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专题21.3 一元二次方程的应用（精讲+典例+创新题+练习）
高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能灵活运用求对称式的值。
理解二次三项式在实数范围内因式分解的方法，掌握判别式与分解的关系。
能正确列出一元二次方程解决实际问题（增长率、传染、面积、利润等）。
能结合几何图形与方程建模，解决综合应用题。
体会“整体代入”“转化建模”等数学思想。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
若 （）的两个根为 ，则 ，。
常见对称式：；。
利用韦达定理可构造方程、求参数、求对称式的值。
典型例题 1 （2026·南宁二模）， 是关于 的一元二次方程 两个根，则 值为（　）
A．5 B． 5 C．2 D． 2
解析： 由韦达定理，。 答案：B
☆ 2. 二次三项式在实数范围内的因式分解
对于二次三项式 ，若对应方程 的两个根为 ，则 。
若 ，可在实数范围内分解；若 ，则不能（在实数范围内）。
二次项系数不为0时，要先提取二次项系数。
典型例题 2 （2025秋·普陀区期末）如果二次三项式 在实数范围内不能分解因式，那么 的取值范围是（　）
A． 且 B． 且 C． D．
解析： 不能分解 对应方程 无实数根，。 答案：C
☆ 3. 一元二次方程的应用常见模型
增长率问题： 基础量 × (1+增长率) = 最终量。
传播问题： 1轮传染：。
面积问题： 通过平移或分割，将不规则图形转化为规则图形，列方程。
利润问题： 单件利润 × 销量 = 总利润，注意降价与销量的关系。
数字、比赛（单循环）问题： 场次 = （单循环）或 （双循环）。
典型例题 3 （2026·江津区校级二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感。设每轮传染中平均一个人传染 个人，则第三轮传染后共有（　）个人患流感。
A．8 B．9 C．648 D．729
解析： ，第三轮后人数 。 答案：D
☆ 知识总结表
核心概念 公式/方法 注意事项
韦达定理 ， 前提：方程有实数根（）
二次三项式分解 时可分解； 不可分解
增长率问题 注意增长次数，解出 后取正
传播问题 总人数 两轮传染，每轮人均传染数相同
面积问题 通过平移转化为规则图形面积 注意道路宽度、重叠部分处理
利润问题 单件利润 × 销量 = 总利润 降价与销量的线性关系
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】根与系数的关系（第1–14题）
※ 方法总结
已知两根关系求参数：利用韦达定理建立方程（组），注意 验证。
求对称式的值：将目标式用 和 表示，整体代入。
构造新方程：以某两数为根，利用韦达定理逆定理。
1．（2026 南宁二模）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0两个根，则x1x2值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
2．（2026春 萨尔图区校级月考）已知m、n是方程3x2+2x﹣16＝0的两个实数根，则（　　）
A． B．mm＝﹣16
C． D．
3．（2026 让胡路区校级模拟）已知两个实数m，n是关于未知数x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（m+3）（n+3）的最小值是（　　）
A．9 B．13 C．16 D．25
4．（2026春 西湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026春 鹿城区期中）已知α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，则代数式（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）的值为（　　）
A．﹣2025 B．﹣2023 C．1 D．2025
6．（2026 金安区校级二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在
7．（2026 咸宁模拟）设方程x2+x﹣5＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　）
A．﹣4 B．﹣6 C．4 D．6
8．（2026 高邮市二模）若x＝1是一元二次方程x2﹣x﹣3m2+m＝0的一个根，则方程的另一根为　 　 ．
9．（2026 沙依巴克区二模）已知一元二次方程：x2﹣2x﹣8＝0的两个根分别是x1，x2，则的值　 　 ．
10．（2026春 环翠区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0的两个实数根x1，x2．满足x1x2＝16，则a的值为　 　 ．
11．（2026 靖江市一模）设关于x的方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，则代数式的值为　 　 ．
12．（2026 凉州区一模）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，则2m2+4n2﹣4n+2026＝　 　 ．
13．（2025秋 长宁县期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，试求k的值．
14．（2026 淄博模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0．
（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1，x2且满足，求m的值．
【考点2】二次三项式的因式分解（第15–20题）
※ 方法总结
判断能否分解：计算 ，若 则能分解，否则不能。
分解步骤：令对应二次方程 =0 求两根，再写 。
注意：若二次项系数不为1，最后要乘上 。
15．（2025秋 普陀区期末）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2025秋 虹口区校级期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
17．（2026春 南京校级月考）在实数范围内因式分解：3x2﹣2x﹣2＝　 　 ．
18．（2025秋 闵行区校级月考）在实数范围内因式分解：3x2+12xy+11y2＝　 　 ．
19．（2024秋 长宁区校级期中）下列各式在实数范围内不能分解因式的是（　　）
A．3x2﹣6x+1 B．
C．5x2﹣2x+11 D．x2﹣2ax﹣a2
20．（2024秋 崇明区期中）如果关于x的二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且a≠0
【考点3】一元二次方程的应用（第21–31题）
※ 方法总结
审清题意，确定等量关系，设未知数。
增长率、传播问题注意基数和次数；面积问题利用平移简化图形。
利润问题注意“降价—销量—利润”的关系，通常设降价 元。
解方程后要检验根的合理性（正数、符合实际意义）。
21．（2026 江津区校级二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感．
A．8 B．9 C．648 D．729
22．（2026 中山市校级二模）村“BA”是指乡村篮球赛，近年来，村“BA”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（　　）
A．9支 B．10支 C．11支 D．12支
23．（2026春 巴南区期中）近年来，重庆市大力发展人工智能机器人产业，已形成完整的机器人全产业链生态，成为国内机器人产业重要集聚区．2023年全市人工智能机器人产量达8万套，经过两年持续增长，2025年产量达到11.52万套，那么这两年机器人产量的年平均增长率为（　　）
A．12% B．20% C．22% D．44%
24．（2026春 长寿区校级月考）2025年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由2250元/公斤经过连续两次降价后，价格为360元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　）
A．60% B．50% C．40% D．30%
25．（2026 福建模拟）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40m2，求小路的宽度．设小路的宽度为xm，甲、乙两位同学分别得到如下方程：
甲：（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40；
乙：9×2x+16x﹣x2＝40．
其中正确的是（　　）
A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对
C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
26．（2026春 庐阳区校级期中）如图，阳光中学有一块长42m，宽32m的矩形空地，计划在这块空地上铺设道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的面积和为1200m2，则道路的宽度为（　　）
A．2m B．3m C．4m D．5m
27．（2026 涪城区一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　 　 元．
28．（2026春 余姚市校级期中）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有　 　 人．
29．（2025秋 杨浦区期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精　 　 升．
30．（2026 梁溪区二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数．
（1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为　 　 ；
（2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由．
31．（2025秋 西宁期末）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
（2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？
【考点4】创新及压轴题（第32–34题）
※ 方法总结
结合几何图形（矩形、道路、花圃）与方程，注意利用整体面积关系。
赵爽几何解法：将方程 转化为 ，用矩形拼图求解正根。
综合题常涉及不等式、函数最值，需灵活运用判别式和二次函数性质。
32．（2026春 桓台县期中）某小区业委员会决定把长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m．预计划活动区造价60元m2，绿化区造价50元m2．设绿化区域较长直角边为xm．
（1）用含x的代数式表示出口区的宽度为　 　 m，绿化区总造价为　 　 元，活动区总造价为　 　 元；
（2）如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能．请说明理由？
（3）业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2．
33．（2025秋 桃源县期末）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？
34．（2025秋 青岛校级月考）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．
【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144．∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程x2+3x﹣4＝0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整；
第一步：将原方程x2+3x＝4变形为x（　 　 ）＝4；
第二步：利用四个长为　 　 ，宽为　 　 （用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
第三步：方程的一个正根为　 　 ．
【拓展应用】：一般地对于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数a＝　 　 ，b＝　 　 ．求得方程的一个正根为　 　 ．
随堂检测 · 精选练习
练习1 根与系数的关系 练习2 二次三项式因式分解 练习3 增长率问题
练习4 面积问题 练习5 利润问题
【练习1】（2026春 临安区期中）已知关于x的方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则以x1+x2，x1x2为两根的一元二次方程是（　　）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．x2﹣3x+2＝0
【练习2】（2025秋 普陀区校级月考）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣1，下列选项中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【练习3】（2026春 衢江区期中）某钢铁厂计划今年第一季度1月的总产量为500吨，3月的总产量为720吨，假设平均每月的增长率相同．则第一季度平均每月的增长率为　 　 ．
【练习4】（2026春 兴庆区校级期中）如图，在一块长AB＝14m、宽BC＝10m的长方形场地ABCD上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为125m2，那么小路的宽度为　 　 m．
【练习5】（2026春 庐阳区校级期中）合肥某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出50件，每件盈利60元．在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出15件．
（1）降价5元后，每件童装盈利是　 　 元，每周销售量是　 　 件；
（2）要想每周销售这种童装盈利4000元，那么每件童装应降价多少元？
（3）每周的盈利能达到5000元吗？请说明理由．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 根与系数的关系（求值） 作业2 二次三项式因式分解 作业3 增长率问题
作业4 传播问题 作业5 面积问题 作业6 单循环赛问题 作业7 几何解法（赵爽）
作业8 面积问题（矩形边框） 作业9 增长率+利润 作业10 增长率+利润
复习建议
韦达定理是工具： 灵活运用整体代入，将条件转化为两根和与积的关系，注意 的验证。
因式分解与判别式： 牢记二次三项式分解的条件，能快速判断能否分解，并准确写出分解式。
应用题要建模： 仔细读题，抓住“等量关系”，设未知数，列方程，特别关注“单位”“范围”检验。
面积问题巧平移： 利用平移将小路、边框等转化为规则图形，简化计算。
【作业1】（2025秋 东丽区校级期末）已知方程x2﹣3x+2＝0的两个解为x1，x2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【作业2】（2024秋 杨浦区校级月考）将二次三项式2x2y2﹣3xy﹣1在实数范围内分解因式，正确的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【作业3】（2026春 渝中区校级期中）某社区在过年期间开展“传递温暖”活动，已知第一年有100人参与，第三年有121人参与，那么该小区这两年参与人数的平均增长率为（　　）
A．20% B．10% C．21% D．42%
【作业4】（2025春 哈尔滨校级期中）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有169人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（　　）个人．
A．11 B．12 C．13 D．14
【作业5】（2025秋 丹东校级月考）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为384m2，则电动车车棚的长（BC）为（　　）
A．48m B．24m C．20m D．16m
【作业6】（2025秋 河东区校级月考）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【作业7】（2025秋 平武县期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　 　 ．
【作业8】（2026 遂宁一模）四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长80cm，宽60cm的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是6300cm2的矩形挂图．那么边框的宽度为　 　 cm．
【作业9】（2026 利津县一模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【作业10】（2026春 台州期中）随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备．
（1）某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率．
（2）某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价．
第1页（共1页）专题21.3 一元二次方程的应用（精讲+典例+创新题+练习）
高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能灵活运用求对称式的值。
理解二次三项式在实数范围内因式分解的方法，掌握判别式与分解的关系。
能正确列出一元二次方程解决实际问题（增长率、传染、面积、利润等）。
能结合几何图形与方程建模，解决综合应用题。
体会“整体代入”“转化建模”等数学思想。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
若 （）的两个根为 ，则 ，。
常见对称式：；。
利用韦达定理可构造方程、求参数、求对称式的值。
典型例题 1 （2026·南宁二模）， 是关于 的一元二次方程 两个根，则 值为（　）
A．5 B． 5 C．2 D． 2
解析： 由韦达定理，。 答案：B
☆ 2. 二次三项式在实数范围内的因式分解
对于二次三项式 ，若对应方程 的两个根为 ，则 。
若 ，可在实数范围内分解；若 ，则不能（在实数范围内）。
二次项系数不为0时，要先提取二次项系数。
典型例题 2 （2025秋·普陀区期末）如果二次三项式 在实数范围内不能分解因式，那么 的取值范围是（　）
A． 且 B． 且 C． D．
解析： 不能分解 对应方程 无实数根，。 答案：C
☆ 3. 一元二次方程的应用常见模型
增长率问题： 基础量 × (1+增长率) = 最终量。
传播问题： 1轮传染：。
面积问题： 通过平移或分割，将不规则图形转化为规则图形，列方程。
利润问题： 单件利润 × 销量 = 总利润，注意降价与销量的关系。
数字、比赛（单循环）问题： 场次 = （单循环）或 （双循环）。
典型例题 3 （2026·江津区校级二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感。设每轮传染中平均一个人传染 个人，则第三轮传染后共有（　）个人患流感。
A．8 B．9 C．648 D．729
解析： ，第三轮后人数 。 答案：D
☆ 知识总结表
核心概念 公式/方法 注意事项
韦达定理 ， 前提：方程有实数根（）
二次三项式分解 时可分解； 不可分解
增长率问题 注意增长次数，解出 后取正
传播问题 总人数 两轮传染，每轮人均传染数相同
面积问题 通过平移转化为规则图形面积 注意道路宽度、重叠部分处理
利润问题 单件利润 × 销量 = 总利润 降价与销量的线性关系
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】根与系数的关系（第1–14题）
※ 方法总结
已知两根关系求参数：利用韦达定理建立方程（组），注意 验证。
求对称式的值：将目标式用 和 表示，整体代入。
构造新方程：以某两数为根，利用韦达定理逆定理。
1．（2026 南宁二模）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0两个根，则x1x2值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0两个根，
所以x1x2＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
2．（2026春 萨尔图区校级月考）已知m、n是方程3x2+2x﹣16＝0的两个实数根，则（　　）
A． B．mm＝﹣16
C． D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为m、n是方程3x2+2x﹣16＝0的两个实数根，
则m+n，mn，
所以m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，mn2+m2n＝mn（m+n），
显然只有D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
3．（2026 让胡路区校级模拟）已知两个实数m，n是关于未知数x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两个实数根，则（m+3）（n+3）的最小值是（　　）
A．9 B．13 C．16 D．25
【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ≥0，可得出关于t的一元一次不等式，解之即可得出t的取值范围，利用根与系数的关系，可得出m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，将其代入（m+3）（n+3）中，可得出（m+3）（n+3）关于t的二次函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0，
∴t≥2．
∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，
∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，
∴（m+3）（n+3）＝mn+3（m+n）+9＝t2﹣2t+4+3×2t+9＝t2+4t+13＝（t+2）2+9．
∵1＞0，且t≥2，
∴当t＝2时，（m+3）（n+3）取得最小值，最小值为（2+2）2+9＝25．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的最值，利用根与系数的关系，找出（m+3）（n+3）关于t的二次函数关系式是解题的关键．
4．（2026春 西湖区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根与系数的关系得a+b＝5，ab＝﹣6，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两根分别为a，b，
∴a+b＝5，ab＝﹣6，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
5．（2026春 鹿城区期中）已知α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，则代数式（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）的值为（　　）
A．﹣2025 B．﹣2023 C．1 D．2025
【分析】由α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，可求出α2+2025α＝﹣1，β2+2025β＝﹣1，α+β＝﹣2025，αβ＝1，再将代数式（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）化简成αβ+（α+β）+1，即可求出原式的值．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，
∴α2+2025α+1＝0，β2+2025β+1＝0，α+β＝﹣2025，αβ＝1，
∴α2+2025α＝﹣1，β2+2025β＝﹣1，
∴代数式（α2+2026α+2）（β2+2026β+2）
＝（﹣1+α+2）（﹣1+β+2）
＝（α+1）（β+1）
＝αβ+（α+β）+1
＝1﹣2025+1
＝﹣2023．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及方程解的意义相关知识，掌握根与系数的关系、代数式的正确变形及运用整体思想求值是解题的关键．
6．（2026 金安区校级二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，
所以x1+x2＝m+3，x1x2＝2m+1．
因为，
则，
所以（m+3）2﹣2（2m+1）＝10，
解得m＝1或﹣3．
当m＝1时，方程为x2﹣4x+3＝0，
则Δ＝（﹣4）2﹣4×3＝4＞0，
所以m＝1符合题意；
当m＝﹣3时，方程为x2﹣5＝0，
则Δ＝02﹣4×（﹣5）＝20＞0，
所以m＝﹣3符合题意，
综上所述，m的值为1或﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．（2026 咸宁模拟）设方程x2+x﹣5＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　　）
A．﹣4 B．﹣6 C．4 D．6
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得α+β＝﹣1，αβ＝﹣5，代入计算即可得．
【解答】解：由题意得：α+β＝﹣1，αβ＝﹣5，
∴α+β﹣αβ＝﹣1﹣（﹣5）＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若它的两个实数根为x1，x2，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
8．（2026 高邮市二模）若x＝1是一元二次方程x2﹣x﹣3m2+m＝0的一个根，则方程的另一根为　0　 ．
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【解答】解：设方程另一个根为x＝t，根据题意得t+1＝1，
∴t＝0，
则方程的另一个根是0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
9．（2026 沙依巴克区二模）已知一元二次方程：x2﹣2x﹣8＝0的两个根分别是x1，x2，则的值　﹣16　 ．
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣8，再利用因式分解把变形为x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个根分别是x1和x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣8，
∴x1x2（x1+x2）＝﹣8×2＝﹣16．
故答案为：﹣16．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
10．（2026春 环翠区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0的两个实数根x1，x2．满足x1x2＝16，则a的值为　﹣1　 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，由x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，结合x1x2＝16，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4×1×（a2﹣a﹣2）＞0，
∴a＜3．
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∴x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
即[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
整理得：a2﹣5a﹣6＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝6（不合题意，舍去）．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合x1x2＝16，找出关于a的一元二次方程是解题的关键．
11．（2026 靖江市一模）设关于x的方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，则代数式的值为　2027　 ．
【分析】依据题意，由方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，则，x1+x2＝2026，进而代入变形计算可以得解．
【解答】解：∵x1是方程x2﹣2026x﹣1＝0的根，
∴，
∴．
∴x1+1+x2＝（x1+x2）+1．
∵方程x2﹣2026x﹣1＝0的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝2026．
∴（x1+x2）+1＝2026+1＝2027．
故答案为：2027．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
12．（2026 凉州区一模）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，则2m2+4n2﹣4n+2026＝　2040　 ．
【分析】结合题意得m、n是方程x2﹣2x＝1的两不等实数根，由根与系数的关系得m+n＝2，mn＝﹣1，再根据2m2+4n2﹣4n+2026＝2[（m+n）2﹣2mn]+2（n2﹣2n）+2026即可得解．
【解答】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，
∴m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴，，
∴2m2+4n2﹣4n+2026
＝2（m2+n2）+2（n2﹣2n）+2026，
＝2[（m+n）2﹣2mn]+2（n2﹣2n）+2026，
＝2[22﹣2×（﹣1）]+2×1+2026，
＝2×6+2+2026，
＝2040．
故答案为：2040．
【点评】本题考查了根与系数的关系，整式的加减，解题关键是结合根与系数的关系得出m+n、mn的值．
13．（2025秋 长宁县期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，试求k的值．
【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到Δ≥0，由此可求k的取值范围；
（2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k．
【解答】解：（1）方程x2+3x+k﹣3＝0中，
a＝1，b＝3，c＝k﹣3，
由题意可知：Δ＝32﹣4（k﹣3）≥0，
解得：；
（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，
∴，即，
∵，
∴﹣3x1﹣k+3+2x1+x2+k＝4，即：x2﹣x1＝1①．
∵②，
联立①②解得：，
∴（﹣2）×（﹣1）＝k﹣3，
解得：k＝5．
【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键．
14．（2026 淄博模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0．
（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为x1，x2且满足，求m的值．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，只要证明Δ＞0恒成立即可．
（2）因为，所以由根与系数的关系可得，解方程可得m的值．
【解答】（1）证明：Δ＝（4m+1）2﹣4（2m﹣1）＝16m2+5＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由根与系数的关系，得x1+x2＝﹣4m﹣1，x1x2＝2m﹣1，
∵，即，
∴①，
解得 m，
经检验得出m是方程①的根，
即m的值为．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式Δ的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．
【考点2】二次三项式的因式分解（第15–20题）
※ 方法总结
判断能否分解：计算 ，若 则能分解，否则不能。
分解步骤：令对应二次方程 =0 求两根，再写 。
注意：若二次项系数不为1，最后要乘上 。
15．（2025秋 普陀区期末）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解．
【解答】解：由条件可知方程ax2+3x+4＝0无实数根，
∴根的判别式Δ＝32﹣4 a 4＝9﹣16a＜0，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键．
16．（2025秋 虹口区校级期中）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先把y看出已知数求出关于x的方程2x2﹣8xy+5y2＝0的解，再分解因式即可．
【解答】解：2x2﹣8xy+5y2＝0，
Δ＝64y2﹣4×2×5y2＝24y2，
则x，
所以2x2﹣8xy+5y2＝2（xy）（xy），
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程和在实数内分解因式，能求出方程2x2﹣8xy+5y2＝0的解是解此题的关键．
17．（2026春 南京校级月考）在实数范围内因式分解：3x2﹣2x﹣2＝　3　 ．
【分析】令3x2﹣2x﹣2＝0，求出方程的两个根即可得到答案．
【解答】解：在实数范围内因式分解：令3x2﹣2x﹣2＝0，
解得或
∴3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，正确进行计算是解题关键．
18．（2025秋 闵行区校级月考）在实数范围内因式分解：3x2+12xy+11y2＝　　 ．
【分析】先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．
19．（2024秋 长宁区校级期中）下列各式在实数范围内不能分解因式的是（　　）
A．3x2﹣6x+1 B．
C．5x2﹣2x+11 D．x2﹣2ax﹣a2
【分析】将选项中的代数式配方，然后利用平方差公式分解求解判断即可．
【解答】解：根据分解因式的定义逐项分解因式进行判断如下：
A．3x2﹣6x+1
＝3（x2﹣2x）+1
＝3（x﹣1）2﹣3+1
＝3（x﹣1）2﹣2
，
∴不符合题意；
B．
，
∴不符合题意；
C．5x2﹣2x+11
，
∴不能继续分解，故符合题意；
D．x2﹣2ax﹣a2
＝x2﹣2ax+a2﹣2a2
，
∴不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
20．（2024秋 崇明区期中）如果关于x的二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．且a≠0
【分析】因二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，所以ax2+3x+4＝0有实数根，据此求解即可．
【解答】解：∵二次三项式ax2+3x+4在实数范围内能分解因式，
∴ax2+3x+4＝0有实数根，
∴Δ＝9﹣16a≥0，a≠0，
∴且a≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0．
【考点3】一元二次方程的应用（第21–31题）
※ 方法总结
审清题意，确定等量关系，设未知数。
增长率、传播问题注意基数和次数；面积问题利用平移简化图形。
利润问题注意“降价—销量—利润”的关系，通常设降价 元。
解方程后要检验根的合理性（正数、符合实际意义）。
21．（2026 江津区校级二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（　　）个人患流感．
A．8 B．9 C．648 D．729
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据“有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝81，
整理得：（x+1）2＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10 （不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了8人，
∴经过三轮传染后患流感的人数为81（1+x）＝81×（1+8）＝729．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（2026 中山市校级二模）村“BA”是指乡村篮球赛，近年来，村“BA”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（　　）
A．9支 B．10支 C．11支 D．12支
【分析】设参加比赛的球队有x支，比赛场次共有x（x﹣1）场，根据每两支球队之间进行两场比赛，整个小组赛阶段共比赛110场，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设参加比赛的球队有x支，
依题意得，x（x﹣1）＝110，
整理得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），
∴共有11支球队参加比赛．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（2026春 巴南区期中）近年来，重庆市大力发展人工智能机器人产业，已形成完整的机器人全产业链生态，成为国内机器人产业重要集聚区．2023年全市人工智能机器人产量达8万套，经过两年持续增长，2025年产量达到11.52万套，那么这两年机器人产量的年平均增长率为（　　）
A．12% B．20% C．22% D．44%
【分析】根据增长规律列一元二次方程求解，舍去不符合题意的根即可得到结果．
【解答】解：设这两年机器人产量的年平均增长率为x，根据题意可得：
8（1+x）2＝11.52，
方程两边同除以8得 （1+x）2＝1.44，
开平方得 1+x＝±1.2，
∵增长率为正数，舍去负根，
∴1+x＝1.2，解得x＝0.2＝20%，
即年平均增长率为20%．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握该知识点是关键．
24．（2026春 长寿区校级月考）2025年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由2250元/公斤经过连续两次降价后，价格为360元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　）
A．60% B．50% C．40% D．30%
【分析】设每次降价的百分率为x，利用碳纤维经过两次降价后的价格＝碳纤维的原价×（1﹣每次降价的百分率）2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
根据题意得：2250（1﹣x）2＝360，
解得：x1＝0.6＝60%，x2＝1.4（不符合题意，舍去），
即每次降价的百分率为60%，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2026 福建模拟）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40m2，求小路的宽度．设小路的宽度为xm，甲、乙两位同学分别得到如下方程：
甲：（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40；
乙：9×2x+16x﹣x2＝40．
其中正确的是（　　）
A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对
C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
【分析】把各部分的面积用含x的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程．
【解答】解：由已知条件可知：种植花草的面积为（16×9﹣40）m2，
从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m，
∴矩形的面积为（16﹣2x）（9﹣x）m2，
∴可列方程（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40，
∴甲列的方程正确；
∵两条竖着的小路的长为9m，宽为xm，
∴两条竖着的小路的面积为9×2xm2，
∵横着的小路的长度为16m，宽为xm，
∴横着的小路的面积为16xm2，
三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为xm的正方形，
∴重叠部分的面积为2x2m2，
∴小路的面积可表示为（9×2x+16x﹣2x2）m2，
∴可列方程为9×2x+16x﹣2x2＝40，
∴乙列的方程错误；
综上所述，甲对、乙不对．
故选：A．
【点评】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解决本题的关键是找出图形中面积之间的相等关系．
26．（2026春 庐阳区校级期中）如图，阳光中学有一块长42m，宽32m的矩形空地，计划在这块空地上铺设道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的面积和为1200m2，则道路的宽度为（　　）
A．2m B．3m C．4m D．5m
【分析】设道路的宽为x米，根据要使铺设草坪的面积和为1200m2，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设道路的宽为x米，
由题意列一元二次方程得，（32﹣x）（42﹣x）＝1200，
解得x＝2或x＝72（不符合题意，舍去）；
故道路的宽为2m，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
27．（2026 涪城区一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 　54　 元．
【分析】设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件，根据进价为每千克40元，平均每天获利2240元，列出一元二次方程，解方程，取最小值即可．
【解答】解：设每千克这种商品应定价为x元，则降价（60﹣x）元，平均每天的销售量增加10（60﹣x）件，
由题意得：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
整理得：x2﹣110x+3024＝0，
解得：x1＝54，x2＝56，
∵要使销量尽可能大，
∴x＝54，
故答案为：54．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28．（2026春 余姚市校级期中）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有　9　 人．
【分析】设这个数学小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组一共送了72张贺卡，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这个数学小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去），
即这个数学小组共有9人，
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．（2025秋 杨浦区期末）容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精　10　 升．
【分析】设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下60升，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液（x+14）升，
根据题意得： [60﹣（x+14）]＝60，
整理得：x2﹣106x+960＝0，
解得：x1＝10，x2＝96（不符合题意，舍去），
即第一次倒出了酒精10升．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．（2026 梁溪区二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数．
（1）当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为　123　 ；
（2）小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由．
【分析】（1）依据题意，要使框出数的总和的最大，结合10月最大日期为 31，从而纵向三连数最大为：17，24，31，又小明与小亮的框有一个数相同，且分别用横着、竖着，可得横着三连数为：24，25，26，进而可以得解；
（2）依据题意，设两人框的中间相同的数为x，则可得方程（x﹣1）（x﹣7）＝112，即x2﹣8x﹣105＝0，进而x1＝﹣7（负数舍去），x2＝15，结合15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，从而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，要使框出数的总和的最大，
∵10 月最大日期为 31，
∴纵向三连数最大为：17，24，31，
又∵小明与小亮的框有一个数相同，且分别用横着、竖着，
∴横着三连数为：24，25，26，
∴总和的最大值为：17+24+31+25+26＝123．
故答案为：123；
（2）小亮的说法是正确的．理由：
设两人框的中间相同的数为x，
则可得方程（x﹣1）（x﹣7）＝112，即x2﹣8x﹣105＝0，
∴x1＝﹣7（负数舍去），x2＝15．
∵15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，
∴不符合题意舍去．
∴小亮说法正确．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键．
31．（2025秋 西宁期末）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
（2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？
【分析】（1）设日平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每个玩偶降价y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设日平均增长率为x，
由题意列一元二次方程得：200（1+x）2＝338，
整理得，200x2+400x﹣138＝0，
解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍），
答：日平均增长率为30%；
（2）设每个玩偶降价y元，
由题意列一元二次方程得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940，
解得y1＝2，y2＝﹣46（舍），
答：每个玩偶降价2元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点4】创新及压轴题（第32–34题）
※ 方法总结
结合几何图形（矩形、道路、花圃）与方程，注意利用整体面积关系。
赵爽几何解法：将方程 转化为 ，用矩形拼图求解正根。
综合题常涉及不等式、函数最值，需灵活运用判别式和二次函数性质。
32．（2026春 桓台县期中）某小区业委员会决定把长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场．如图四块绿化为全等的直角三角形，空白区域为活动区且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m．预计划活动区造价60元m2，绿化区造价50元m2．设绿化区域较长直角边为xm．
（1）用含x的代数式表示出口区的宽度为　（80﹣2x）　 m，绿化区总造价为　100x（x﹣10）　 元，活动区总造价为　60[80×60﹣2x（x﹣10）]　 元；
（2）如果业委员投资28.4万元，能否完成全部工程．若能，请写出x为正整数的所有工程案；若不能．请说明理由？
（3）业委员决定在（2）设计方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化．在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2．
【分析】（1）根据图形可得结论；
（2）根据面积×造价可得绿化区和活动区的费用，相加可得y与x的关系式，根据所有长度都是非负数列不等式组可得x的取值范围，业主委员会投资28.4万元，列不等式，结合二次函数的增减性可得结论；
（3）先计算设计的方案中，最省钱的一种方案为x＝22时，计算绿化面积，根据题意列分式方程可得结论，注意方程要检验．
【解答】解：（1）由题意可得，出口的宽度为（80﹣2x）cm；绿化区总造价为100x（x﹣10）元，活动区总造价为60[80×60﹣2x（x﹣10）]元，
故答案为：（80﹣2x），100x（x﹣10），60[80×60﹣2x（x﹣10）]；
（2）设工程队总造价y元，
由题意可得，BC＝EF＝80﹣2x，∴AB＝CDx﹣10，
y＝50×4x（x﹣10）+60×[60×80﹣4x（x﹣10）]＝﹣20x2+200x+288000，
∵36≤80﹣2x≤44，
∴18≤x≤22，
∴﹣20x2+200x+288000≤284000，
x2﹣10x﹣200≥0，
设m＝x2﹣10x﹣200＝（x﹣5）2﹣225，
当m＝0时，x2﹣10x﹣200＝0，x＝20或﹣10，
∴当m≥0时，x≤﹣10或x≥20，
∴20≤x≤22，
所以业主委员会投资28.4万元，能完成全部工程，
所有工程方案如下：①较长直角边为20m，短直角边为10m，出口宽度为40m；
②较长直角边为21m，短直角边为11m，出口宽度为38m；
③较长直角边为22m，短直角边为12m，出口宽度为36m；
（3）y＝﹣20x2+200x+288000＝﹣20（x﹣5）2+288500，
在20≤x≤22中y随x的增大而减小，
∴当x＝22时，y有最小值，
绿化面积＝4××22×（22﹣10）＝528，
设原计划每天绿化xm2，则在实际施工中，每天绿化（x+11）m2，
则4，
解得：x＝33或﹣44（舍），
经检验x＝33是原方程的解，
答：原计划每天绿化33m2．
【点评】本题是有关几何图形的应用问题，考查了一元一次不等式、分式方程、二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．
33．（2025秋 桃源县期末）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？
【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；
（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；
（3）根据方程有两个相等的实数根求得a的值，然后分别求得花圃和甬道的面积及造价即可．
【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（100﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣320a+6000；
（2）由已知可列式：100×60﹣（100﹣2a）（60﹣2a）100×60，
解得：a1＝5，a2＝75（舍去），所以通道的宽为5米；
（3）∵方程x2﹣ax+25 a﹣150＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝a2﹣25a+150＝0，解得：a1＝10，a2＝15，
∵5≤a≤12，
∴a＝10．
设修建的花圃的造价为y元，y＝55.625S；
当a＝10时，S花圃＝80×40＝3200（m2）；y花圃＝3200×55.625＝178000（元），
S通道＝100×60﹣80×40＝2800（m2）；y通道＝2800×50＝140000（元），
造价和：178000+140000＝318000（元）．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽，属于中档题，难度不算大．
34．（2025秋 青岛校级月考）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．
【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144．∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程x2+3x﹣4＝0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整；
第一步：将原方程x2+3x＝4变形为x（　（x+3）　 ）＝4；
第二步：利用四个长为　（x+3）　 ，宽为x （用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
第三步：方程的一个正根为x＝1　 ．
【拓展应用】：一般地对于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数a＝　±4　 ，b＝　5　 ．求得方程的一个正根为　1或5　 ．
【分析】[类比迁移]仿造[学习研究]，根据赵爽的办法解答即可；
[拓展应用]根据题意把x2+ax＝b，变形为x（x+a）＝b，根据图2由4个面积为20的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，即可得到答案．
【解答】解：[类比迁移]小明根据赵爽的办法解方程x2+3x﹣4＝0，
第一步：将原方程变形为x2+3x＝4，即x（x+3）＝4；
第二步：利用四个面积可用x表示为长为x+3，宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形，
画四个长为x+3，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+3）2，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即4x（x+3）+32＝4×4+9，因此，可得新方程：（x+x+3）2＝25，
∵x表示边长，
∴2x+3＝5，即x＝1，
第三步：方程的一个正根为x＝1；
故答案为：x+3；x+3，x，图形及解答过程见解析；x＝1；
【拓展应用】：一般地对于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．则：
∵x2+ax＝b，
∴x（x+a）＝b，
∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×b+a2，
∵图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为42＝16，
∴b＝5，a2＝16，
解得：a＝±4，b＝5，
当a＝4时，（x+x+4）2＝4×5+16，2x+4＝6，x＝1，方程的一个正根为1；
当a＝﹣4时，（x+x﹣4）2＝4×5+16，2x﹣4＝6，x＝5，方程的一个正根为5．
故答案为：±4，5，1或5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数a，b与各图形面积的关系是解题的关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1 根与系数的关系 练习2 二次三项式因式分解 练习3 增长率问题
练习4 面积问题 练习5 利润问题
【练习1】（2026春 临安区期中）已知关于x的方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则以x1+x2，x1x2为两根的一元二次方程是（　　）
A．x2+5x+6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2+2x﹣3＝0 D．x2﹣3x+2＝0
【分析】根据根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3，
∴以﹣2，﹣3为两根的一元二次方程的两根之和为﹣5，两根之积为6，
∴该一元二次方程为x2+5x+6＝0，
故选：A．
【点评】本题考查的是根与系数的关系，关键是掌握即x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立．
【练习2】（2025秋 普陀区校级月考）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣1，下列选项中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式．
【解答】解：∵对于x2﹣2x﹣1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴根为，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的求根公式；熟练掌握该知识点是关键．
【练习3】（2026春 衢江区期中）某钢铁厂计划今年第一季度1月的总产量为500吨，3月的总产量为720吨，假设平均每月的增长率相同．则第一季度平均每月的增长率为　20%　 ．
【分析】设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论》
【解答】解：设第一季度平均每月的增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
即第一季度平均每月的增长率为20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【练习4】（2026春 兴庆区校级期中）如图，在一块长AB＝14m、宽BC＝10m的长方形场地ABCD上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为125m2，那么小路的宽度为　1.5　 m．
【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设小路的宽度为xm，
利用平移的性质，将阴影部分向左平移xm拼成了一个如图所示的长方形EFCB，
∴由劳动实践基地的面积为125m2可得10（14﹣x）＝125，
解得x＝1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是关键．
【练习5】（2026春 庐阳区校级期中）合肥某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出50件，每件盈利60元．在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出15件．
（1）降价5元后，每件童装盈利是　55　 元，每周销售量是　65　 件；
（2）要想每周销售这种童装盈利4000元，那么每件童装应降价多少元？
（3）每周的盈利能达到5000元吗？请说明理由．
【分析】（1）由题意分别列式计算即可；
（2）设每件童装应降价x元，根据每周销售这种童装盈利4000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设每件童装降价a元，根据每周的盈利能达到5000元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：降价5元后，每件童装盈利是60﹣5＝55（元），每周销售量是50+15＝65（件），
故答案为：55，65；
（2）设每件童装应降价x元，
根据题意得：，
整理得：3x2﹣130x+1000＝0，
解得：x1＝10，x2＝33（不合题意，舍去），
答：每件童装应降价10元；
（3）每周的盈利不能达到5000元，理由如下：
设每件童装降价a元，
根据题意得：，
整理得：3a2﹣130a+2000＝0，
∵Δ＝（﹣130）2﹣4×3×2000＝﹣7100＜0，
∴此方程无解，
∴每周盈利不能达到5000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 根与系数的关系（求值） 作业2 二次三项式因式分解 作业3 增长率问题
作业4 传播问题 作业5 面积问题 作业6 单循环赛问题 作业7 几何解法（赵爽）
作业8 面积问题（矩形边框） 作业9 增长率+利润 作业10 增长率+利润
复习建议
韦达定理是工具： 灵活运用整体代入，将条件转化为两根和与积的关系，注意 的验证。
因式分解与判别式： 牢记二次三项式分解的条件，能快速判断能否分解，并准确写出分解式。
应用题要建模： 仔细读题，抓住“等量关系”，设未知数，列方程，特别关注“单位”“范围”检验。
面积问题巧平移： 利用平移将小路、边框等转化为规则图形，简化计算。
【作业1】（2025秋 东丽区校级期末）已知方程x2﹣3x+2＝0的两个解为x1，x2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】通过因式分解求出方程的两个根，然后代入表达式计算即可．
【解答】解：因式分解求出方程的两个根可得：
方程可因式分解为（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x1＝1，x2＝2，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次方程、代数式求值，熟练掌握以上知识点是关键．
【作业2】（2024秋 杨浦区校级月考）将二次三项式2x2y2﹣3xy﹣1在实数范围内分解因式，正确的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用换元法分解因式，令2x2y2﹣3xy﹣1＝0，设t＝xy，则方程变为2t2﹣3t﹣1＝0，解得t值后还原即可得到结果．
【解答】解：令2x2y2﹣3xy﹣1＝0，设t＝xy，则方程变为2t2﹣3t﹣1＝0，
解得：t1，t2，
所以原式＝2（t）（t）＝2（xy）（xy）
故选：D．
【点评】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
【作业3】（2026春 渝中区校级期中）某社区在过年期间开展“传递温暖”活动，已知第一年有100人参与，第三年有121人参与，那么该小区这两年参与人数的平均增长率为（　　）
A．20% B．10% C．21% D．42%
【分析】设该小区这两年参与人数的平均增长率为x，根据第一年有100人参与，第三年有121人参与，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设该小区这两年参与人数的平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
即该小区这两年参与人数的平均增长率为10%，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【作业4】（2025春 哈尔滨校级期中）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有169人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（　　）个人．
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（x+1）＝169，解方程即可求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，有一人患了流感，经过两轮传染后，共有169人患了流感，依题意得：
1+x+x（x+1）＝169，
即（1+x）2＝169，
解方程得x1＝12，x2＝﹣14（舍去），
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，从实际问题中抽象出方程模型，设出未知数，找出等量关系，列方程．
【作业5】（2025秋 丹东校级月考）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为384m2，则电动车车棚的长（BC）为（　　）
A．48m B．24m C．20m D．16m
【分析】设电动车车棚的宽AB为xm，则车棚的长BC＝（72﹣3x）m，根据车棚占地面积为384m2，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可．
【解答】解：设电动车车棚的宽AB为xm，则车棚的长BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝（72﹣3x）m，
由题意得：x（72﹣3x）＝384，
整理得：x2﹣24x+128＝0，
解得：x1＝16，x2＝8，
当x2＝8时，72﹣3x＝72﹣3×8＝48＞45，不符合题意，舍去，
∴72﹣3x＝72﹣3×16＝24（m），
答：电动车车棚的长（BC）为24m．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业6】（2025秋 河东区校级月考）九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设九年级共有n个班，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：设九年级共有n个班．
根据题意得，，
整理得，n2﹣n﹣56＝0，
解得n1＝8或n2＝﹣7（不符合题意，舍去），
∴n＝8．
∴九年级共有8个班．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，求解时注意舍去负根，符合实际意义．
【作业7】（2025秋 平武县期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　5　 ．
【分析】设矩形的宽为x，长为x+a，根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，列出一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设矩形的宽为x，长为x+a，
∵大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，
∴（2x+a）2＝144，（x+a﹣x）2＝4，
∴2x+a＝12（负值已舍去），a＝2（负值已舍去），
∴x＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【作业8】（2026 遂宁一模）四川省优秀非遗工坊——妙善观音绣工坊以针为笔、以线为墨将遂宁民俗文化不断创新和传承．如图要在一幅长80cm，宽60cm的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是6300cm2的矩形挂图．那么边框的宽度为　5　 cm．
【分析】设边框的宽为xcm，由题意列出方程（80+2x）（60+2x）＝6300，然后解方程并检验即可．
【解答】解：设边框的宽为xcm，
由题意列一元二次方程得：（80+2x）（60+2x）＝6300，
解得x1＝5，x2＝﹣75（不符合题意，舍去）
∴x的值是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了用一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
【作业9】（2026 利津县一模）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
根据题意得：32（1+x）2＝50，
解得：x1＝﹣2.25（不符合题意，舍去），x2＝0.25＝25%，
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，
∵1600×100＝160000＜240000元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
根据题意得：，
整理得：m2﹣500m+60000＝0，
解得：m1＝300，m2＝200，
当m＝300时，售价（不符合题意，舍去）；
当m＝200时，售价＝160040＝1200＞1000，符合题意；
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【作业10】（2026春 台州期中）随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备．
（1）某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率．
（2）某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价．
【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，根据某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人机的售价为（2.5﹣a）元，根据该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，
由题意得：3（1+x）2＝4.32，
解得：x1＝0.2＝20%，×2＝﹣1.4（不合题意，舍去），
答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为20%；
（2）设每架无人机的价格下调a万元，则下调后每架无人机的售价为（2.5﹣a）元，
由题意得：，
整理得：4a2+12a﹣7＝0，
解得：a1＝0.5，a2＝﹣3.5（不合题意，舍去），
∴2.5﹣0.5＝2，
答：下调后每架无人机的售价为2万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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