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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.6.1 直角三角形——直角三角形的性质（解析版）
一、直角三角形的定义
1. 定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形，记作"Rt△"。
2. 斜边：直角所对的边；直角边：夹直角的两条边。
3. 表示方法：在Rt△ABC中，∠C=90°，则AB为斜边，AC、BC为直角边。
二、两个锐角互余
1. 性质1：直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°。
2. 依据：三角形内角和180°，减去直角90°，得两锐角和=90°。
3. 常见题型：①已知一个锐角求另一锐角；②两锐角比例为m:n→列方程求各角；③一锐角比另一锐角的k倍多a°→列方程。
三、斜边上的中线等于斜边的一半
1. 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即若CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，则CD=AB=AD=BD。
2. 证明思路：作斜边中线CD→等边对等角→导出等腰三角形→得CD=AD=BD。
3. 应用：已知斜边求中线；已知中线求斜边；斜边中线+其他性质综合计算。
四、30°角所对的直角边等于斜边的一半
1. 推论：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
2. 推导：作斜边中线→得等边三角形→30°所对直角边=中线=斜边。
3. 应用：含30°的Rt△中，已知斜边求直角边，或已知直角边求斜边。
考点一 两个锐角互余
例1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数．
【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为，
∴．
故选：D．
变式1．在一个直角三角形中，两个锐角度数之比为，则这两个锐角的度数分别是______、______．
【答案】
【分析】该题考查了直角三角形的性质，根据在直角三角形中，两个锐角的和是，求解即可．
【详解】解：在直角三角形中，两个锐角的和是，
又已知两个锐角的度数比是，
故两个锐角的度数分别是：．
故答案为：，．
变式2．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为__________．
【答案】和
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
通过设未知数，列方程求解两个锐角的度数．
【详解】解：设较小的锐角为，
则较大的锐角为．
根据直角三角形两锐角互余，得．
解得：，
则．
故两个锐角分别为和，
故答案为：和．
考点二 斜边上的中线
例2．直角三角形的斜边上的中线长为4，则它的斜边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结果．
【详解】解：∵直角三角形的斜边上的中线长为4，
∴它的斜边长为；
故选B．
变式1．若一个直角三角形中的两个角的度数之比为，则这个直角三角形的三个角的度数分别为_______．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形内角和定理与直角三角形两锐角互余问题，两个角度数之比为，需要分类讨论.
【详解】解：设一个角为，则另一个角为，
当两个角是锐角时：，得，，
则这三个角分别为：
当这两个角中一个角为直角时，则得，
第三个角为，
则这三个角分别为：.
综上所述：这个直角三角形的三个角的度数分别为：或．
故答案为：或 ．
变式2．若一个三角形的两个角分别为和，则第三个角的度数是（ ），这个三角形是（ ）
A．，直角三角形 B．，锐角三角形
C．，钝角三角形 D．，锐角三角形
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵一个三角形的两个角分别为和，
∴第三个角为，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：A．
考点三 30°角所对的直角边
例3．将如图，所示的一块直角三角板放置在上，使三角板的两条直角边、分别经过点B、C，若，则等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．55°
【答案】A
【分析】此题考查了三角形内角和定理要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和等于．根据，由三角形的内角和定理得到，根据三角形的内角和得到，即可得到结论．
【详解】解：在中，
，
，
，
在中，
，
又，，
，
，
，
故选：A．
变式1．由三角形内角和定理得到结论：有两个角_____________的三角形是直角三角形．
【答案】互余（或和为）
【分析】此题考查直角三角形的判定，根据两个角互余（或和为）进行解答即可．
【详解】解：有两个角互余（或和为）的三角形是直角三角形．
故答案为：互余（或和为）
变式2．“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”）
【答案】定理
【分析】本题主要考查了公理和定理的判定，根据公理和定理的定义进行判断即可．解题的关键是熟练掌握公理：人类理性认知中不证自明的基本事实（如“两点确定一条直线”），经过长期实践检验被普遍接受，构成数学体系的逻辑起点；定理：通过严格逻辑证明从公理、定义或其他定理推导出的真命题，其真实性依赖于演绎推理过程．
【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是定理．
故答案为：定理．
一、选择题
1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ）
A．6 B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解．
【详解】解：根据题意得到，
∴点是的中点，
∴，
故选：D ．
2．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段检测）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
②∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是锐角三角形，
故本小题不符合题意；
④∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
⑤∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个．
故选：B．
3．（22-23八年级下·湖南常德·期中）具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．
【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意；
B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；
C、由及可得，，是直角三角形，故不符合题意；
D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在直角中，若是直角，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得到，解答即可．
本题考查了直角三角形两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据直角三角形的两个锐角互余，得到，
故选：B．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理及直角三角形有一个角等于判断即可．
【详解】解：A、，，因此是直角三角形，选项不符合题意；
B、，，，因此是直角三角形，选项不符合题意；
C、，，因此是直角三角形，选项不符合题意；
D、，，，，因此不是直角三角形，选项符合题意；
故选：D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则较小的这个锐角的度数为__________度．
【答案】15
【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可．
【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是度．
则，解得：．
故答案为：．
7．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为__________．
【答案】/15度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数．
【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，
根据直角三角形两锐角之和为，得：
，
解得：，
所以较小锐角的度数为．
故答案为：．
8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为_____ ．
【答案】/15度
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
先求出，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，于点于点与相交于点．
(1)写出图中所有的直角三角形．
(2)猜想和有什么关系？并说明理由．
(3)若，求和的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，
【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形的定义进行求解即可；
（2）根据等角的余角相等即可得出结论；
（3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：由（1）知是直角三角形，
，
．
（3）解：∵，
，
，
．
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2.6.1 直角三角形——直角三角形的性质（原卷版）
一、直角三角形的定义
1. ______：有一个角是______的三角形叫做直角三角形，记作______。
2. ______：______的边；______：______的两条边。
3. 表示方法：在Rt△ABC中，∠C=90°，则AB为斜边，AC、BC为直角边。
二、两个锐角互余
1. ______：直角三角形的______，即∠A+∠B=90°。
2. ______：三角形内角和180°，减去直角90°，得两锐角和=90°。
3. ______：①已知一个锐角求另一锐角；②两锐角比例为m:n→列方程求各角；③一锐角比另一锐角的k倍多a°→列方程。
三、斜边上的中线等于斜边的一半
1. ______：直角三角形______。即若CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，则______。
2. ______：作斜边中线CD→等边对等角→导出等腰三角形→得CD=AD=BD。
3. ______：已知斜边求中线；已知中线求斜边；斜边中线+其他性质综合计算。
四、30°角所对的直角边等于斜边的一半
1. ______：在直角三角形中，______。
2. ______：作斜边中线→得等边三角形→30°所对直角边=中线=斜边。
3. ______：含30°的Rt△中，已知斜边求直角边，或已知直角边求斜边。
考点一 两个锐角互余
例1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．在一个直角三角形中，两个锐角度数之比为，则这两个锐角的度数分别是______、______．
变式2．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为__________．
考点二 斜边上的中线
例2．直角三角形的斜边上的中线长为4，则它的斜边长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
变式1．若一个直角三角形中的两个角的度数之比为，则这个直角三角形的三个角的度数分别为_______．
变式2．若一个三角形的两个角分别为和，则第三个角的度数是（ ），这个三角形是（ ）
A．，直角三角形 B．，锐角三角形
C．，钝角三角形 D．，锐角三角形
考点三 30°角所对的直角边
例2．将如图，所示的一块直角三角板放置在上，使三角板的两条直角边、分别经过点B、C，若，则等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．55°
变式1．由三角形内角和定理得到结论：有两个角_____________的三角形是直角三角形．
变式2．“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”）
一、选择题
1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（ ）
A．6 B． C． D．3
2．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段检测）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（22-23八年级下·湖南常德·期中）具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在直角中，若是直角，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则较小的这个锐角的度数为__________度．
7．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为__________．
8．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，，在边上，点在边上，，相交于点，，，则的度数为_____ ．
三、解答题
9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，于点于点与相交于点．
(1)写出图中所有的直角三角形．
(2)猜想和有什么关系？并说明理由．
(3)若，求和的度数．
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