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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.6.2 直角三角形——直角三角形的判定（原卷版）
一、互余判定
1. ______：有两个角______的三角形是直角三角形。这是性质"直角三角形两锐角互余"的逆命题，因其为真，故为______。
2. ______：已知三角形两个角满足∠A+∠B=90°→∠C=90°→Rt△。
3. ______：给出一组条件判断能否确定三角形是直角三角形（如角度比例、角度关系等）。
二、中线判定
1. ______：如果三角形______，那么这个三角形是直角三角形。这是性质"斜边中线=斜边一半"的逆定理。
2. ______：在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB→______。
3. ______：由CD=AD=BD→等边对等角→各角关系→导出90°。
4. ______：必须是"一边上的中线"，且"等于该边的一半"，缺一不可。
考点一 互余判定
例1．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
变式1．下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
B．
C． D．
变式2．在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
考点二 中线判定
例2．下列定理中，逆命题错误的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行
变式1．在中，，若要使是直角三角形，则可以是___________（写出一个即可）．
变式2．如图，O为线段的中点，，、、、到点O的距离分别是、、、，这四个点中能与A、B构成直角三角形的顶点是 _____．

一、选择题
1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．三角形的外角等于两个内角的和
C．如果两个角相等，那么它们是对顶角 D．直角三角形的两锐角互余
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是命题的为（ ）
①直角三角形中的两个锐角互余；②正数都大于0；③如果，那么与互补；④太阳不是行星；⑤对顶角相等吗？⑥作线段的垂线．
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②③⑥
二、填空题
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为_________．
4．（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是________．
5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知P是射线上一动点，．当的度数为_________时，为直角三角形．
三、解答题
6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若．
(1)求的度数；
(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，
①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；
②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值．
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.6.2 直角三角形——直角三角形的判定（解析版）
一、互余判定
1. 判定定理1：有两个角互余的三角形是直角三角形。这是性质"直角三角形两锐角互余"的逆命题，因其为真，故为逆定理。
2. 应用：已知三角形两个角满足∠A+∠B=90°→∠C=90°→Rt△。
3. 常见考法：给出一组条件判断能否确定三角形是直角三角形（如角度比例、角度关系等）。
二、中线判定
1. 判定定理2：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这是性质"斜边中线=斜边一半"的逆定理。
2. 已知：在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB→Rt△ABC，∠ACB=90°。
3. 证明思路：由CD=AD=BD→等边对等角→各角关系→导出90°。
4. 注意：必须是"一边上的中线"，且"等于该边的一半"，缺一不可。
考点一 互余判定
例1．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法．
根据各选项角的度数的关系求出角，逐项进行判断即可．
【详解】解：①∵，
∴，
∴为直角三角形，
故①正确，符合题意；
②∵，
∴，
∴为直角三角形，
故②正确，符合题意；
③∵，
∴，，
∴不是直角三角形，
故③错误，不符合题意；
④∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
故④正确，符合题意；
⑤∵，
∴，
∴不是直角三角形，
故⑤错误，不符合题意；
综上，符合题意的选项为①②④，
故选：C．
变式1．下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：选项A：
∵，且，
∴ ，
∴，
∴是直角三角形，
故选项A不符合题意；
选项B：
∵，，，
∴中最大的角为，
∴不是直角三角形，
故选项B符合题意；
选项C：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
故选项C不符合题意；
选项D：
∵，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
∴是直角三角形，
故选项D不符合题意．
故选：B．
变式2．在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并求出最大的角是解题的关键．根据三角形的内角和等于求出各选项中的最大的角的度数，即可判断．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴是直角三角形，选项A不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴是直角三角形，选项B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴是等边三角形，选项C符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：C．
考点二 中线判定
例2．下列定理中，逆命题错误的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】本题考查判断逆命题的真假，先写出各项的逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为：两锐角互余的三角形为直角三角形，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意；
D、逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
故选C．
变式1．在中，，若要使是直角三角形，则可以是___________（写出一个即可）．
【答案】（或）
【分析】本题考查直角三角形的性质．
由已知可得为直角或为直角，即可得的度数．
【详解】解：在中，，要使是直角三角形，则为直角或为直角，
若为直角，则，
若为直角，即，则，
∴可以是或．
故答案为：（或）．
变式2．如图，O为线段的中点，，、、、到点O的距离分别是、、、，这四个点中能与A、B构成直角三角形的顶点是 _____．

【答案】
【分析】根据线段中点的定义，，得到，由、、、到点O的距离分别是、、、，得到，得到，根据等边对等角得到，，根据三角形内角和定理得到，即可得到结论．
【详解】如图，连接，，
∵O为线段的中点，，
∴，
∵、、、到点O的距离分别是、、、，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴、、、四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是，
故答案为：．

一、选择题
1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．三角形的外角等于两个内角的和
C．如果两个角相等，那么它们是对顶角 D．直角三角形的两锐角互余
【答案】D
【分析】本题主要考查了判断命题真假,直角三角形的两锐角互余，对顶角的定义，三角形外角的性质等知识内容．根据偶次方的性质即可判断A，根据三角形外角的性质即可判断B，根据对顶角的定义即可判断C，根据直角三角形的性质即可判断D．
【详解】解：A、如果，那么，原命题是假命题，不符合题意；
B、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，原命题是假命题，不符合题意；
C、如果两个角相等，那么它们不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D、直角三角形的两锐角互余，原命题是真命题，符合题意；
故选：D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是命题的为（ ）
①直角三角形中的两个锐角互余；②正数都大于0；③如果，那么与互补；④太阳不是行星；⑤对顶角相等吗？⑥作线段的垂线．
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②③⑥
【答案】A
【分析】本题考查命题定义，熟知命题是能判断真假的陈述句是解答的关键．根据定义，判断各语句是否为命题即可．
【详解】解：①是陈述句且真（直角三角形两锐角互余），是命题；
②是陈述句且真（正数大于0），是命题；
③是陈述句且真（互补角定义），是命题；
④是陈述句且真（太阳是恒星，不是行星），是命题；
⑤是疑问句，不是命题；
⑥是祈使句，不是命题。
综上，命题有①②③④，
故选A．
二、填空题
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为_________．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形的内角和定理．当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论．
【详解】解：分两种情况：
如图①，当时，．
，
．
如图②，当时，
，
，
．
综上所述，的度数为或．
4．（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是________．
【答案】或
【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
分情况讨论：当或当时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
当时，为直角三角形,
此时，
当时，为直角三角形,
此时
∵
∴，
故答案为：或．
5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知P是射线上一动点，．当的度数为_________时，为直角三角形．
【答案】或
【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键．
先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意，为直角三角形时，
当为直角三角形时，；
当时，，
故答案为：或．
三、解答题
6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若．
(1)求的度数；
(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，
①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；
②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出，进而等量代换，即可得证；
（2）①分两种情况，当时，当时，分别利用三角形面积公式即可求解；
②两种情况，点在线段延长线上，当时，，得，解得 ；点在线段上，当时，，得，解得即可．
【详解】（1）解：∵在中，为高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
当点Q运动到点E时，，当点运动到点时，，
当时，
如图，；
当时，如图，
．
综上所述，；
②∵，
∴，
当点F在线段延长线上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
解得：；
当点在线段上时，如图，
∵，
∴，
∴当时，，
∴，
解得：．
综上所述，当与全等时，t的值为或．
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