资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.4 等腰三角形的判定定理（原卷版）
一、等角对等边
1. ______：在同一个三角形中，______——有两个角相等的三角形是______。
2. ______：在△ABC中，∠B=∠C。______：AB=AC。证明：作角平分线AD→______证△ABD≌△ACD→AB=AC。
3. ______：性质是已知等腰→推角相等（等边对等角）；判定是已知角相等→推等腰（______）。
4. ______：①已知两角相等直接得等腰；②利用外角性质算出角度→等角对等边→求边长/周长。
二、角平分线＋平行线模型
1. ______：角平分线＋平行线→______。如图，AD平分∠BAC，DE∥AB→∠EAD=∠CAD=∠EDA→______。
2. ______：角平分线产生______，平行线产生______，两相等角传到位→等角对等边。
3. ______：若平行线过角平分线上一点→必产生等腰。这是"______"的通用模式。
三、等边三角形的判定
1. ______：______的三角形是等边三角形（每个角都等于60°）。
2. ______：有一个角为______的等腰三角形是等边三角形。分情况：60°为底角→顶角=60°；60°为顶角→底角=60°。
3. ______：三边都相等的三角形是等边三角形（______）。
4. ______："不一定是等边三角形"的反例：关键看条件是否充分。
考点一 等角对等边
例1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式1．如图，在中，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．5
变式2．如图，在中，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考点二 角平分线＋平行线模型
例2．如图，在中，平分，，交于点E．若，，则的长为________．
变式1．如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为______．
变式2．如图，在中，是的平分线，交于E，若，则_______．
考点三 等边三角形的判定
例3．下列条件中，不一定是等边三角形的是（ ）
A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形
C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形
变式1．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能
变式2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是______三角形．
一、选择题
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．
C．， D．
2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别是的三角形
B．有一个角为的直角三角形
C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形
D．有两个内角分别是的三角形
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ）
A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7
4．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，平分，则图中等腰三角形的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
6．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件：______．
7．（23-24八年级上·全国·单元测试）三条边都相等的三角形叫做____．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在AC上，且．写出图中的等腰三角形：____________________________．
三、解答题
9．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段检测）如图，小明和小华参加寻宝游戏，“宝物”藏在点处．小明在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即）；小华在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即），已知小华在小明的正东方向距离处，求小华与“藏宝地”之间的距离（即的长）．
10．（22-23八年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.4 等腰三角形的判定定理（解析版）
一、等角对等边
1. 判定定理：在同一个三角形中，等角对等边——有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2. 已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。证明：作角平分线AD→AAS证△ABD≌△ACD→AB=AC。
3. 与性质的区别：性质是已知等腰→推角相等（等边对等角）；判定是已知角相等→推等腰（等角对等边）。
4. 常见考法：①已知两角相等直接得等腰；②利用外角性质算出角度→等角对等边→求边长/周长。
二、角平分线＋平行线模型
1. 经典模型：角平分线＋平行线→等腰三角形。如图，AD平分∠BAC，DE∥AB→∠EAD=∠CAD=∠EDA→AE=DE。
2. 关键：角平分线产生相等内角，平行线产生同位角/内错角相等，两相等角传到位→等角对等边。
3. 拓展：若平行线过角平分线上一点→必产生等腰。这是"角平分线+平行→等腰"的通用模式。
三、等边三角形的判定
1. 判定方法一：三个角都相等的三角形是等边三角形（每个角都等于60°）。
2. 判定方法二：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。分情况：60°为底角→顶角=60°；60°为顶角→底角=60°。
3. 判定方法三：三边都相等的三角形是等边三角形（定义法）。
4. 注意："不一定是等边三角形"的反例：等腰三角形若60°角是顶角则一定是等边，关键看条件是否充分。
考点一 等角对等边
例1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】先利用三角形的内角和定理求解第三个角的大小，再判断即可．
【详解】解：由，
∴三角形中有两个角相等，是等腰三角形，故A符合题意；
由，
∴三角形不是等腰三角形，故B不符合题意；
由，
∴三角形不是等腰三角形，故C不符合题意；
由，
∴三角形不是等腰三角形，故D不符合题意；
故选：A．
变式1．如图，在中，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长．
【详解】解：∵，
∴．
故选：D
变式2．如图，在中，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查等角对等边．根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：D．
考点二 角平分线＋平行线模型
例2．如图，在中，平分，，交于点E．若，，则的长为________．
【答案】4
【分析】本题考查了等角对等边，平行线的性质以及三角形的角平分线等知识．根据平行线的性质、三角形的角平分线和等腰三角形的判定，求出，即可求出答案．
【详解】解： ∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为4．
变式1．如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为______．
【答案】5
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再由等角对等边得，再由即可得解．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，．
故答案为：5．
变式2．如图，在中，是的平分线，交于E，若，则_______．
【答案】12
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边是解题的关键．
根据平行线角平分线得到等腰三角形，即可求解．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12．
考点三 等边三角形的判定
例3．下列条件中，不一定是等边三角形的是（ ）
A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形
C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的判定条件，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法．
根据各选项结合等边三角形的定义和性质进行判断．
【详解】解：A. 有两个角是的三角形是等边三角形，该选项不符合题意；
B. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，该选项不符合题意；
C. 有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该选项符合题意；
D. 三边都相等的三角形是等边三角形，该选项不符合题意；
故选：C．
变式1．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．上述三种情形都有可能
【答案】C
【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．
【详解】解：因为三角形是轴对称图形，
则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形．
故选：C．
变式2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是______三角形．
【答案】等边/正
【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的判定等知识．熟练掌握绝对值的非负性，等边三角形的判定是解题的关键．
由题意知，，可求，进而可得是等边三角形，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边．
一、选择题
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．
C．， D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵，，，
∴，
∴是等腰三角形；故选项A不符合题意；
B、∵
∴，
∴不是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故选项D不符合题意．
故选：B．
2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别是的三角形
B．有一个角为的直角三角形
C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形
D．有两个内角分别是的三角形
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是熟记等腰三角形的定义和判定定理．根据等腰三角形的定义（两个角相等或两边相等），逐一分析各选项中的角度条件，判断是否存在两个相等的角．
【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意；
B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意；
C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意；
D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意；
故选：D．
3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列长度的三段钢条，能组成一个等腰三角形框架的是（单位：cm）（ ）
A．2，3，4 B．3，7，7 C．2，2，6 D．5，6，7
【答案】B
【分析】本题考查了构成等腰三角形的条件，解题关键是熟记等腰三角形的性质及三边关系．
【详解】解：A．2，3，4不符合构成等腰三角形的条件，不符合题意，选项错误；
B．3，7，7符合构成等腰三角形的条件，符合题意，选项正确；
C．2，2，6不符合构成三角形的条件，不符合题意，选项错误；
D．5，6，7不符合构成等腰三角形的条件，不符合题意，选项错误，
故选：B
4．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，平分，则图中等腰三角形的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，由等边对等角和三角形内角和定理可得，则由角平分线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，据此可得，和都是等腰三角形，即等腰三角形有3个．
【详解】解：∵中，，
∴，是等腰三角形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中一共有3个等腰三角形，
故选：D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件：______．
【答案】（或）
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键．
【详解】解：∵中，，要使为等腰三角形，
∴可添加（或）．
故答案为：（或）
7．（23-24八年级上·全国·单元测试）三条边都相等的三角形叫做____．
【答案】等边三角形
【分析】本题考查等边三角形的定义，根据三条边都相等的三角形叫做等边三角形即可填空．
【详解】解：等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
故答案为等边三角形．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在AC上，且．写出图中的等腰三角形：____________________________．
【答案】，，
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
根据有两边相等的三角形是等腰三角形的定义，结合题目给出的边相等的条件，找出图中符合要求的三角形．
【详解】解：，
是等腰三角形；
，
是等腰三角形；
，
是等腰三角形；
因此，图中的等腰三角形是．
故答案为：．
三、解答题
9．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段检测）如图，小明和小华参加寻宝游戏，“宝物”藏在点处．小明在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即）；小华在点处收到提示：“宝物”在当前位置的北偏东（即），已知小华在小明的正东方向距离处，求小华与“藏宝地”之间的距离（即的长）．
【答案】
【分析】本题考查与方向角有关的角度运算、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，根据方向角及三角形的外角性质求得，根据等角对等边可求得．
【详解】解：，
．
，
，
．
答：小华与“藏宝地”之间的距离为．
10．（23-24八年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离．
【答案】40海里
【分析】本题考查了三角形外角的性质、等腰三角形的判定，先求得海里，再根据三角形外角的性质得，进而可得，熟练掌握三角形外角的性质及等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】根据题意，可得（海里），
，，
，
，
（海里），
答：从B处到灯塔C的距离为40海里．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑