一半的长度，再得到底边长，最后计算三角形的周长即可．
【详解】解：等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，
由等腰三角形三线合一的性质可得，该中线垂直于底边，即该中线为底边上的高，
底边的一半长
底边长
等腰三角形的周长．
变式1．已知等腰三角形的底边和腰长分别为8和5，则这个等腰三角形的面积为______．
【答案】12
【分析】过A作于H，由等腰三角形的性质推出，由勾股定理得到，由三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】解：如图：，
过A作于H，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
变式2．如图，在等边中，是的角平分线，若，则的长为__________．
【答案】1
【分析】根据等边三角形三边相等得出的长，再利用等腰三角形顶角平分线也是底边中线的性质得出结果．
【详解】解：是等边三角形，是的角平分线，，
，，
．
一、选择题
1．（25-26七年级下·上海虹口·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直
B．过直线外一点作这条直线的垂线，所得的垂线段就是点到直线的距离
C．等腰三角形的角平分线、中线和高三线合一
D．以一条线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点为顶点的三角形是等边三角形
【答案】A
【分析】根据平行线性质，点到直线的距离定义，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，逐一判断各命题正误即可得到答案．
【详解】对选项A：∵两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，和为，
∴一组同旁内角的平分线分得的两个角的和为，
∴两条平分线的夹角为，即互相垂直，A命题正确；
对选项B：∵点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，
∴B命题错误；
对选项C：∵等腰三角形只有顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高三线合一，并非所有的角平分线、中线和高都满足三线合一，
∴C命题错误；
对选项D：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只能得到该三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴D命题错误．
2．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．等腰三角形的对称轴是底边上的高
C．到角两边距离相等的点在角的平分线上
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】D
【详解】解：对于选项A，在钝角三角形中，钝角的外角为锐角，小于该钝角，故 A是假命题；
对于选项B，对称轴是直线，而等腰三角形底边上的高是线段，故B是假命题；
对于选项C，角平分线判定要求点在角的内部，否则到角两边距离相等的点可能在该角对顶角的平分线上，故C是假命题；
对于选项D，角平分线的性质定理为：角平分线上的点到角两边的距离相等，故D是真命题．
3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定方法，解题的关键掌握：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
【详解】解：①两个角为，则第三个角也是，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意；
②有一个角等于的等腰三角形，此选项正确，故符合题意；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意；
④由题意知该线为腰的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，该等腰三角形的腰与底边长相等，故该等腰三角形为等边三角形，此选项正确，故符合题意，
故选：D．
4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合 B．面积相等的两个三角形是全等三角形
C．有两个内角是的三角形是等边三角形 D．直角三角形的两个锐角互余
【答案】B
【分析】由三线合一定理可判断A；由全等三角形的定义可判断B；由等边三角形的判定定理可判断C；由三角形内角和定理可判断D．
【详解】解：A、根据三线合一定理可得等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合，原命题是真命题，不符合题意；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为的三角形与底为高为的三角形面积都是，但不全等，原命题是假命题，符合题意；
C、三角形有两个内角为，则第三个内角的度数为，故该三角形是等边三角形，原命题是真命题，不符合题意；
D、直角三角形两个锐角的度数之和为，即两个锐角互余，原命题是真命题，不符合题意；
5．（2023八年级上·全国·专题练习）在中，，，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】B
【分析】根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状．
【详解】解：在中，，，
，
∴，
故，
所以的形状是等腰三角形．
故选：B．
二、填空题
6．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数．
【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点，
∴平分（等腰三角形三线合一），
∵，
∴，
故答案为：．
7．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）等腰三角形的一个角等于80°，等腰三角形的底角的度数是__________．
【答案】或
【分析】本题未明确给定的角是顶角还是底角，需分两种情况讨论，结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算即可得到结果．
【详解】分两种情况讨论：
（1）当是等腰三角形的底角时，此时底角的度数为．
（2）当是等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，可得底角的度数为．
综上，等腰三角形的底角的度数是或．
8．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，若________，则是等边三角形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据等边三角形的定义进行分析，即可求解．
【详解】解：当或或或或时，是等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
三、解答题
9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在下面的等腰三角形中，是顶角，分别求出它们的底角的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）∵在等腰中，顶角，
∴底角．
（2）∵在等腰中，顶角，
∴底角．
（3）∵在等腰中，顶角，
∴底角．
10．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段检测）如图，是等边三角形，，点在的延长线上，且．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质得，再根据三角形内角和定理和外角的性质得，，进而可得结论．
【详解】证明：是等边三角形，，
，，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形．
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