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第1章 二次函数
1.4 二次函数与一元二次方程的关系
九上数学 ZJ
1.知道二次函数与一元二次方程之间的关系,理解二次函数的图象与
轴的交点的三种情况，明确其分别对应一元二次方程的根的三种
情况，体会数形结合思想。
2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，解决相关方程
和不等式的问题,增强几何直观,提升解决问题的能力。
3.会用待定系数法确定二次函数的表达式,能根据给出的条件恰当地
选取二次函数表达式的类型，并求出二次函数表达式,发展运算能
力。
二次函数，当 时，得到一元二次方程 ，所以抛物线与 轴交点的横坐标就是一元二次方程 的根。
二次函数的图象与 轴的交点的三种情况，分别对应一元二次方程 的根的三种情况，如下表所示：
的取值
二次函数 的大致图象
的取值
二次函数 的图象与 轴的交点情况 有两个交点， 分别为 ， 。 只有一个交 点，为 。 没有交点。
的取值
一元二次方程 的根的情况 有两个不相等的 实数根, ， 为 。 有两个相等的 实数根, ， 且 。 没有实
数根。
抛物线与直线 的交点和一元二次方
程 的根的关系
如图，二次函数的图象与直线 的交点的横
坐标就是一元二次方程 的根。同样地，抛物线和
直线的交点情况对应一元二次方程的根的情况。
利用二次函数图象确定不等式的解集
以为例，求不等式的解集如下表：
的取值
抛物线
的取值
不等式 或 全体实数
不等式 无解 无解
典例1 已知二次函数的图象与 轴的一个交点为
，则该函数的图象与 轴的另一个交点的坐标为_______。
解析：方法一 因为二次函数的图象与 轴的一
个交点为，所以是一元二次方程 的一
个根，
所以，解得 ，
所以，解得， ，
所以该函数的图象与轴的另一个交点的坐标为 。
方法二 因为二次函数 的图象的对称轴是直线
，且与轴的一个交点为 ，
所以该函数的图象与轴的另一个交点的坐标为 。
方法三 因为二次函数的图象与 轴的一个交点为
，
所以是一元二次方程 的一个根。
设方程的另一个根为，则，解得 ，
所以该函数的图象与轴的另一个交点的坐标为 。
1.用图象法求一元二次方程 的根的方法
方法 步骤 结论
方法一 直接作出二次函数 的图象。 图象与 轴的交点
的横坐标就是一
元二次方程 的根。
方法 步骤 结论
方法二 先将一元二次方程变为 ,再在同一平面直角坐标系中画出抛物线 和直线 。 两图象交点的横
坐标就是一元二
次方程 的根。
方法 步骤 结论
方法三 先将一元二次方程化为（或 ）的形式，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线 和直线（或抛物线 和直线 ）。_______ 两图象交点的横
坐标就是一元二
次方程 的根。
2.确定一元二次方程的近似根的步骤
当二次函数图象与 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，
可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下：
（1）画图：画出二次函数 的图象。
（2）定位：观察函数图象，确定函数图象与 轴的一个交点在两
个连续整数， 之间。
（3）试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取和
的平均数，计算出当时的函数值，将 与自变量分
别为和时的函数值,比较，若函数值, 异号，说明所求
的根在和之间，再取和 的平均数，计算函数值;若函数
值,异号，说明所求的根在和之间，再取和 的平均数，
计算函数值。重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位
为止。
（4）定根：按照（2）（3）的方法估计出方程的另一个根。
典例2 利用二次函数的图象求方程 的近似实数根
（结果保留小数点后一位）。
解：画出函数 的图象，如图所示。
由图可知，函数的图象与 轴的
两个交点的横坐标分别在 和0，1和2之间。
取和0的平均数 ，
当时，，当时， ，
所以方程的一个根在 和0之间。
取和0的平均数 ，当时， ，
所以方程的这个根在和 之间。
取和的平均数 ，
当时, ，
所以方程的这个根在和 之间，
由此方法可得到原方程的一个近似实数根为 。
用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为1.8。
所以方程的近似实数根是， 。
表达式类型 函数表达式 适用条件 一般步骤
一般式 ______________ 已知抛物线上任意三个点的坐标。_______ ①设：根据已知条
件，设出合适的二
次函数表达式；
②代：把已知点的
坐标代入，得到关
于待定系数的方程
（组）；
顶点式 = ( )2+ ____________ 已知抛物线的顶点坐标( , ) 和抛物线上一点（非顶点）的坐标。 表达式类型 函数表达式 适用条件 一般步骤
交点式 已知抛物线与 轴的两个交点的坐标 , 和抛物线上另一个点的坐标。 ③解：解方程
（组），求出待定系数的值；
④写：写出二次函数的表达式。
设特殊二次函数表达式的技巧
（1）若抛物线的顶点在原点，则表达式可设为 ；
（2）若抛物线的对称轴是轴，则表达式可设为 ；
（3）若抛物线经过原点，则表达式可设为 ；
（4）若抛物线的顶点在轴上，则表达式可设为 。#16.4
典例3 根据下列条件，分别求出对应二次函数的表达式。
（1）已知一个二次函数的图象经过，， 三点。
解： 设二次函数的表达式为 。
因为函数图象经过，， 三点，
所以解得
所以该二次函数的表达式为 。
（2）已知二次函数的图象的顶点坐标为 ，且经过原点 。
解：设二次函数的表达式为 。
因为函数图象经过原点，所以，解得 ，
所以该二次函数的表达式为，即 。
（3）已知一个二次函数的图象与轴两交点的横坐标分别为 ,4,
且图象经过点 。
解：设二次函数的表达式为 。
因为函数图象经过点，所以 ，解得
，
所以该二次函数的表达式为 ，
即 。

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