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第25章一元二次方程试卷
选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1.已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和．
【详解】解：由题意得，在一元二次方程中，．答案：B.
2.把一元二次方程化为一般形式为( )
A． B． C． D．
【分析】化成一元二次方程的一般式的形式.
【详解】解：，
∴，
∴.
3.解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是（ ）．
A．6 B．-6 C．8 D．-8
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答．
【详解】解：∵方程有实数根，
∴，
即，
∵是整数，
∴可以是．答案：C.
4.方程的解是（ ）
A．，． B．，． C．，． D．，．
【分析】因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
或
解得，．
答案：A.
5.当时，关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，根据的条件推导判别式的符号即可得到结论．
【详解】解：，
整理得，，
∴，
又∵，
∴，即，
∴原方程没有实数根．答案：C.
6.已知m是方程的实数根，则的值为（ ）
A．2025 B．-20265 C．2025 D．-2025
【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可．
【详解】解：是方程的实数根，
将代入方程得 ，
整理得 ，
∴．答案：D
7.若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一元二次方程的两个正根推导出，，即可确定点所在的象限．
【详解】解：设一元二次方程的两个正实数根为，，且，，
可得，
∵，，
∴，，
∴，，即，
∵点的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点位于第四象限．
答案：D.
8.已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则的值是（ ）
A． B． C． D．．
【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可．
【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，．
根据根与系数的关系可得，．
整理得．变形得．
解得．
将代入得．
验证判别式：，符合题意．
答案：C.
9.一个菱形的边长是方程的一个根，菱形的一条对角线长为6，则该菱形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．24或48 D．48或40
【分析】先解方程得到边长的可能值，结合三角形三边关系舍去不合理的解，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长，最后计算菱形面积即可．
【详解】解：解方程，
分解因式得，
解得或，
∵菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为6，因此该对角线一半长为3，
若菱形边长为3，则，不能构成三角形，舍去；
若菱形边长为5，由勾股定理得另一条对角线的一半长为，
∴另一条对角线长为，
∴菱形面积为．
答案：B.
10．若，其中为实数且，，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和．
【详解】解：已知，，且，．
由可得，若，等式左边为，不成立．
将两边同时除以，
得：，
移项整理得：，
因此和都是一元二次方程的根．
对因式分解，
得，
解得方程的两个根为，．
∵，因此和为方程两个不同的根．
．
答案A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.用配方法将一元二次方程化为的形式为______．
【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果．
【详解】解：，
，
，
即．
12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值．
【详解】解：∵对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项，且方程有两个相等的实数根，
，
解得．
13.若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____．
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解，
，
整理得 ，
．
14.数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…．
（1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______；
（2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______．
【分析】（1）按照题中规律将写成若干个连续奇数的和即可得到答案；
（2）由题中规律得到将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，结合题中已知条件列一元二次方程求解即可．
【详解】解：（1）由题中规律可得，
如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是
（2）由题意可得规律为，
将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，
则，
，
为正整数，
和是相邻的两个正整数，则由可知，．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.公式法解方程：；
【分析】用求根公式解一元二次方程，注意方程先化为标准形式.
【详解】解：方程变形为：
，，，
，
∴，
解得，．
16.选择适当的方法解下列方程：．
【分析】用因式分解法解一元二次方程较为方便
【详解】解：，
，
，
或，
，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．若关于x的一元二次方程没有实数根，求k的取值范围.
【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数的限制，再利用方程无实数根时判别式小于0列不等式求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程
∴
∵方程没有实数根，
∴判别式，
整理得
解得．
∴k的取值范围是．
18.已知方程的两根是、，求的值．
【分析】利用一元二次方程根和系数的关系可得，，再把分式通分后代入计算即可求解．
【详解】解：∵方程的两根是、，
∴，，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根．
【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解．
（2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路．
【详解】(1)证明：由题意得：，
则：，
不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入方程可得，解得，
当时，原方程为，解得：，
即方程的另一个根为．
20.在合肥五十点中秋季田径运动会的入场式上，初三年级和初二年级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话：
甲：我发现方阵最外层的人数为58人；
乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人．
聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程．
【分析】设方阵的排数为x，列数为y，根据方阵最外层的人数为58人列二元一次方程，用含x的式子表示出y，再根据总人数为234列一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设方阵的排数为x，列数为y，
由方阵最外层的人数为58人，得，
变形得，
由参加方阵展示的学生一共是234人，得，
变形得，
解得，，
当时，，
当时，，
综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13．
（本题满分12分）
21.已知关于的方程（为常数），设，为方程的两个实数根，且满足，试求的值．
【分析】将原方程改为一元二次方程的一般形式，再求出其根的判别式的值即可判断；由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再将变形为，最后代入，解出k的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程，无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；
∵为方程的两个实数根，
∴，．
∵
∴，
∴
∴．
将，代入，
得：，
解得：，
∴k的值为或．
七、（本题满分12分）
22.一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题：
(1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____．
(2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解：
①用配方法解：；
②用公式法解：；
③用因式分解法解：．
(3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值．
【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得；
（2）根据解一元二次方程的方法解答即可；
（3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得．
【详解】（1）解：由题意，得且，解得；
（2）选择方程①
由方程；得：
，
，
，
，
，
∴，；
选择方程②
，，，
，
，；
选择方程③
或
，；
（3），是一元二次方程的两根，
代入得：，，且，，
．
（本题满分14分）
23.安徽省黄山市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．
(1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
(2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），
①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）；
②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？
③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米．
【分析】（1）设平均每年降低的百分率为，根据“游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万”列方程求解即可；
（2）①由题意可知垂直于墙的边总长为，上有两个宽1米的门，根据总篱笆长列方程求解即可；
②根据花圃面积列方程求出x的值，根据墙的最大可用长度取合适的值即可；
③先求出x的取值范围，根据花圃面积求出花圃面积，根据平方的非负性作答即可．
【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为，
根据题意可知，
整理得，
即，
解得：（负值舍去）；
（2）解：①垂直于墙的边共3段，总长为米，上有两个宽1米的门，门不用篱笆，
∵总篱笆长为34米，
∴，
解得：米；
②由①知米，米，
∵所围成花圃面积为105平方米，
∴，
解得，．
根据墙的最大可用长度可知：，
解得，
即；
③由题意可知，
解得：，
花圃面积平方米，
∵，
∴，
∴当时，取得最大值108平方米．
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第25章一元二次方程试卷
选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1.已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．2 B．-2 C．1 D．-1
2.把一元二次方程化为一般形式为( )
A． B． C． D．
3.解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是（ ）．
A．6 B．-6 C．8 D．-8
4.方程的解是（ ）
A．，． B．，． C．，． D．，．
5.当时，关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
6.已知m是方程的实数根，则的值为（ ）
A．2025 B．-20265 C．2025 D．-2025
7.若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8.已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则的值是（ ）
A． B． C． D．．
9.一个菱形的边长是方程的一个根，菱形的一条对角线长为6，则该菱形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．24或48 D．48或40
10．若，其中为实数且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.用配方法将一元二次方程化为的形式为______．
12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____．
13.若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____．
14.数学兴趣小组发现：一个正整数的立方可以写成若干个连续奇数的和，例如：，，，…．他们进一步研究其中连续奇数中的最小奇数的规律时又发现：，，，…．
（1）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是_______；
（2）如果将写成若干个连续奇数的和，其中最小的奇数是，则的值为_______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.公式法解方程：；
16.选择适当的方法解下列方程：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．若关于x的一元二次方程没有实数根，求k的取值范围.
18.已知方程的两根是、，求的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根．
20.在合肥五十点中秋季田径运动会的入场式上，初三年级和初二年级的部分学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话：
甲：我发现方阵最外层的人数为58人；
乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人．
聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程．
（本题满分12分）
21.已知关于的方程（为常数），设为方程的两个实数根，且满足，试求的值．
七、（本题满分12分）
22.一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题：
(1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____．
(2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解：
①用配方法解：；
②用公式法解：；
③用因式分解法解：．
(3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值．
（本题满分14分）
23.安徽省黄山市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，外来游客在逐年下降．某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万．
(1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率；
(2)在该景区需要建造篱笆花圃，如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），
①设花圃垂直于墙的边长为x米，则________（用含x的代数式表示）；
②当为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？
③当________米时，花圃的面积达到最大，最大为________平方米．
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