资源简介

(共15张PPT)
第三章　3.2　探索三角形相似的条件
第4课时　黄金分割
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.理解黄金分割的概念，能确定一条线段的两个黄金分割点.(重点)
2.能根据黄金分割的概念进行线段的计算.(难点)
3.能利用黄金分割的知识解决一些简单的实际问题，并在解题过程中提高数学的应用意识与计算能力.
情境引入
黄金分割在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典.如图，以著名的上海东方明珠广播电视塔为例，塔高468米，其上球体位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，极具审美效果.
黄金分割
知识梳理
一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果=，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的 ，AC与AB的比叫作 .
黄金分割点
黄金比
例　(课本P71例4)计算黄金比.
解　由=，得AC2=AB·BC.
设AB=1，AC=x，则BC=1-x.
∴x2=1×(1-x)，
即x2+x-1=0.
解这个方程，得
x1=，x2=(不合题意，舍去).
所以，黄金比=≈0.618.
反思感悟
①把一条线段黄金分割后，得到三条线段，即原线段、较长线段、较短线段，因此黄金分割也可叙述为：较长线段是原线段与较短线段的比例中项；②任意一条线段都有两个黄金分割点，两个点关于线段的中点中心对称；③因为黄金分割的数值是一个无理数，为了计算方便有时取近似值0.618.
跟踪训练　(1)已知线段AB上的点C满足关系式：AC2=BC·AB，且AB=2，则AC的长为
A.-1或3- B.
C.-1 D.3-
解析　∵AC2=BC·AB，
∴点C是AB的黄金分割点，
∴AC=AB=×2=-1.
√
(2)如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形ABCD为黄金矩形，点E，F分别在边BC，AD上，四边形ABEF为正方形，已知DF=-1，那么AB的长为
A.+1 B. C.2 D.
解析　设AB=x，则AF=AB=x.又∵AD=AF+DF，且DF=-1，∴AD=x+-1.矩形ABCD为黄金矩形，由黄金矩形的定义可知=.将AB=x，AD=x+-1代入，得=，解得x=2，经检验，x=2是原方程的根，即AB=2.
√
课堂小结
黄金分割
1.已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，下列各式不正确的是
A.= B.AP2=PB·AB
C.= D.=
随堂演练
√
2.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比大约为黄金比(比值接近0.618)，可以增加视觉美感.若图中b为4米，则a约为_____米.(结果精确到一位小数)
随堂演练
2.5
解析　∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618，
∴a≈0.618b=0.618×4≈2.5(米).
3.符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感.如图所示的五角星中，C，D两点都是AB的黄金分割点，若AB=2，则AC的长是　　　.
随堂演练
-1
解析　∵点C是AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，
∴AC=AB=×2=-1.
4.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为4米，则线段BE的长为多少米(结果保留根号)？
随堂演练
解　∵BE2=AE·AB，AB=4米，
设BE=x米，则AE=(4-x)米，
∴x2=4(4-x)，∴x2+4x=16，
∴x1=2-2，x2=-2-2(舍去).
∴线段BE的长为(2-2)米.
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