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2026年广西壮族自治区柳州市柳东中学、柳州市林中学 九年级教学实验研究质量监测 数学
1．2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
3．班会课上，小明给大家分享“节约第一，合理消费”的主题故事，并调查了五名同学一周的零花钱使用情况，分别为，，，，（单位：元）．这组数据的众数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排序后为：，，，，在这组数据中，一共出现次，是所有数里出现次数最多的数，因此这组数据的众数为。
故选：B．
【分析】本题主要考查众数的定义，解题的核心在于掌握“一组数据中，出现次数最多的数值就是这组数据的众数”这一概念，只需要整理数据，统计每个数出现的次数，再结合定义就能得到结果。
4．如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：结合图示可知，这是U型磁铁，从该物体的左侧进行观察，得到的左视图和选项B一致。
故答案为：B.
【分析】根据左视图的定义可知，U型磁铁从左侧看，整体是一个长方形，中间被遮挡的部分用虚线表示。
5．一种盐水，盐与水的比是，如果再向其中加入含盐的盐水若干，那么含盐率将（ ）
A．不变 B．下降 C．升高 D．无法确定
【答案】C
【知识点】百分数的实际应用；比的应用
【解析】【解答】解：∵原来盐水中盐与水的比为，可设盐为份，水为份，盐水总质量为份，
∴原来盐水的含盐率为，
∵加入的盐水含盐率为，且，
∴加入后整体盐水的含盐率将升高．
故选：C.
【分析】根据盐和水的比例求出原来盐水的含盐率，再将其与加入盐水的含盐率比较大小，即可得出答案.
6．如图，在中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：B ．
【分析】根据正切的定义列式进行计算，即可得出答案．
7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a﹣1（a为常数，且a≠0）的图像一定经过的点是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1）
C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
当，即时，，
∴一次函数（a为常数，且a≠0）的图像一定经过的点是．
故答案为：C．
【分析】将一次函数解析式变形为y＝a（x+1）﹣1，代入x+1＝0可求出y值，此题得解．
8．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，故选：C．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
9．若，是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：是方程的两个根，
，．
故选∶ A．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得.
10．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A．， 能用平方差公式分解因式 ，故A不符合题意；
B．， 能用平方差公式分解因式 ，故B不符合题意；
C．，不符合平方差公式的特点，故C符合题意；
D．，能用平方差公式分解因式 ，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平方差公式的结构特征，逐项进行判断，即可得出答案．
11．某校组织少先队员进行登山活动，他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进，，直达山顶．下面给出的四幅图中，可以近似地刻画登山路程s（千米）与时间t（小时）之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进，
∴在函数图象中有一段是路程不变的，而时间在增加，
又∵，
∴在函数图象中，休息前的一段比休息后的要更陡一些，
故选：A．
【分析】登山路程随着时间的增多不断增多，根据速度的变化得出随着时间的变化，路程的函数图象也将表现为：陡，平，缓，据此逐项进行判断，即可得出答案．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作轴，垂足为点D，
∵点，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点C在函数的图象上，
∴．
故答案为：C
【分析】作轴，垂足为点D，先根据点A和点B的坐标得到，，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到，，则，从而得到点C的坐标，再运用待定系数法即可求出反比例函数中k的值.
13．计算. =　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】 =
【分析】根据二次根式的除法法则即可求解.
14．若分式有意义，则x的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
15．“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把《红楼梦》，《水浒传》，《三国演义》，《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中有一本是《西游记》的结果有：，，，，，，共6种，
∴其中有一本是《西游记》的概率是，
故答案为：．
【分析】根据题意，列表可得出所有等可能的结果是12，以及其中有一本是《西游记》的结果是6，再利用概率公式，可得其中有一本是《西游记》的概率是。
16．如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线，
∴，
．
故填：.
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAB的度数，根据尺规作图得出是的角平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的定义得出∠DAB的度数，再根据直角三角形的性质求出的度数，即可得出答案.
17．计算及化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解： ，
，
；

（2）解：，
，
，
．

【知识点】整式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先利用绝对值、算术平方根、零指数幂进行化简，然后再计算加减法，即可得出答案；
（2）先运用完全平方公式、平方差公式进行计算，然后再合并同类项，即可得出答案．
（1）解：
．
（2）解：
．
18．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形．
（1）在图中画出三角形；
（2）写出、、的坐标；
（3）求在平移过程中扫过的面积．
【答案】（1）解：根据题意画三角形如下：
（2）解：如图，
根据图形得.
（3）解：，
，
在平移过程中扫过的面积为．
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1根据平移方法，确定、、三点平移后的位置，再连接即可画三角形.
（2）根据（1）的图形，即可得.
（3）根据平移性质得在平移过程中扫过的面积为平行四边形的面积，根据Ａ、Ｃ坐标求出
为5，再根据平行四边形面积公式即可得在平移过程中扫过的面积为15．
（1）解：如图所示：
（2）解：由图可得：；
（3）解：，
，
在平移过程中扫过的面积为．
19．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，在两个年级中随机抽取了部分学生进行测试，现将测试成绩（单位：分）按A级（测试成绩）、B级（测试成绩）、C级（测试成绩）三个等级进行整理与分析．
七年级学生测试成绩：68，68，72，73，74，82，82，85，85，85，92，92；
八年级学生测试成绩：60，69，69，77，79，82，84，84，84，88，90，90，93，93，94．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全七年级学生测试成绩条形统计图；
（2）求八年级学生测试成绩扇形统计图中A级所对应的圆心角的度数；
（3）已知该校七年级有240名学生，八年级有300名学生，估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级．
【答案】（1）解：七年级学生B级人数为：（人），补全条形统计图，如图：
（2）解：∵八年级的总人数为15人，八年级学生A级人数为6人，
∴，
答：八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数为；

（3）解：七年级级人数为人，八年级级人数为人，
∴（人），
答：估计全校七年级和八年级总共有220名学生测试成绩能够达到级．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先求出七年级学生B级人数，补全条形统计图即可；
（2）根据八年级A等级的人数和调查的总人数，用360°乘以八年级学生A级的占比，列式进行计算，即可得出扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的度数；
（3）分别计算出七年级级人数和七年级级人数，再求出它们的和，利用样本估计总体即可得出全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级．
（1）略
（2）解：八年级的总人数为：15人，
八年级学生A级人数为：6人，
，
答：八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数为；
（3）七年级级人数：（人），
八年级级人数：（人），
合计：（人），
答：估计全校七年级和八年级总共有220名学生测试成绩能够达到级．
20．如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）证明：为的直径，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图：
，
，
，
，
∵
，
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，再利用HL即可证明；
（2）根据垂径定理得出，根据得出，从而得出，利用等弧所对的圆周角相等得出，再根据，即可得出的度数 ．
（1）略
（2）解：如图：
，
，
，
，
∵
，
，
．
21．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元．
（1）求A，B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元；
（2）解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵配件进货件数不低于配件件数的2倍，
∴，
解得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元），
此时需要购进A配件100件，B配件200件．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A配件的进货单价是元，B配件的进货单价是元，题目给出两个成本条件：如果进货40件A配件、100件B配件，总成本为16000元；如果进货30件A配件、30件B配件，总成本为9300元，我们可以根据这两个条件列出二元一次方程组，求解方程组就能得到两种配件的进货单价；
（2）设购进A配件的数量为件，那么一共要购进两种配件共300件，因此购进B配件的数量就是件，再设销售完所有配件后获得的总利润为元，可以根据单件利润推导得到总利润的表达式：。再结合题目给出的限制条件：B配件的进货数量不低于A配件数量的2倍，可以列出不等式解出。最后根据一次函数的增减性，就能得到最大利润对应的进货方案。
（1）解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元；
（2）解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵配件进货件数不低于配件件数的2倍，
∴，
解得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元），
此时需要购进A配件100件，B配件200件．
22．综合与实践
【问题背景】中招体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．嘉嘉为了在中招体育考试实心球项目得满分进行了投掷实心球训练．
【建模分析】如图，嘉嘉某次投掷实心球训练时，实心球运行的路线为抛物线 的一部分，x为实心球运行时距离出手点A 的水平距离，y为实心球运行时距离地面的高度，已知出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等．
【问题解决】
（1）求a，c的值及此次训练实心球运行时距离地面的最大高度；
（2）淇淇说：“嘉嘉此次训练没有得满分．”请你通过计算帮淇淇说明理由；
（3）嘉嘉为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高出手点（即掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变）来提高成绩．若嘉嘉能得到满分，求提高出手点的高度h的取值范围．
【答案】（1）解：∵出手点A的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等，
∴经过、，
∴，
解得，
∴，
∴此次训练实心球运行时距离地面的最大高度为；
（2）解：当时，，
解得，（舍去），
∵，
∴嘉嘉此次训练没有得满分；
（3）解：∵嘉嘉掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变，
∴设现在抛物线为，
当抛物线经过时，则，
解得，
∴，
当时，，
∴若嘉嘉能获得满分，则提高出手点的高度h的取值范围．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可得经过、两点，故将、代入可得关于字母a、c的方程组，求解得出a、c值，从而可得抛物线的解析式，然后把函数解析式化为顶点式即可求出最大高度；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=0，求出自变量的值，然后将该值与8.5比较即可得出结论；
（3）根据嘉嘉掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变， 可设现在抛物线为，然后将(8.5，0)代入算出k的值，求出新的解析式，进而令新抛物线中的x=0，算出对应的函数值即可得到掷出点的高度．
（1）解：∵出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等，
∴经过、，
∴，
解得，
∴，
∴此次训练实心球运行时距离地面的最大高度为；
（2）解：当时，，
解得，（舍去），
∵，
∴嘉嘉此次训练没有得满分；
（3）解：∵嘉嘉掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变，
∴设现在抛物线为，
当抛物线经过时，则，
解得，
∴，
当时，，
∴若嘉嘉能获得满分，则提高出手点的高度h的取值范围．
23．定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
（1）如图1，四边形是和谐四边形，对角线与交于点，是和谐对角线，是和谐边．
①是________三角形．
②若，则________．
【问题探究】
（2）如图2，四边形是矩形，过点作交的延长线于点，连接交于点，，，是否存在实数，使得四边形是和谐四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【应用拓展】
（3）如图3，四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边，，，请求出的值．
【答案】(1) ①等腰；②8
(2) 存在，理由如下：∵，
∴四边形是平行四边形；
当时，四边形是和谐四边形，
∵，，
∴，
∴；
当时，不满足直角三角形的斜边大于直角边．
当时，
∵，无解．
当时，
∵，无解．
∴；
∴的值为2时，四边形是和谐四边形；
(3)∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边，∴，∴，
∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴相似比为1，
∴，
∴，
作于，如图所示：
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①已知四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边，
根据和谐四边形的定义可得，
因此和都是等腰三角形；
②若，可得，
综上，答案依次填写：等腰；8；
【分析】（1）①根据和谐四边形的定义，可推导出，由此即可得到对应结论；②结合关系，代入AD的长度即可求出BD。
（2）分别按照、、、四种不同情况分类讨论，逐一判断即可；
（3）先根据和谐四边形的定义，推出，再作，垂足为，设，则，利用勾股定理求出和的长度，再结合条件，解出的值，即可得到最终结果。
1 / 12026年广西壮族自治区柳州市柳东中学、柳州市林中学 九年级教学实验研究质量监测 数学
1．2026 的相反数是(　　)
A．-2026 B．2026 C． D．
2．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．班会课上，小明给大家分享“节约第一，合理消费”的主题故事，并调查了五名同学一周的零花钱使用情况，分别为，，，，（单位：元）．这组数据的众数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．一种盐水，盐与水的比是，如果再向其中加入含盐的盐水若干，那么含盐率将（ ）
A．不变 B．下降 C．升高 D．无法确定
6．如图，在中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a﹣1（a为常数，且a≠0）的图像一定经过的点是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1）
C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
8．如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水沟，做法如下：过点A作于点B，沿着方向铺设排水管道可用料最省．能准确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
9．若，是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
10．下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
11．某校组织少先队员进行登山活动，他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进，，直达山顶．下面给出的四幅图中，可以近似地刻画登山路程s（千米）与时间t（小时）之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
13．计算. =　 　.
14．若分式有意义，则x的取值范围是　 　
15．“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是　 　．
16．如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算　 　．
17．计算及化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
18．把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形．
（1）在图中画出三角形；
（2）写出、、的坐标；
（3）求在平移过程中扫过的面积．
19．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，在两个年级中随机抽取了部分学生进行测试，现将测试成绩（单位：分）按A级（测试成绩）、B级（测试成绩）、C级（测试成绩）三个等级进行整理与分析．
七年级学生测试成绩：68，68，72，73，74，82，82，85，85，85，92，92；
八年级学生测试成绩：60，69，69，77，79，82，84，84，84，88，90，90，93，93，94．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全七年级学生测试成绩条形统计图；
（2）求八年级学生测试成绩扇形统计图中A级所对应的圆心角的度数；
（3）已知该校七年级有240名学生，八年级有300名学生，估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级．
20．如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
21．当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元．
（1）求A，B两种配件的进货单价；
（2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？
22．综合与实践
【问题背景】中招体育考试实心球项目男生满分的评分标准为：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于．嘉嘉为了在中招体育考试实心球项目得满分进行了投掷实心球训练．
【建模分析】如图，嘉嘉某次投掷实心球训练时，实心球运行的路线为抛物线 的一部分，x为实心球运行时距离出手点A 的水平距离，y为实心球运行时距离地面的高度，已知出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等．
【问题解决】
（1）求a，c的值及此次训练实心球运行时距离地面的最大高度；
（2）淇淇说：“嘉嘉此次训练没有得满分．”请你通过计算帮淇淇说明理由；
（3）嘉嘉为了得到满分，在此次训练的基础上，计划通过提高出手点（即掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变）来提高成绩．若嘉嘉能得到满分，求提高出手点的高度h的取值范围．
23．定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】
（1）如图1，四边形是和谐四边形，对角线与交于点，是和谐对角线，是和谐边．
①是________三角形．
②若，则________．
【问题探究】
（2）如图2，四边形是矩形，过点作交的延长线于点，连接交于点，，，是否存在实数，使得四边形是和谐四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【应用拓展】
（3）如图3，四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边，，，请求出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：2026的相反数是，
故选：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排序后为：，，，，在这组数据中，一共出现次，是所有数里出现次数最多的数，因此这组数据的众数为。
故选：B．
【分析】本题主要考查众数的定义，解题的核心在于掌握“一组数据中，出现次数最多的数值就是这组数据的众数”这一概念，只需要整理数据，统计每个数出现的次数，再结合定义就能得到结果。
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：结合图示可知，这是U型磁铁，从该物体的左侧进行观察，得到的左视图和选项B一致。
故答案为：B.
【分析】根据左视图的定义可知，U型磁铁从左侧看，整体是一个长方形，中间被遮挡的部分用虚线表示。
5．【答案】C
【知识点】百分数的实际应用；比的应用
【解析】【解答】解：∵原来盐水中盐与水的比为，可设盐为份，水为份，盐水总质量为份，
∴原来盐水的含盐率为，
∵加入的盐水含盐率为，且，
∴加入后整体盐水的含盐率将升高．
故选：C.
【分析】根据盐和水的比例求出原来盐水的含盐率，再将其与加入盐水的含盐率比较大小，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：B ．
【分析】根据正切的定义列式进行计算，即可得出答案．
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
当，即时，，
∴一次函数（a为常数，且a≠0）的图像一定经过的点是．
故答案为：C．
【分析】将一次函数解析式变形为y＝a（x+1）﹣1，代入x+1＝0可求出y值，此题得解．
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，故选：C．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：是方程的两个根，
，．
故选∶ A．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得.
10．【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A．， 能用平方差公式分解因式 ，故A不符合题意；
B．， 能用平方差公式分解因式 ，故B不符合题意；
C．，不符合平方差公式的特点，故C符合题意；
D．，能用平方差公式分解因式 ，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据平方差公式的结构特征，逐项进行判断，即可得出答案．
11．【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵他们以a千米/时的速度登山，行进一段时间后队伍进行休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以b千米/时的速度继续前进，
∴在函数图象中有一段是路程不变的，而时间在增加，
又∵，
∴在函数图象中，休息前的一段比休息后的要更陡一些，
故选：A．
【分析】登山路程随着时间的增多不断增多，根据速度的变化得出随着时间的变化，路程的函数图象也将表现为：陡，平，缓，据此逐项进行判断，即可得出答案．
12．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作轴，垂足为点D，
∵点，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点C在函数的图象上，
∴．
故答案为：C
【分析】作轴，垂足为点D，先根据点A和点B的坐标得到，，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到，，则，从而得到点C的坐标，再运用待定系数法即可求出反比例函数中k的值.
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】 =
【分析】根据二次根式的除法法则即可求解.
14．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把《红楼梦》，《水浒传》，《三国演义》，《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中有一本是《西游记》的结果有：，，，，，，共6种，
∴其中有一本是《西游记》的概率是，
故答案为：．
【分析】根据题意，列表可得出所有等可能的结果是12，以及其中有一本是《西游记》的结果是6，再利用概率公式，可得其中有一本是《西游记》的概率是。
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
，
由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线，
∴，
．
故填：.
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAB的度数，根据尺规作图得出是的角平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的定义得出∠DAB的度数，再根据直角三角形的性质求出的度数，即可得出答案.
17．【答案】（1）解： ，
，
；

（2）解：，
，
，
．

【知识点】整式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先利用绝对值、算术平方根、零指数幂进行化简，然后再计算加减法，即可得出答案；
（2）先运用完全平方公式、平方差公式进行计算，然后再合并同类项，即可得出答案．
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：根据题意画三角形如下：
（2）解：如图，
根据图形得.
（3）解：，
，
在平移过程中扫过的面积为．
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1根据平移方法，确定、、三点平移后的位置，再连接即可画三角形.
（2）根据（1）的图形，即可得.
（3）根据平移性质得在平移过程中扫过的面积为平行四边形的面积，根据Ａ、Ｃ坐标求出
为5，再根据平行四边形面积公式即可得在平移过程中扫过的面积为15．
（1）解：如图所示：
（2）解：由图可得：；
（3）解：，
，
在平移过程中扫过的面积为．
19．【答案】（1）解：七年级学生B级人数为：（人），补全条形统计图，如图：
（2）解：∵八年级的总人数为15人，八年级学生A级人数为6人，
∴，
答：八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数为；

（3）解：七年级级人数为人，八年级级人数为人，
∴（人），
答：估计全校七年级和八年级总共有220名学生测试成绩能够达到级．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先求出七年级学生B级人数，补全条形统计图即可；
（2）根据八年级A等级的人数和调查的总人数，用360°乘以八年级学生A级的占比，列式进行计算，即可得出扇形统计图中“A”对应扇形的圆心角的度数；
（3）分别计算出七年级级人数和七年级级人数，再求出它们的和，利用样本估计总体即可得出全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级．
（1）略
（2）解：八年级的总人数为：15人，
八年级学生A级人数为：6人，
，
答：八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数为；
（3）七年级级人数：（人），
八年级级人数：（人），
合计：（人），
答：估计全校七年级和八年级总共有220名学生测试成绩能够达到级．
20．【答案】（1）证明：为的直径，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图：
，
，
，
，
∵
，
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；垂径定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出，再利用HL即可证明；
（2）根据垂径定理得出，根据得出，从而得出，利用等弧所对的圆周角相等得出，再根据，即可得出的度数 ．
（1）略
（2）解：如图：
，
，
，
，
∵
，
，
．
21．【答案】（1）解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元；
（2）解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵配件进货件数不低于配件件数的2倍，
∴，
解得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元），
此时需要购进A配件100件，B配件200件．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A配件的进货单价是元，B配件的进货单价是元，题目给出两个成本条件：如果进货40件A配件、100件B配件，总成本为16000元；如果进货30件A配件、30件B配件，总成本为9300元，我们可以根据这两个条件列出二元一次方程组，求解方程组就能得到两种配件的进货单价；
（2）设购进A配件的数量为件，那么一共要购进两种配件共300件，因此购进B配件的数量就是件，再设销售完所有配件后获得的总利润为元，可以根据单件利润推导得到总利润的表达式：。再结合题目给出的限制条件：B配件的进货数量不低于A配件数量的2倍，可以列出不等式解出。最后根据一次函数的增减性，就能得到最大利润对应的进货方案。
（1）解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元；
（2）解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵配件进货件数不低于配件件数的2倍，
∴，
解得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元），
此时需要购进A配件100件，B配件200件．
22．【答案】（1）解：∵出手点A的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等，
∴经过、，
∴，
解得，
∴，
∴此次训练实心球运行时距离地面的最大高度为；
（2）解：当时，，
解得，（舍去），
∵，
∴嘉嘉此次训练没有得满分；
（3）解：∵嘉嘉掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变，
∴设现在抛物线为，
当抛物线经过时，则，
解得，
∴，
当时，，
∴若嘉嘉能获得满分，则提高出手点的高度h的取值范围．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可得经过、两点，故将、代入可得关于字母a、c的方程组，求解得出a、c值，从而可得抛物线的解析式，然后把函数解析式化为顶点式即可求出最大高度；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=0，求出自变量的值，然后将该值与8.5比较即可得出结论；
（3）根据嘉嘉掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变， 可设现在抛物线为，然后将(8.5，0)代入算出k的值，求出新的解析式，进而令新抛物线中的x=0，算出对应的函数值即可得到掷出点的高度．
（1）解：∵出手点A 的高度为，当实心球运行的水平距离为时，实心球距地面的高度与出手时的高度相等，
∴经过、，
∴，
解得，
∴，
∴此次训练实心球运行时距离地面的最大高度为；
（2）解：当时，，
解得，（舍去），
∵，
∴嘉嘉此次训练没有得满分；
（3）解：∵嘉嘉掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变，
∴设现在抛物线为，
当抛物线经过时，则，
解得，
∴，
当时，，
∴若嘉嘉能获得满分，则提高出手点的高度h的取值范围．
23．【答案】(1) ①等腰；②8
(2) 存在，理由如下：∵，
∴四边形是平行四边形；
当时，四边形是和谐四边形，
∵，，
∴，
∴；
当时，不满足直角三角形的斜边大于直角边．
当时，
∵，无解．
当时，
∵，无解．
∴；
∴的值为2时，四边形是和谐四边形；
(3)∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边，∴，∴，
∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴相似比为1，
∴，
∴，
作于，如图所示：
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①已知四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边，
根据和谐四边形的定义可得，
因此和都是等腰三角形；
②若，可得，
综上，答案依次填写：等腰；8；
【分析】（1）①根据和谐四边形的定义，可推导出，由此即可得到对应结论；②结合关系，代入AD的长度即可求出BD。
（2）分别按照、、、四种不同情况分类讨论，逐一判断即可；
（3）先根据和谐四边形的定义，推出，再作，垂足为，设，则，利用勾股定理求出和的长度，再结合条件，解出的值，即可得到最终结果。
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