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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.5 逆命题和逆定理（原卷版）
一、逆命题的概念与写法
1. ______：把原命题的______，得到的新命题叫原命题的逆命题。每个命题都有______。
2. ______：把原命题改写成"______"的形式，然后交换"如果"和"那么"的内容即得逆命题。
3. ______：如果两个命题中其中一个的______是另一个的______，而一个的______是另一个的______，则它们互逆。
二、逆定理
1. ______：如果一个定理的逆命题被证明是______，那么这个逆命题就是原定理的逆定理，两定理互逆。
2. ______：不是每个定理都有逆定理。例如"______"的逆命题"相等的角是对顶角"是假命题，所以对顶角相等没有逆定理。
3. ______：等边对等角 等角对等边；线段垂直平分线性质定理 其逆定理；两直线平行判定 性质。
三、逆命题真假的判定
1. ______，原命题为真不保证逆命题为真。
2. ______：要说明一个逆命题是假命题，只要举出一个______的例子（反例）。
3. ______：假命题也有逆命题；真命题不一定有逆定理（需逆命题为真）；原命题与逆命题真假无关。
考点一 逆命题的概念与写法
例1．一个定理有逆定理的条件是这个定理的_________是真命题．
变式1．已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为__________．
变式2．写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式________________________．
考点二 逆定理
例2．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等．
C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形．
变式1．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理______．
变式2．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边
考点三 逆命题真假的判定
例3．命题“等角的余角相等”的逆命题是________命题（填“真”或“假”）．
变式1．命题“如果三角形中有一个角是钝角，那么另外两个角是锐角”的逆命题是_______．
变式2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补
C．全等三角形的周长相等 D．若，则
一、选择题
1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列命题的逆命题成立的是（）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
2．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是真命题
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面四个命题中：①对顶角相等；②内错角相等，两直线平行；③直角三角形两锐角互余；④如果a，b都是正数，那么．它们的逆命题是真命题的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
4．（2025八年级上·全国·专题练习）下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．无理数是无限小数 B．若，则
C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都等于
5．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形的三个内角都相等 B．全等三角形的对应角相等
C．若，，则 D．对顶角相等
二、填空题
6．（24-25八年级上·河南南阳·期末）请写出定理“等边对等角”的逆定理：______．
7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是_______，该逆命题是_______命题（填“真”或“假”）．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”是______命题（填“真”或“假”）．写出它的逆命题______，该命题是______命题（填“真”或“假”）．
三、解答题
9．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由．
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗？试用本节所学的定理解释其中的道理．
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.5 逆命题和逆定理（解析版）
一、逆命题的概念与写法
1. 逆命题：把原命题的条件和结论互换，得到的新命题叫原命题的逆命题。每个命题都有逆命题。
2. 写法：把原命题改写成"如果……那么……"的形式，然后交换"如果"和"那么"的内容即得逆命题。
3. 互逆命题：如果两个命题中其中一个的条件是另一个的结论，而一个的结论是另一个的条件，则它们互逆。
二、逆定理
1. 逆定理：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理，两定理互逆。
2. 重要结论：不是每个定理都有逆定理。例如"对顶角相等"的逆命题"相等的角是对顶角"是假命题，所以对顶角相等没有逆定理。
3. 有逆定理的经典例子：等边对等角 等角对等边；线段垂直平分线性质定理 其逆定理；两直线平行判定 性质。
三、逆命题真假的判定
1. 真命题的逆命题不一定为真，原命题为真不保证逆命题为真。
2. 举反例法：要说明一个逆命题是假命题，只要举出一个符合逆命题条件但不满足结论的例子（反例）。
3. 常见易错点：假命题也有逆命题；真命题不一定有逆定理（需逆命题为真）；原命题与逆命题真假无关。
考点一 逆命题的概念与写法
例1．一个定理有逆定理的条件是这个定理的_________是真命题．
【答案】
逆命题
【分析】本题考查了定理与逆定理，命题与真假命题．
根据逆定理的定义，一个定理有逆定理的条件是其逆命题为真命题．
【详解】解：在数学中，定理是真命题，其逆命题是将原定理的条件和结论互换后得到的命题， 如果逆命题也为真，则称为原定理的逆定理，
因此，空白处应填逆命题，
故答案为：逆命题．
变式1．已知命题：“同旁内角互补”，则它的逆命题为__________．
【答案】如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角
【分析】根据逆命题的书写格式，如果…那么的形式写出即可．
本题考查了写逆命题，精准确定题设和结论是解题的关键．
【详解】解：根据题意，同旁内角互补中的题设是同旁内角，结论是互补，
故其逆命题为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，
故答案为：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角．
变式2．写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式________________________．
【答案】如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
【分析】本题考查了命题的相关知识点，找到题设和结论是解题关键．
【详解】解：逆命题为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
故：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
故答案为：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上
考点二 逆定理
例2．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等．
C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆定理，据此求解即可．
【详解】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，
故选D．
变式1．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理______．
【答案】“有两个角相等的三角形是等腰三角形”
【分析】本题考查了逆定理，解题关键是掌握逆定理是通过交换原定理的题设和结论得到的．原定理的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，因此逆定理的题设应为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．
【详解】解：原定理“等腰三角形的两个底角相等”的题设是“三角形是等腰三角形”，结论是“两个底角相等”，
则交换题设和结论后，得到逆定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，
故答案为：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．
变式2．下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于判断其逆命题的真假．
分别写出各选项中定理的逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，故A有逆定理，不符合题意要求；
选项B：逆命题为“等边三角形的三个角都相等” ，是真命题，故B有逆定理，不符合题意要求；
选项C：逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，是假命题，故C没有逆定理，符合题意要求；
选项D：逆命题为“等边对等角”，是真命题，故D有逆定理，不符合题意要求；
故选：C．
考点三 逆命题真假的判定
例3．命题“等角的余角相等”的逆命题是________命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据余角的性质判定逆命题的真假即可．
【详解】解：“等角的余角相等”的逆命题是：“如果两个角的余角相等，那么这两个角相等”，它是真命题．
故答案为：真．
变式1．命题“如果三角形中有一个角是钝角，那么另外两个角是锐角”的逆命题是_______．
【答案】如果在三角形中有两个角是锐角，那么另外一个角是钝角
【分析】本题考查了逆命题和定理，根据题意得出命题的逆命题，正确把握相关定义是解题关键．
【详解】解：根据题意可得，逆命题为：如果在三角形中有两个角是锐角，那么另外一个角是钝角．
变式2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补
C．全等三角形的周长相等 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查了逆命题及命题的真假，先写出命题的逆命题，再逐一判断即可求解，正确写出命题的逆命题是解题的关键．
【详解】解：、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，该选项不合题意；
、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，该选项符合题意；
、全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的两个三角形全等，逆命题是假命题，该选项不合题意；
、若，则 的逆命题是若，则，逆命题是假命题，该选项不合题意；
故选：．
一、选择题
1．（24-25八年级下·云南昆明·期中）下列命题的逆命题成立的是（）
A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
【答案】C
【分析】本题考查了逆命题及命题真假的判断，解题关键在于准确写出各命题的逆命题，并依据相关数学定义、定理判断其真假．
先分别写出各选项命题的逆命题，再依据对顶角、全等三角形、平行线、实数绝对值的相关性质和判定，逐一判断逆命题是否成立．
【详解】A．逆命题是“相等的角是对顶角”．相等的角不一定是对顶角，比如两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以该逆命题不成立，故该选项不符合题意；
B．逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，可能只是相似，比如两个等边三角形，角都相等，但边长不一定相等，所以不一定全等，该逆命题不成立，故该选项不符合题意；
C．逆命题是“内错角相等，两直线平行”．这是平行线的判定定理，是成立的，，故该选项符合题意；
D．逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”．两个实数绝对值相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数，比如，但，所以该逆命题不成立，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是真命题
【答案】A
【分析】本题主要考查了命题与逆命题的关系，正确判定命题的真假成为解题的关键．
根据命题与逆命题的关系逐项分析即可解答．
【详解】解：A． 命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此命题一定有逆命题，正确，符合题意；
B． 定理的逆命题不一定为真，即不一定有逆定理，例如“全等三角形对应角相等”的逆命题“对应角相等的三角形全等”不成立，故错误，不符合题意；
C． 真命题的逆命题不一定是真命题．例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”为假，错误，不符合题意；
D． 假命题的逆命题不一定是真命题．例如“若两个角相等，则它们是对顶角”是假命题，其逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真；但若原命题为“若今天下雨，则地湿”，其逆命题“若地湿，则今天下雨”可能为假，故错误，不符合题意．
故选A．
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下面四个命题中：①对顶角相等；②内错角相等，两直线平行；③直角三角形两锐角互余；④如果a，b都是正数，那么．它们的逆命题是真命题的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④
【答案】C
【分析】本题考查的是写一个命题的逆命题，判断命题的真假，对顶角的性质，平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，有理数的乘法的含义，熟悉命题，逆命题的概念是解本题的关键．
先分别写出各命题的逆命题，再作判定即可．
【详解】解：①逆命题为相等的角为对顶角，是假命题；
②逆命题为两直线平行，内错角相等，是真命题；
③逆命题为两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题；
④逆命题为如果，那么a，b都是正数，是假命题．
故它们的逆命题是真命题的是②③．
故选：C
4．（2025八年级上·全国·专题练习）下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．无理数是无限小数 B．若，则
C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都等于
【答案】D
【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：A、逆命题为：如果一个数是无限小数，那么它是无理数，错误，是假命题，因为无限循环小数是有理数，该选项不符合题意；
B、逆命题为：若，则，错误，是假命题，因为，则，该选项不符合题意；
C、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题，因为相等的角不一定是对顶角，该选项不符合题意；
D、逆命题为：三个角都是的三角形是等边三角形，正确，是真命题，该选项符合题意；
故选：D．
5．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段检测）下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．等边三角形的三个内角都相等 B．全等三角形的对应角相等
C．若，，则 D．对顶角相等
【答案】A
【分析】本题考查了命题与逆命题、真命题与假命题：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．解决本题的关键是分别写出这四个命题的逆命题，再判断逆命题的真假．
【详解】解：A选项：命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是“三个内角都相等的的三角形是等边三角形”，逆命题为真命题，故A选项符合题意；
B选项：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定是全等三角形，所以这个逆命题是假命题，故B选项不符合题意；
C选项：命题“，，则”的逆命题是“若，则，”，当时，有可能是、异号并且正数的绝对值大，所以这个逆命题是假命题，故C选项不符合题意；
D选项：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，两个角相等不一定是对顶角，所以这个逆命题是假命题，故D选项不符合题意．
故选：A．
二、填空题
6．（24-25八年级上·河南南阳·期末）请写出定理“等边对等角”的逆定理：______．
【答案】等角对等边
【分析】本题考查了定理和逆定理．定理是经过推理证明得到的真命题，可以作为推理论证的依据，它的逆命题如果也是真命题，那么它的逆命题也是定理，即一个定理和它的逆定理的题设和结论正好相反．
等边对等角的题设是等边，结论是等角，故它的逆定理的题设是等角，结论是等边，由此即可得解．
【详解】解：定理“等边对等角”的逆定理是“等角对等边”．
故答案为：等角对等边．
7．（24-25八年级下·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是_______，该逆命题是_______命题（填“真”或“假”）．
【答案】 如果，那么， 假
【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例．
先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题，
例如：当时，，
故答案为：如果，那么，假．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”是______命题（填“真”或“假”）．写出它的逆命题______，该命题是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】 真 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 假
【分析】原命题根据全等三角形的性质判断真假；逆命题通过交换原命题的条件和结论得到，并根据三角形面积与全等的关系判断真假．
【详解】解：原命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”是真命题，因为全等三角形的对应边和角都相等，所以面积一定相等．
逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”，该命题是假命题，因为面积相等的三角形不一定全等，例如底和高的乘积相等但形状不同的三角形．
故答案为：真；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．
三、解答题
9．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】线段垂直平分，见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等，得出对应角相等，进而判断线段之间的位置关系．
【详解】解：线段垂直平分．
证明：，，
，
又，
，
，
点，在线段的垂直平分线上，
线段垂直平分．
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗？试用本节所学的定理解释其中的道理．
【答案】证明：如图
设原线段为，尺规作图得到的两个交点分别为，，连接，，，，
由尺规作图的过程可知 ，，
∵到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
∴点在线段的垂直平分线上，点也在线段的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线。
∴直线就是线段的垂直平分线．
【分析】根据线段垂直平分线的判定证明即可．
【详解】略
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