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第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象
九上数学 ZJ
1.会用描点法画出二次函数的图象,掌握二次函数图象特征,知道二
次函数系数与图象形状和对称轴的关系,体会数形结合思想,增强几
何直观。
2.了解, ,
三类二次函数的图象之间的关系,掌握二次函数图象的平移
规律,体会从特殊到一般的类比与归纳思想。
3.会用配方法将二次函数的一般形式化为顶点式
,并据此确定二次函数 的图象的
开口方向、对称轴和顶点坐标,感悟转化思想。
1.二次函数的图象是一条关于 轴对称、过坐标原
点并向上（或向下）伸展的曲线，像这样的曲线叫作抛物线。抛物
线与它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。例如，抛物线 的
顶点是坐标原点。
2.用描点法画二次函数 的图象的一般步骤
（1）列表：让取一些有代表性的值，求出对应的 值，列出表
格。
（2）描点：在平面直角坐标系内，以自变量 的值为横坐标，以
相应的函数值 为纵坐标，描出相应的点。
（3）连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连结各点。
典例1 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数和
的图象。
解：列表如下：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
… 0 …
然后描点、连线，得到函数和 的图象,如图所示。
用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，由于
可取一切实数,所以图象在对称轴两侧应是无限延伸的。#9
图象 ______________________
开口方向 向上 向下
对称轴 轴（或直线x=0） 顶点 原点(0,0) （抛物线的最低点） 原点(0,0)
（抛物线的最高点）
3.二次函数 的图象特征
#9
典例2 已知抛物线与直线交于点 。
（1）求和 的值，并写出该抛物线的表达式；
解：将代入，得 ，
所以抛物线与直线的交点坐标为 。
将代入，得 ，
所以该抛物线的表达式为 。
（2）说出该抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向和抛物线的位置；
解：顶点坐标为，对称轴为轴（或直线 ）。
因为 ，所以这个抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最
高点，抛物线在 轴的下方（除顶点外）。
（3）判断点， 是否在此抛物线上。
解：当，时，左边，右边 ，左
边右边，所以点不在抛物线 上。
当，时，左边，右边，左边 右边，
所以点在抛物线 上。
1.二次函数与 的图象间的关系
函数的图象与函数 的图象只是位置
不同，它可由的图象向右（当）或向左（当 ）
平移 个单位得到。
（简记为“左加右减自变量”）
二次函数
图象
2.二次函数 的图象特征
二次函数
开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 典例3 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象。
，， 。
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴
和顶点坐标。
解：分别列表：
… 0 1 2 …
… 0 …
… …
… 0 …
… 1 2 3 4 5 …
… 0 …
然后描点、连线，得函数， ，
的图象，如图所示。
将抛物线向左平移3个单位得到抛物线 ，
向右平移3个单位得到抛物线 。
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下 轴（直线 ）
向下 直线
向下 直线
1.二次函数与 的图象间的关系
函数的图象，可以由函数 的图象
先向右（当）或向左（当）平移 个单位，再向上
（当）或向下（当）平移 个单位得到。
#6.1
具体的平移过程如下：
（抛物线左右平移时，只有常数 发生变化；上下平移时，只有常数 发生变化）#6.2.1
2.二次函数 的图象特征
函数
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 顶点坐标 典例4 对于抛物线 ，给出下列结论：①抛物线开
口向上；②抛物线可由抛物线 先向左平
移2个单位，再向上平移3个单位得到；③对称轴为直线 ；④
顶点坐标为 。其中正确结论的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：画出抛物线 ，如图所示，
故①②④正确。
1.二次函数的图象
问题提出
我们已经认识了二次函数的图象和性质，
那么如何研究一般形式的二次函数的图象和性质？
如何确定它的对称轴和顶点坐标？
问题解决
将的右边配方，化成的
形式，即将二次函数的一般式转化为我们熟悉的顶点式：
化二次函数的一 般式为顶点式 二次函数
归纳总结
二次函数的图象的对称轴是直线，
顶点坐标是 。
2.二次函数的图象的画法
二次函数的图象是一条抛物线，画二次函数图象的常见方法有两种:
描点法和平移法。
（1）描点法
①把二次函数化成的形
式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；#10.2.1
②一般地，选取的五个点为:顶点，与轴的交点以及 关
于对称轴对称的点，与轴的交点， ，若与 轴
没有交点，则取两个关于对称轴对称的点；
③用光滑的曲线将描出的点顺次连结。
示例：
#10.2.3
（2）平移法
①把二次函数化成的形
式；
②画出二次函数的图象；
③将二次函数的图象平移，使其顶点平移到点的位
置。#10.3.3
3.二次函数 的图象特征
函数
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 ， 对称轴 直线 典例5 已知二次函数 。
（1）说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
解：因为， ，
所以该函数图象的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是
。
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数 的图象，
并指出函数的图象是由函数 的图象经过怎样
的平移得到的。
描点、连线，二次函数 的图象如
图所示。
函数的图象可由函数 的图
象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到。
解：列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 0 0 3 …
（3）观察函数图象并回答下列问题：
该抛物线与轴的交点坐标为____________；当时， 的取值
范围是__________；当时， 的取值范围是____________。
，
4.二次函数的图象特征与,, 的关系
. .
二次函数中， 的符号决定抛物线的开口
方向，的符号决定抛物线对称轴的大致位置， 的符号决定抛物
线与 轴交点的大致位置。#2.1
字母的符号 图象的特征
开口向上
开口向下
对称轴为 轴
同号 对称轴在 轴左侧______（简记为“左同右异”）
异号 对称轴在 轴右侧（简记为“左同右异”）
=0 图象过原点
>0 与 轴正半轴相交
<0 与 轴负半轴相交
典例6 二次函数
的图象如图所示。给出下列结论：
；； ；
。其中正确的个数是
( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：
序号 分析 判断
①
② 抛物线与轴交于正半轴上 √
③ 观察图象 当时， √
④ 观察图象 当时， √

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