资源简介

2025-2026学年第二学期期末调研试题
高一数学
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量 a＝(1，－2)，b＝(m，2)，若 a∥b，则实数 m的值为
A．－4 B．－1 C．1 D．4
2. 已知一组数据 x1，x2，x3，x4，x5的方差是 4，那么另一组数据 3x1－2，3x2－2，3x3－2，
3x4－2，3x5－2的方差是
A．10 B．12 C．34 D．36
3. 已知 i为虚数单位，复数 z满足(1＋2i)z＝1－i，则 z在复平面上对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4. 已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题错．误．的是
A．若 m⊥α，n⊥α，则 m//n B．若 m//α，m//β，则α//β
C．若 m⊥α，m⊥β，则α//β D．若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则 n⊥β
→→
5. 在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，则CA ·CB的值为
A. －2 15 B. －2 C. 2 D. 2 15
6. π已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，面积为π的扇形，则此圆锥的体积为
2
A. 15π B. 15π C. π D. 3π
24 8
7. 某数学兴趣小组利用课外实践课，测量某城市广场上的旗杆 MN的高度．在过点 N的水平地
面上确定两个观测点 A，B．在点 A处测得 N在 A的北偏东 60 方向上，AN＝10米；点 B在点 A的
正东方向上，AB＝10 3米，在点 B处测得 M的仰角为 60 ．
则旗杆 MN的高度为（ ）米．
A．5 6 B．10 3
C．5 21 D．5 57
试卷第 1页，共 4页
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8. 已知△ABC面积为 S，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 3(a2＋c2－b2)＝4S，AB＝3，
→DC 2→＝ AD，BD＝2 3，角 A的平分线 AE交 BD于点 O，则△BOC的面积为
A 9( 3－1) B 3( 3＋1) 9 3． ． C． D．2 3
2 4 5
二．选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得 0分．
9. 已知复数 z1＝1－2i，z2＝－2＋2i，z1，z2在复平面内对应的点分别为 Z1，Z2，则
A．|z1|＝ 5 B．|z1z2|＝|z1||z2|
C．若 z1＋λz2(λ∈R)是纯虚数，则λ＝1 D．Z1，Z2两点之间的距离为 5
10.在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则下列结论正确的是
A．若 bsinB＝csinC，则△ABC是等腰三角形
B → →．若AB ·(AB →－AC )＝0，则△ABC是直角三角形
C．若 a2＋b2＜c2，则△ABC是锐角三角形
D．若△ABC是锐角三角形，则 sinB＞cosC
11. 在棱长为 2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E是 CD的中点，点 P是侧面 CDD1C1(含边界)
上的动点，则下列结论正确的是
A．存在点 P，使得 A1P⊥BD1
B 5．当 P是正方形 CDD1C1的中心时，PA与平面 ABCD所成角的正弦值为
5
C．若 A1P//平面 AED1，则线段 A1P的最小值为 5
D 2 21．若以 A1为球心， 为半径的球面与侧面 CDD 2 3π1C1的交线长为
3 9
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.已知△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 A＝30 ，a b＋c＝2，则 ＝____▲____．
sinB＋sinC
13.已知 x∈(0 π， )，cos(2x π＋ )－cos2x＋2 3sinxcosx 1＝ ，则 cos2x＝____▲____．
4 3 2
14. 如图，在三棱锥 P－ABC中，△ABC和△PAC均为边长为 2 3的正三角形，
二面角P－AC－B的大小为90°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为____▲____
试卷第 2页，共 4页
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某市为了解世界杯期间本地居民对电视转播服务的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进
行满意度测评（测评分满分为 100分）．根据测评的数据制成频率分布直方图如下：
(1)求频率分布直方图中 a的值；
(2)若采用分层抽样的方式从评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]的市民中抽取 200人，则从评
分在[60，80)内的市民中应抽取多少人？
(3)估计本次测评分数的 60百分位数和平均数．
→ → → → → →
16. 如图，在平行四边形 ABCD中，AE＝ED，AF＝2FB．设AB＝a，AD＝b．
→ →
(1)试用 a，b 为基底表示BE，DF；
(2)若|a|＝3，|b|＝2，∠BAD＝60
→ →→
，求|BE |和BE ·DF的值．
17．已知锐角△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且满足 sinAtanB＝1－cosA，
(1)求证：A＝2B；
(2)若 3a＝2b，求 sinA的值；
(3) a＋c求 的取值范围．
b
试卷第 3页，共 4页
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18．如图，在四棱锥 P－ABCD中，△PAD是边长为 2的正三角形，底面 ABCD是菱形，
∠DAB＝60°，平面 PAD⊥平面 ABCD，E，H分别为 AD，PC的中点．
(1)证明：DH//平面 PBE；
(2)证明：DH⊥平面 PBC；
(3)求点 E到平面 PBD的距离．
19. 已知点 S是直线 PQ外一点，点 M在直线 PQ上（点 M与点 P、Q任一点均不重合）．我们
称如下操作为“由点 S对 PQ施以视角运算”：
∠
若点 M在线段 PQ上，记( P Q M ) SPsin PSM， ； ＝ ；
SQsin∠MSQ
若点M 在线段 PQ ( P Q M )
SPsin∠PSM
外，记 ， ； ＝－ ．
SQsin∠MSQ
已知在三棱锥 O－ABC中，侧棱 OB⊥平面 ABC，BO＝BC．△ABC的内角 A，B，C的对边分别
为 a，b，c．
(1)若点 D在棱 BC的延长线上，且 BC＝CD，由点 O对 BC施以视角运算，求( B，C；D )的值；
(2)若点 E在边 BC上，∠BAC c＝120 ，AE＝2 3，由点 A对 BC施以视角运算，( B，C；E )＝ ，
2b
求 2b＋c的最小值；
(3)若 M1，M2，M3，...，Mn－1是△ABC的边 BC的 n ( n ≥ 2) 等分点，由点 A对 BC施以视角运算，
求( B，C；Mk )×( B，C；Mn－k ) ( k＝1,2,3，...，n－1)的值．
试卷第 4页，共 4页
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