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专题21.2 一元二次方程的解法（精讲+典例+创新题+练习）
高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制
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课程目标 · 精准把握学习方向
掌握配方法的步骤，能将一元二次方程化为 的形式并求解。
理解并熟练运用公式法（求根公式）解一元二次方程，能准确确定 及判别式。
能根据方程特征灵活选择直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法解题。
掌握根的判别式（）与方程根的情况的关系，能利用判别式求参数范围或证明根的情况。
能结合新定义（如“纠缠方程”“连根方程”）及几何背景，综合运用一元二次方程知识。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 配方法
定义： 通过配成完全平方式的方法解一元二次方程。
步骤：① 移项（常数项移到右边）；② 二次项系数化为1；③ 两边加上一次项系数一半的平方；④ 写成 的形式；⑤ 开平方求解。
核心：完全平方公式 。
典型例题 1
（2026春·龙泉市期中）用配方法解方程 ，配方后所得方程是（　）
A．　　B．　　C．　　D．
【解析】 移项得 ，两边加9得 。
答案：A
☆ 2. 公式法（求根公式）
求根公式： 对于 （），若 ，则
使用步骤：化一般式 → 确定 → 计算 → 代入公式。
时有两个不相等实根； 时有两个相等实根； 时无实数根。
典型例题 2
（2026春·合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定 的值。对于方程 ，下列叙述正确的是（　）
A．　　B．　　
C．　　 D．
【解析】 化为一般式：，故 ，，。
答案：B
☆ 3. 解法的选择策略
直接开平方法： 形如 （）。
因式分解法： 左边易于分解为两个一次因式乘积（提公因式、十字相乘、公式法）。
配方法： 二次项系数为1，一次项系数为偶数时较方便；或题目指定。
公式法： 适用于所有一元二次方程，是万能方法。
典型例题 3
（2026春·绿园区校级期中）用适当的方法解方程：。
【解析】 因式分解得 ，解得 ，。（因式分解法简便）
☆ 4. 根的判别式
方程有两个不相等的实数根。
方程有两个相等的实数根（重根）。
方程无实数根（初中阶段）。
注意：当方程是一元二次方程时，；若未说明，需分类讨论。
典型例题 4
（2026·密云区一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（　）
A．　　B．　　C．　　D．
【解析】 ，解得 。
答案：C
☆ 知识总结表
解法/概念 要点/公式 适用条件/注意事项
配方法 （） 二次项系数化为1，两边加一次项系数一半的平方
公式法 ；化一般式，确定
因式分解法 或 左边易于分解；右边化为0
直接开平方法 （） 形如
根的判别式 ：两个不相等实根；：两个相等实根；：无实根
核心考点 ·6大典型考点精讲
【考点1】配方法（第1–8题）
※ 方法总结
配方法的关键是“配方”，即两边加上一次项系数一半的平方。
注意：二次项系数必须化为1，若不为1，先除以二次项系数。
常见错误：配方时右边忘记加同样的数，或符号错误。
1．（2026春 龙泉市期中）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，配方后所得方程是（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝﹣1 D．（x+3）2＝﹣1
【分析】先在方程的两边都加上8，再配方即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x+9＝8，
∴（x﹣3）2＝8，
故选：A．
【点评】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解本题的关键．
2．（2026 安徽校级模拟）用配方法将方程x2﹣6x+2＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则a﹣b的值是（　　）
A．4 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣5
【分析】先将常数项移项到等号右边，再将等号左边进行配方即可．
【解答】解：x2﹣6x+2＝0，
x2﹣6x＝﹣2，
x2﹣6x+9＝﹣2+9，
（x﹣3）2＝7，
∴a＝3，b＝7，
∴a﹣b＝3﹣7＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．
3．（2025秋 洪山区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+4＝0时，此方程可化为（　　）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x+2）2＝0 C．（x﹣4）2＝8 D．（x+4）2＝20
【分析】通过配方将方程转化为完全平方形式，需根据一次项系数确定配方的常数项，并保持等式成立．
【解答】解：一元二次方程x2﹣4x+4＝0，
即（x﹣2）2＝0，
故选：A．
【点评】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键．
4．（2026春 莱山区期中）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝　1　 ．
【分析】利用配方法把方程x2﹣6x+a＝0化为（x+b）2＝7的形式，进而求出a、b，代入计算即可．
【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+a＝0，
∴x2﹣6x+9＝﹣a+9，
∴（x﹣3）2＝﹣a+9，
∵关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，
∴b＝﹣3，﹣a+9＝7，
∴a＝2，
∴（a+b）2026＝（2﹣3）2026＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
5．（2026春 临安区期中）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0通过配方可变形为，则的值为　　 ．
【分析】根据题意，将方程展开即可解决问题．
【解答】解：由得，
x2，
x20，
所以m，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，能根据题意对所给方程进行变形是解题的关键．
6．（2025秋 丹江口市期末）用配方法解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】先把﹣5移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
，
所以，．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
7．（2025秋 巴南区期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）x2﹣9＝2x﹣6．
【分析】（1）利用配方法，把方程左边配成完全平方形式，并将常数项移至右边，直接开平方，最终完成求解；
（2）先移项，然后利用配方法，把左边配成完全平方形式，右边加上相应的常数，开平方，最终完成求解．
【解答】解：（1）原方程配方可得：
x2﹣4x+4＝4﹣2，
（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2，x2＝2；
（2）原方程移项可得：
x2﹣2x＝9﹣6，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程求解的方法是解题的关键．
8．（2026 江海区一模）下面是小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：二次项系数化为1，得，…第一步
移项，得，…第二步
配方，得，…第三步
，…第四步
由此可得，…第五步
解得第六步
任务一：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？
②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？
任务二：请你写出该方程的正确求解过程．
【分析】任务一：结合所给解方程的过程即可解决问题；
任务二：根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行求解即可．
【解答】解：任务一：①由所给求解过程可知，
小明解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式；
②第三步出现错误，原因是：等式的右边忘记加上4；
任务二：2x2﹣8x﹣3＝0，
x2﹣4x0，
x2﹣4x，
x2﹣4x+4，
（x﹣2）2，
则x﹣2，
所以．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法及一元二次方程的一般形式，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
【考点2】公式法（第9–18题）
※ 方法总结
先将方程化为一般式 ，准确找出 （含符号）。
计算 ，若 则代入求根公式；若 则方程无实数根。
公式法适用于所有一元二次方程，但计算量较大时可能不如其他方法简便。
9．（2026春 合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（　　）
A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3
C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3
【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．
【解答】解：∵﹣4x2+3＝5x
∴﹣4x2﹣5x+3＝0，或4x2+5x﹣3＝0
∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3．
故选：B．
【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．
10．（2025秋 上蔡县月考）用公式法解方程x2﹣1＝﹣x时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（　　）
A．1，1，1 B．1，﹣1，﹣1 C．1，1，﹣1 D．1，﹣1，1
【分析】根据题意，将所给方程整理为一般式，据此即可解决问题．
【解答】解：由题知，
方程x2﹣1＝﹣x可化为x2+x﹣1＝0，
则用公式法解此方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，1，﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及一元二次方程的一般形式，熟知公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
11．（2025秋 闽侯县期中）关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据求根公式即可
【解答】解：∵Δ＝（﹣b）2﹣4ac＝b2﹣4ac＞0，
∴方程根是：，
故选：A．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2025秋 高明区期中）用公式法解方程2x2+7x﹣5＝0时，得，则“□”处应填（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
【分析】根据一元二次方程的一般形式，得到a＝2，b＝7，c＝﹣5，然后代入求根公式即可．
【解答】解：2x2+7x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝7，c＝﹣5，
∴x，
∴“□”处应填﹣7，
故选：A．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，关键是熟记一元二次方程的求根公式．
13．（2025秋 江宁区校级月考）当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则代数式的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得．
【解答】解：∵一元二次方程为的两个根为，，
∴
，
∵代数式的值为3，
∴代数式的值为﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
14．（2024秋 召陵区校级期末）方程2x2﹣6x﹣1＝0的负数根为x　 ．
【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．
【解答】解：Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝44，
x，
所以x10，x20．
即方程的负数根为x．
故答案为x．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
15．（2024秋 修水县月考）用求根公式解方程3x2﹣x＝1，求得Δ＝　13　 ．
【分析】依据题意，化为一般式，求出a，b，c，代入Δ＝b2﹣4ac计算即可．
【解答】解：由题意得，3x2﹣x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，化为一般式，求出a，b，c的值是解答本题的关键．
16．（2023秋 虹口区校级期末）的根为 x1＝x2　 ．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：x2x0，
（x）2＝0，
∴x0，
∴x1＝x2．
故答案为：x1＝x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17．（2026春 西湖区校级期中）解方程：
（1）2x（x﹣3）+x＝3；
（2）x2﹣5x＝2x﹣2．
【分析】（1）先将方程移项，把右边的项移到左边，再用因式分解法分解，最后令每个因式为 0 求；
（2）先将方程整理为一元二次方程的标准形式，再用因式分解法或公式法求解，这里因式分解更简便．
【解答】解：（1）2x（x﹣3）+x＝3，
移项得，2x（x﹣3）+x﹣3＝0，
提取公因式，（x﹣3）（2x+1）＝0，
令x﹣3＝0或2x+1＝0，
∴x1＝3，x2；
（2）x2﹣5x＝2x﹣2，
移项整理得，x2﹣7x+2＝0，
a＝1，b＝﹣7，c＝2，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×2＝49﹣8＝41＞0，
x，
解得：
∴x1，x2．
【点评】本题考查了一元二次方程的不同解法，包括因式分解法和公式法；熟练掌握移项、因式分解技巧及求根公式的应用，是解题的关键．
18．（2026春 同步）用公式法解下列方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0；
（2）4x2+9＝12x；
（3）；
（4）．
【分析】利用公式法依次对所给一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）＝49＞0，
则x，
所以x1＝﹣1，x2＝6；
（2）4x2+9＝12x，
4x2﹣12x+9＝0，
Δ＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0，
则x，
所以；
（3），
10＞0，
则x，
所以；
（4），
4x2﹣x﹣3＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×4×（﹣3）＝49＞0，
则x，
所以．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法，熟知公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
【考点3】适当的方法解方程（第19–23题）
※ 方法总结
观察方程特征，优先选择最简便的方法：直接开平方法（平方形式）、因式分解法（易于分解）、配方法（指定或系数适合）、公式法（万能）。
解完方程后要检查根是否符合题意（如几何背景中的三角形三边关系）。
19．（2026春 绿园区校级期中）用适当的方法解方程：
（1）4x2＝9；
（2）x（x﹣3）＝5（x﹣3）；
（3）x2﹣2x+1＝0；
（4）6x2﹣7x+1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解答即可；
（2）利用因式分解法解答即可；
（3）利用因式分解法解答即可；
（4）利用因式分解法解答即可．
【解答】解：（1）4x2＝9，
∴2x＝±3，
∴；
（2）原方程移项可得：
x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0，x﹣5＝0，
解得：x1＝3，x2＝5；
（3）原方程分解因式可得：
（x﹣1）2＝0，
∴x﹣1＝0，
∴x1＝x2＝1；
（4）原方程分解因式可得：
（6x﹣1）（x﹣1）＝0，
∴6x﹣1＝0，x﹣1＝0，
解得：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
20．（2025秋 锡山区校级月考）用适当的方法解下列方程：
（1）（x+1）2﹣4＝0；
（2）（x+3）（x﹣1）＝﹣4；
（3）2x2﹣3x+1＝0；
（4）（2x+3）2＝（3x+2）2．
【分析】（1）整理后，根据直接开平方法进行求解方程即可；
（2）整理后，根据因式分解法进行求解方程即可；
（3）根据因式分解法进行求解方程即可；
（4）根据直接开平方法进行求解方程即可．
【解答】解：（1）（x+1）2﹣4＝0；
整理得（x+1）2＝4，
开方得x+1＝±2，
解得x1＝1，x2＝﹣3；
（2）（x+3）（x﹣1）＝﹣4，
解：整理得x2+2x+1＝0，
因式分解得（x+1）2＝0，
开方得x+1＝0
解得x1＝x2＝﹣1；
（3）2x2﹣3x+1＝0，
因式分解得（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
即2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
解得，x2＝1；
（4）（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得2x+3＝±（3x+2），
即2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得x1＝1，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
21．（2025春 北林区校级期中）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣4＝0；
（2）y（y﹣2）＝3；
（3）3x（x﹣4）＝4（x﹣4）；
（4）2x2+4＝7x．
【分析】（1）先移项，再用直接开平方法求解；
（2）先化为一般式，再由因式分解法求解；
（3）先移项，再由因式分解法求解；
（4）先化为一般式，再由公式法求解；
【解答】解：（1）原方程移项可得：
（x﹣2）2＝4，
x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，
解得：x1＝4，x2＝0；
（2）原方程整理得：
y2﹣2y﹣3＝0，
（y﹣3）（y+1）＝0，
y﹣3＝0或y+1＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1；
（3）原方程移项可得：
3x（x﹣4）﹣4（x﹣4）＝0，
（3x﹣4）（x﹣4）＝0，
3x﹣4＝0或x﹣4＝0，
解得：；
（4）原方程移项可得：
2x2﹣7x+4＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝4，
b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝17，
，
解得：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
22．（2025秋 东海县月考）选用适当方法解下列方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2+2x﹣5＝0；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0；
（4）5（x﹣3）＝2x（x﹣3）．
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用求根公式法求解即可；
（3）用求根公式法求解即可；
（4）把等号右边各项移到等号左边，用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原方程分解因式可得：
2（x+2）（x﹣2）＝0，
x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2+2x﹣5＝0，
，
，
；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0，
，
，
；
（4）原方程移项可得：
5（x﹣3）﹣2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（5﹣2x）＝0，
．
【点评】本题考查解一元二次方程，掌握算理是解决问题的关键．
23．（2025秋 北关区校级月考）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0．
【分析】（1）用公式法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x+1＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
则
所以，；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝1．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣公式法，熟知因式分解法及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
【考点4】根的判别式（第24–33题）
※ 方法总结
的值直接决定方程根的情况，是中考常见考点。
含参数时，根据根的情况列不等式（或等式）求参数范围，注意二次项系数不为0。
证明方程总有实数根：将 配方成非负形式（如完全平方式）。
结合韦达定理（根与系数关系）可解决更多综合问题。
24．（2026 密云区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题意，∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）＝0，
∴m＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
25．（2026 钟楼区校级模拟）若一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1 B．m≤1 C．m≤2 D．m
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，
则Δ＝22﹣4m≥0得，
解得m≤1，
所以m的取值范围是m≤1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
26．（2026春 龙泉市期中）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有同学提出下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0．
②若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．
③若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
④若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根．
其中正确的（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【分析】根据一元二次方程根的判别式、等式的性质及一元二次方程解的定义对所给说法依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为a﹣b+c＝0，
所以x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，
即该方程有实数根，
所以b2﹣4ac≥0．
故①正确；
由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根得，
ac2+bc+c＝0，
则c（ac+b+1）＝0，
当c＝0时，ac+b+1＝0不一定成立．
故②错误；
因为x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则，
所以c．
因为4a24abx0+b2＝4a（）+b2＝﹣4ac+b2＝b2﹣4ac，
所以．
故③正确；
因为方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
所以02﹣4ac＞0，
则ac＜0．
因为方程ax2+bx+c＝0根的判别式为b2﹣4ac且ac＜0，
所以b2﹣4ac＞0，
所以该方程必有两个不相等的实根．
故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式、等式的性质及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式、等式的性质及一元二次方程解的定义是解题的关键．
27．（2026 隆安县一模）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　）
A．2x2+4＝0 B．x2+2x+3＝0
C．2x2﹣3x+4＝0 D．x2﹣2＝0
【分析】先计算根的判别式，然后根据一元二次方程根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：A选项中，Δ＝02﹣4×2×4＝﹣32＜0，没有实数根，故不符合题意；
B选项中，Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，没有实数根，故不符合题意；
C选项中，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0，没有实数根，故不符合题意；
D选项中，Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，有实数根，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
28．（2026 湖北模拟）对于实数a，b，定义运算“★”：a★b＝b2﹣a，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t有两个不相等的实数根，t的取值范围是　　 ．
【分析】先根据新定义的运算规则，将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程根的判别式，结合方程有两个不相等的实数根得到判别式大于0，解不等式即可得到t的取值范围．
【解答】解：将a＝2x+1，b＝2x﹣3代入（2x+1） （2x﹣3）＝t得：
（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，
展开并整理得：4x2﹣14x+8﹣t＝0，
∵该一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
其中a＝4，b＝﹣14，c＝8﹣t，
Δ＝（﹣14）2﹣4×4×（8﹣t）＞0，
计算得：196﹣128+16t＞0，
68+16t＞0，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
29．（2026 盐都区一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1且k≠0　 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到4+4k≥0，解不等式即可求解．
【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×k＝4+4k≥0，
∴k≥﹣1且k≠0．
故答案为：k≥﹣1且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
30．（2026 榆树市一模）一元二次方程x2x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为b　 ．
【分析】根据根的判别式得出Δ＝（）2﹣4×1×（b+1）＜0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2x+（b+1）＝0无实数根，
∴Δ＝（）2﹣4×1×（b+1）＜0，
解得：b，
故答案为：b．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
31．（2026春 西湖区校级月考）关于x的方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是k≤2　 ．
【分析】当k＝0时，原方程为一元一次方程，解方程可知有实数根；当k≠0时，原方程为一元二次方程，利用根的判别式求解即可．
【解答】解：当k＝0时，原方程为﹣4x+2＝0，解得，此时方程有实数根；
当k≠0时，则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×k≥0，
解得k≤2，
故答案为：k≤2．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键．
32．（2026春 龙泉市期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0．
（1）若k＝1，求该方程的解．
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值．
（3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；
（3）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论．
【解答】解：（1）若k＝1，则方程为x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
解得x1＝0，x2＝1；
（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，
解得k，
故k的值是；
（3）小慧同学的观点是否正确，
当k≠0时，
∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴Δ＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，
∴Δ＝（2k﹣3）2≥0，
当k＝0时，3x﹣3＝0，
解得x＝1，
∴无论k取何值，方程都有实根．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与Δ的关系是解答此题的关键．
33．（2026春 西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：此方程一定有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为1，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
【分析】（1）直角利用Δ求解即可；
（2）易得x1＝3，x2＝m，进而分类讨论求解即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m
＝m2+6m+9﹣12m
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2≥0，
∴此方程一定有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（m+3）x+3m＝0，
∴（x﹣3）（x﹣m）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣m＝0，
∴x1＝3，x2＝m，
当AB＝AC时，m＝3，
此时三角形三边为3，3，1，满足三角形三边关系，符合题意．
当AB＝BC＝1或AC＝BC＝1时，m＝1，
此时三角形三边为1，1，3，不满足三角形三边关系，舍去．
综上，m的值为3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【考点5】创新及压轴题（第34–36题）
※ 方法总结
理解新定义（如“纠缠方程”“连根方程”），将其转化为一般方程或根的关系。
利用根的定义、判别式、韦达定理等建立方程（组）求解。
注意分类讨论，验证解的合理性。
34．（2026春 寿县月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“纠缠方程”．
（1）判断一元二次方程（2x+3）2＝9是否为“纠缠方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“纠缠方程”，证明：x＝﹣1为“纠缠方程”的根；
（3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值．
【分析】（1）将一元二次方程（2x+3）2＝9化为一元二次方程的一般形式，再根据“纠缠方程”的定义判断即可；
（2）根据“纠缠方程”的定义得到a、b、c的数量关系，将b用含a和c的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可；
（3）根据“纠缠方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项n用含m的代数式表示出来并代入原方程，并把x＝m代入，得到关于m的一元二次方程，据此求解即可．
【解答】（1）解：一元二次方程（2x+3）2＝9不是“纠缠方程”．
理由如下：由条件可知4x2+12x+9＝9，即x2+3x＝0．
∵a＝1，b＝3，c＝0，
∴3≠1+0，即b≠a+c．
∴一元二次方程（2x+3）2＝9不是“纠缠方程”；
（2）证明：由条件可知b＝a+c．
∴ax2+（a+c）x+c＝0，即ax2+ax+cx+c＝0．
因式分解，得（x+1）（ax+c）＝0，
解得x1＝﹣1，．
∴x＝﹣1为“纠缠方程”的根；
（3）解：∵3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”，
∴﹣m＝3+n，即n＝﹣（m+3）．
∴3x2﹣mx﹣（m+3）＝0．
∵m是该“纠缠方程”的一个根，
∴3m2﹣m2﹣（m+3）＝0．
整理方程，得2m2﹣m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，．
∴m的值为﹣1或．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键．
35．（2026春 海淀区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3k+3＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两实数根为x1，x2满足x1x2＝x1+x2﹣3，求k的值．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程为x2﹣（k+4）x+3k+3＝0，
∴Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×（3k+3）＝（k﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵方程的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1x2＝3k+3．
又∵x1x2＝x1+x2﹣3，
∴3k+3＝k+4﹣3，
解得k＝﹣1．
【点评】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
36．（2026春 栖霞市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”．例如：方程x2+x＝0就是一个“连根方程”．
（1）请你判断方程x2+7x+12＝0是否是“连根方程”；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“连根方程”，求m的值．
【分析】（1）求出x2+7x+12＝0的解x1＝﹣3，x2＝﹣4，即可得方程x2+7x+12＝0是连根方程；
（2）求出x2+（m﹣2）x﹣2m＝0的解x1＝﹣m，x2＝2，可得﹣m﹣2＝1或2﹣（﹣m）＝1，故m的值为﹣3或﹣1；
【解答】解：（1）∵x2+7x+12＝0，
∴（x+3）（x+4）＝0，
∴x+3＝0或x+4＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣4，
∵（﹣3）﹣（﹣4）＝1，
∴方程x2+7x+12＝0是连根方程；
（2）∵x2+（m﹣2）x﹣2m＝0，
∴（x+m）（x﹣2）＝0，
∴x+m＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣m，x2＝2，
∵x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是连根方程，
∴﹣m﹣2＝1或2﹣（﹣m）＝1，
∴m＝﹣3或m＝﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“连根方程”的概念．
随堂检测 · 精选练习
练习1 配方法 练习2 因式分解法（根与方程） 练习3 公式法（系数确定）
练习4 一元二次方程与几何（等腰三角形） 练习5 综合解法（四种方法）
【练习1】（2026春 温岭市期中）把一元二次方程x2﹣8x﹣7＝0配方转化成（x+m）2+n＝0的形式，正确的结果是（　　）
A．（x﹣4）2＝23 B．（x+4）2＝23 C．（x+4）2＝7 D．（x﹣4）2＝7
【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可．
【解答】解：由题知，
x2﹣8x﹣7＝0，
x2﹣8x＝7，
x2﹣8x+16＝7+16，
（x﹣4）2＝23，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键．
【练习2】（2025秋 太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　）
A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0
C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0
【分析】利用因式分解法对选项中的方程进行求解即可
【解答】解：由（x+1）（x+2）＝0得，
x1＝﹣1，x2＝﹣2，
所以A选项不符合题意；
由（x﹣1）（x﹣2）＝0得，
x1＝1，x2＝2，
所以B选项不符合题意；
由（x+1）（x﹣2）＝0得，
x1＝﹣1，x2＝2，
所以C选项符合题意；
由（x﹣1）（x+2）＝0得，
x1＝1，x2＝﹣2，
所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
【练习3】（2026春 临淄区期中）用公式法解方程2x2+7x＝5时，得，则“□”处应填（　　）
A．5 B．﹣5 C．﹣7 D．7
【分析】将所给方程化为一般式，再结合求根公式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
方程2x2+7x＝5可化为2x2+7x﹣5＝0，
根据求根公式得，
x，
所以“□”处应填﹣7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法及二次根式的乘除法，熟知一元二次方程的求根公式是解题的关键．
【练习4】（2026 化州市模拟）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　14　 ．
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
【解答】解：解方程x2﹣2x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
【练习5】（2026春 朝阳区校级期中）解下列一元二次方程：
（1）（x﹣4）2＝4；
（2）（x+2）2＝5（x+2）；
（3）x2﹣4x＝3；
（4）3x2﹣7x+1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可；
（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
（3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可；
（4）利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣4）2＝4，
则x﹣4＝±2，
所以x1＝2，x2＝6；
（2）（x+2）2＝5（x+2），
（x+2）2﹣5（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
则x+2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝3；
（3）x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
则x﹣2，
所以；
（4）3x2﹣7x+1＝0，
Δ＝（﹣7）2﹣4×3×1＝37＞0，
则x，
所以．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法、解一元二次方程﹣配方法、解一元二次方程﹣直接开平方法及解一元二次方程﹣公式法，熟知解一元二次方程的步骤是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 配方法（变形）作业2 解法选择（因式分解）作业3 因式分解与三角形三边
作业4 新定义运算（因式分解）作业5 配方法（求 a+b）作业6 根的定义（代入求值）作业7 根的判别式（相等实根）作业8 综合解法（四种方法）
作业9 配方法纠错 作业10 判别式与韦达定理综合
复习建议
巩固配方法： 配方法是基础，务必熟练掌握“移项、化系数、配方、开方”的流程，尤其注意右边加上相同的数。
公式法要熟练： 牢记求根公式，能快速确定 并计算 ，避免符号错误。
灵活选择方法： 解题前先观察方程特征，优先选择简便方法，提高解题效率。
判别式是钥匙： 遇到参数或证明根的情况，立即想到 ，并注意二次项系数不为0。
重视新定义与综合： 创新题常结合新定义或几何背景，需认真阅读题意，将新概念转化为熟悉的方程知识。
【作业1】（2025秋 惠安县期末）用配方法解方程x2+2x＝2，变形后结果正确的是（　　）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x+1）2＝3 D．（x﹣1）2＝3
【分析】首先等号两边同时加上1，然后配方即可．
【解答】解：配方得x2+2x+1＝2+1，
（x+1）2＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，理解并掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．
【作业2】（2025秋 鲤城区校级期末）解一元二次方程x2﹣2x＝0，最适合的方法是（　　）
A．直接开方法 B．因式分解法
C．配方法 D．公式法
【分析】依据题意，根据一元二次方程x2﹣2x＝0，从而可得x（x﹣2）＝0，故可得解．
【解答】解：由题意，∵一元二次方程为x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，故最适合的方法是因式分解法．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题时要熟练掌握并能灵活运用解一元二次方程的方法是关键．
【作业3】（2025秋 碑林区校级期末）已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．11或13
【分析】根据因式分解法求一元二次方程得x1＝4，x2＝9，再根据三角形三边关系分类讨论，即可求解．
【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4，
当第三边为4时，6﹣3＜4＜6+3，能构成三角形，
∴周长为3+6+4＝13；
当第三边为2时，2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意，舍去；
∴三角形的周长为13，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程、三角形三边关系，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【作业4】（2025 清原县一模）定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025
C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025
【分析】利用新定义得出方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：根据题中的新定义得：x2﹣2024x﹣2024＝1，
∴x2﹣2024x﹣2025＝0，
（x+1）（x﹣2025）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2025＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2025．
故选：A．
【点评】此题考查了新定义，解一元二次方程﹣因式分解法，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【作业5】（2025秋 上海校级期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为（x+a）2＝b的形式．现如果用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣2025＝0，那么此时a+b的值是　2027　 ．
【分析】通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求a和b的值，再代入求值即可．
【解答】解：原方程移项得x2﹣4x＝2025，
配方得（x﹣2）2＝2029，
与（x+a）2＝b对比可得a＝﹣2，b＝2029，
所以a+b＝﹣2+2029＝2027．
故答案为：2027．
【点评】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解．
【作业6】（2025秋 锦江区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根是，则m的值为　1　 ．
【分析】将代入方程，解方程即可得．
【解答】解：由条件可得，
解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．
【作业7】（2026 沂南县一模）已知关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有两个相等的实数根，则a＝　﹣4　 ．
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝42﹣4×a×（﹣1）＝0且a≠0，
解得a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【作业8】（2025秋 莎车县期末）解方程：
（1）3x2﹣27＝0；
（2）2x2+4x＝0；
（3）x2﹣8x+12＝0；
（4）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
【分析】（1）移项后运用直接开平方法即可求解；
（2）利用因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解；
（3）利用配方法求解即可；
（4）将方程通过移项，利用提取公因式法进行因式分解求解．
【解答】解：（1）3x2＝27，
x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）2x（x+2）＝0，
2x＝0或x+2＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2；
（3）原方程整理得：
（x﹣4）2＝4，
x﹣4＝±2，
x﹣4＝2或x﹣4＝﹣2，
∴x1＝6，x2＝2；
（4）原方程分解因式可得：
（x﹣4）（x﹣4﹣10）＝0，
x﹣4＝0或x﹣14＝0，
∴x1＝4，x2＝14．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法、因式分解法、直接开平方法是解题的关键．
【作业9】（2025秋 丰润区期末）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得2x2+4x＝1．①
二次项系数化为1，得．②
配方，得，即．③
开方，得．④
，．⑤
（1）小聪的解答过程是从第　③　 步开始出现错误的，错误的原因是　配方时方程右边没有加1　 ；
（2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可求解．
【解答】解：（1）小聪的解答过程是从第③步开始出现错误的，错误的原因是配方时方程右边没有加1；
故答案为：③；配方时方程右边没有加1；
（2）原方程移项得2x2﹣4x＝5，
二次项系数化为1得，
配方得，即，
开方得，
所以，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
【作业10】（2025秋 南平期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0．
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根；
（2）若实数m，n满足m2+mb＝2，9n2+3nb＝2，且m≠3n，求mn的值．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式得出当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，对于一元二次方程x2+bx﹣2＝0，其中a＝1，b＝b，c＝﹣2，代入判别式得：Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8，因为任何实数的平方都是非负数，所以b2+8≥8＞0，即Δ＞0，因此方程必有两个不相等的实数根；
（2）需将m、3n与方程x2+bx﹣2＝0的根联系起来，再利用根与系数的关系进行求解．
【解答】（1）证明：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），其判别式为Δ＝b2﹣4ac，
在一元二次方程x2+bx﹣2＝0中，a＝1，b＝b，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8，
∵b2≥0，
∴b2+8≥8＞0，即Δ＞0，
∴当Δ＞0时，方程必有两个不相等的实数根．
（2）原方程移项可得：m2+mb﹣2＝0，
又∵9n2+3nb＝2，
∴（3n）2+b （3n）﹣2＝0，
∴m和3n都满足方程x2+bx﹣2＝0，
对于一元二次方程x2+bx﹣2＝0，
有，
∵m和3n是方程的两个根，且m≠3n，
∴m （3n）＝﹣2，
∴．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键．
第1页（共1页）专题21.2 一元二次方程的解法（精讲+典例+创新题+练习）
高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握配方法的步骤，能将一元二次方程化为 的形式并求解。
理解并熟练运用公式法（求根公式）解一元二次方程，能准确确定 及判别式。
能根据方程特征灵活选择直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法解题。
掌握根的判别式（）与方程根的情况的关系，能利用判别式求参数范围或证明根的情况。
能结合新定义（如“纠缠方程”“连根方程”）及几何背景，综合运用一元二次方程知识。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 配方法
定义： 通过配成完全平方式的方法解一元二次方程。
步骤：① 移项（常数项移到右边）；② 二次项系数化为1；③ 两边加上一次项系数一半的平方；④ 写成 的形式；⑤ 开平方求解。
核心：完全平方公式 。
典型例题 1
（2026春·龙泉市期中）用配方法解方程 ，配方后所得方程是（　）
A．　　B．　　C．　　D．
【解析】 移项得 ，两边加9得 。
答案：A
☆ 2. 公式法（求根公式）
求根公式： 对于 （），若 ，则
使用步骤：化一般式 → 确定 → 计算 → 代入公式。
时有两个不相等实根； 时有两个相等实根； 时无实数根。
典型例题 2
（2026春·合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定 的值。对于方程 ，下列叙述正确的是（　）
A．　　B．　　
C．　　 D．
【解析】 化为一般式：，故 ，，。
答案：B
☆ 3. 解法的选择策略
直接开平方法： 形如 （）。
因式分解法： 左边易于分解为两个一次因式乘积（提公因式、十字相乘、公式法）。
配方法： 二次项系数为1，一次项系数为偶数时较方便；或题目指定。
公式法： 适用于所有一元二次方程，是万能方法。
典型例题 3
（2026春·绿园区校级期中）用适当的方法解方程：。
【解析】 因式分解得 ，解得 ，。（因式分解法简便）
☆ 4. 根的判别式
方程有两个不相等的实数根。
方程有两个相等的实数根（重根）。
方程无实数根（初中阶段）。
注意：当方程是一元二次方程时，；若未说明，需分类讨论。
典型例题 4
（2026·密云区一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（　）
A．　　B．　　C．　　D．
【解析】 ，解得 。
答案：C
☆ 知识总结表
解法/概念 要点/公式 适用条件/注意事项
配方法 （） 二次项系数化为1，两边加一次项系数一半的平方
公式法 ；化一般式，确定
因式分解法 或 左边易于分解；右边化为0
直接开平方法 （） 形如
根的判别式 ：两个不相等实根；：两个相等实根；：无实根
核心考点 ·6大典型考点精讲
【考点1】配方法（第1–8题）
※ 方法总结
配方法的关键是“配方”，即两边加上一次项系数一半的平方。
注意：二次项系数必须化为1，若不为1，先除以二次项系数。
常见错误：配方时右边忘记加同样的数，或符号错误。
1．（2026春 龙泉市期中）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，配方后所得方程是（　　）
A．（x﹣3）2＝8 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝﹣1 D．（x+3）2＝﹣1
2．（2026 安徽校级模拟）用配方法将方程x2﹣6x+2＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则a﹣b的值是（　　）
A．4 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣5
3．（2025秋 洪山区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+4＝0时，此方程可化为（　　）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x+2）2＝0 C．（x﹣4）2＝8 D．（x+4）2＝20
4．（2026春 莱山区期中）若关于x的方程x2﹣6x+a＝0可以配方成（x+b）2＝7，那么（a+b）2026＝　 　 ．
5．（2026春 临安区期中）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0通过配方可变形为，则的值为　 　 ．
6．（2025秋 丹江口市期末）用配方法解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
7．（2025秋 巴南区期末）解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）x2﹣9＝2x﹣6．
8．（2026 江海区一模）下面是小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：二次项系数化为1，得，…第一步
移项，得，…第二步
配方，得，…第三步
，…第四步
由此可得，…第五步
解得第六步
任务一：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？
②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？
任务二：请你写出该方程的正确求解过程．
【考点2】公式法（第9–18题）
※ 方法总结
先将方程化为一般式 ，准确找出 （含符号）。
计算 ，若 则代入求根公式；若 则方程无实数根。
公式法适用于所有一元二次方程，但计算量较大时可能不如其他方法简便。
9．（2026春 合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（　　）
A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3
C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3
10．（2025秋 上蔡县月考）用公式法解方程x2﹣1＝﹣x时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（　　）
A．1，1，1 B．1，﹣1，﹣1 C．1，1，﹣1 D．1，﹣1，1
11．（2025秋 闽侯县期中）关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025秋 高明区期中）用公式法解方程2x2+7x﹣5＝0时，得，则“□”处应填（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
13．（2025秋 江宁区校级月考）当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式的值为3，则代数式的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
14．（2024秋 召陵区校级期末）方程2x2﹣6x﹣1＝0的负数根为　 　 ．
15．（2024秋 修水县月考）用求根公式解方程3x2﹣x＝1，求得Δ＝　 　 ．
16．（2023秋 虹口区校级期末）的根为 　 　 ．
17．（2026春 西湖区校级期中）解方程：
（1）2x（x﹣3）+x＝3；
（2）x2﹣5x＝2x﹣2．
18．（2026春 同步）用公式法解下列方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0；
（2）4x2+9＝12x；
（3）；
（4）．
【考点3】适当的方法解方程（第19–23题）
※ 方法总结
观察方程特征，优先选择最简便的方法：直接开平方法（平方形式）、因式分解法（易于分解）、配方法（指定或系数适合）、公式法（万能）。
解完方程后要检查根是否符合题意（如几何背景中的三角形三边关系）。
19．（2026春 绿园区校级期中）用适当的方法解方程：
（1）4x2＝9；
（2）x（x﹣3）＝5（x﹣3）；
（3）x2﹣2x+1＝0；
（4）6x2﹣7x+1＝0．
20．（2025秋 锡山区校级月考）用适当的方法解下列方程：
（1）（x+1）2﹣4＝0；
（2）（x+3）（x﹣1）＝﹣4；
（3）2x2﹣3x+1＝0；
（4）（2x+3）2＝（3x+2）2．
21．（2025春 北林区校级期中）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣4＝0；
（2）y（y﹣2）＝3；
（3）3x（x﹣4）＝4（x﹣4）；
（4）2x2+4＝7x．
22．（2025秋 东海县月考）选用适当方法解下列方程：
（1）2x2﹣8＝0；
（2）x2+2x﹣5＝0；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0；
（4）5（x﹣3）＝2x（x﹣3）．
23．（2025秋 北关区校级月考）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0．
【考点4】根的判别式（第24–33题）
※ 方法总结
的值直接决定方程根的情况，是中考常见考点。
含参数时，根据根的情况列不等式（或等式）求参数范围，注意二次项系数不为0。
证明方程总有实数根：将 配方成非负形式（如完全平方式）。
结合韦达定理（根与系数关系）可解决更多综合问题。
24．（2026 密云区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
25．（2026 钟楼区校级模拟）若一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1 B．m≤1 C．m≤2 D．m
26．（2026春 龙泉市期中）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有同学提出下列说法：
①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0．
②若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．
③若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
④若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根．
其中正确的（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
27．（2026 隆安县一模）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　）
A．2x2+4＝0 B．x2+2x+3＝0
C．2x2﹣3x+4＝0 D．x2﹣2＝0
28．（2026 湖北模拟）对于实数a，b，定义运算“★”：a★b＝b2﹣a，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t有两个不相等的实数根，t的取值范围是　 　 ．
29．（2026 盐都区一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
30．（2026 榆树市一模）一元二次方程x2x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为　 　 ．
31．（2026春 西湖区校级月考）关于x的方程kx2﹣4x+2＝0有实数根，则k的取值范围是　 　 ．
32．（2026春 龙泉市期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0．
（1）若k＝1，求该方程的解．
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值．
（3）小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由．
33．（2026春 西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：此方程一定有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为1，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．
【考点5】创新及压轴题（第34–36题）
※ 方法总结
理解新定义（如“纠缠方程”“连根方程”），将其转化为一般方程或根的关系。
利用根的定义、判别式、韦达定理等建立方程（组）求解。
注意分类讨论，验证解的合理性。
34．（2026春 寿县月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“纠缠方程”．
（1）判断一元二次方程（2x+3）2＝9是否为“纠缠方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“纠缠方程”，证明：x＝﹣1为“纠缠方程”的根；
（3）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“纠缠方程”，若m是该“纠缠方程”的一个根，求m的值．
35．（2026春 海淀区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3k+3＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两实数根为x1，x2满足x1x2＝x1+x2﹣3，求k的值．
36．（2026春 栖霞市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”．例如：方程x2+x＝0就是一个“连根方程”．
（1）请你判断方程x2+7x+12＝0是否是“连根方程”；
（2）若关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0（m是常数）是“连根方程”，求m的值．
随堂检测 · 精选练习
练习1 配方法 练习2 因式分解法（根与方程） 练习3 公式法（系数确定）
练习4 一元二次方程与几何（等腰三角形） 练习5 综合解法（四种方法）
【练习1】（2026春 温岭市期中）把一元二次方程x2﹣8x﹣7＝0配方转化成（x+m）2+n＝0的形式，正确的结果是（　　）
A．（x﹣4）2＝23 B．（x+4）2＝23 C．（x+4）2＝7 D．（x﹣4）2＝7
【练习2】（2025秋 太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　）
A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0
C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0
【练习3】（2026春 临淄区期中）用公式法解方程2x2+7x＝5时，得，则“□”处应填（　　）
A．5 B．﹣5 C．﹣7 D．7
【练习4】（2026 化州市模拟）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　 　 ．
【练习5】（2026春 朝阳区校级期中）解下列一元二次方程：
（1）（x﹣4）2＝4；
（2）（x+2）2＝5（x+2）；
（3）x2﹣4x＝3；
（4）3x2﹣7x+1＝0．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 配方法（变形）作业2 解法选择（因式分解）作业3 因式分解与三角形三边
作业4 新定义运算（因式分解）作业5 配方法（求 a+b）作业6 根的定义（代入求值）作业7 根的判别式（相等实根）作业8 综合解法（四种方法）
作业9 配方法纠错 作业10 判别式与韦达定理综合
复习建议
巩固配方法： 配方法是基础，务必熟练掌握“移项、化系数、配方、开方”的流程，尤其注意右边加上相同的数。
公式法要熟练： 牢记求根公式，能快速确定 并计算 ，避免符号错误。
灵活选择方法： 解题前先观察方程特征，优先选择简便方法，提高解题效率。
判别式是钥匙： 遇到参数或证明根的情况，立即想到 ，并注意二次项系数不为0。
重视新定义与综合： 创新题常结合新定义或几何背景，需认真阅读题意，将新概念转化为熟悉的方程知识。
【作业1】（2025秋 惠安县期末）用配方法解方程x2+2x＝2，变形后结果正确的是（　　）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x+1）2＝3 D．（x﹣1）2＝3
【作业2】（2025秋 鲤城区校级期末）解一元二次方程x2﹣2x＝0，最适合的方法是（　　）
A．直接开方法 B．因式分解法
C．配方法 D．公式法
【作业3】（2025秋 碑林区校级期末）已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．11或13
【作业4】（2025 清原县一模）定义运算：a☆b＝a2﹣ab﹣b，例如：3☆2＝32﹣3×2﹣2＝1，则方程x☆2024＝1的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2025 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2025
C．x1＝1，x2＝2025 D．x1＝1，x2＝﹣2025
【作业5】（2025秋 上海校级期末）用配方法解一元二次方程时，往往先将原方程转化为（x+a）2＝b的形式．现如果用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣2025＝0，那么此时a+b的值是　 　 ．
【作业6】（2025秋 锦江区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根是，则m的值为　 　 ．
【作业7】（2026 沂南县一模）已知关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有两个相等的实数根，则a＝　 　 ．
【作业8】（2025秋 莎车县期末）解方程：
（1）3x2﹣27＝0；
（2）2x2+4x＝0；
（3）x2﹣8x+12＝0；
（4）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．
【作业9】（2025秋 丰润区期末）下面是小聪同学用配方法解方程2x2+4x﹣1＝0的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得2x2+4x＝1．①
二次项系数化为1，得．②
配方，得，即．③
开方，得．④
，．⑤
（1）小聪的解答过程是从第　 　 步开始出现错误的，错误的原因是　 　 ；
（2）用这种方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0．
【作业10】（2025秋 南平期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0．
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根；
（2）若实数m，n满足m2+mb＝2，9n2+3nb＝2，且m≠3n，求mn的值．
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