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第三章　3.2　探索三角形相似的条件
第3课时　利用三边判定三角
形相似
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.理解定理：三边成比例的两个三角形相似，能熟练运用该定理判定三角形相似.(重点、难点)
2.在解决问题的过程中，提高逻辑推理能力，增强符号感.(难点)
课堂引入
判断两个三角形相似，你有哪些方法？
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
还有其他的方法判定两个三角形相似吗？
我们知道两个三角形的三边分别相等能判定两个三角形全等，也就是说通过三边是可以判断两个三角形之间的关系的，那么两个三角形的三边对应成比例能否判定两个三角形相似呢？
利用三边判定三角形相似
知识梳理
定理 符号表示 三边 的两个三角形相似 如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，如果==，那么△ABC∽△A'B'C'
成比例
例　(课本P70例3)如图，在△ABC和△ADE中，==，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
解　∵==，
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
反思感悟
在利用三边成比例判定三角形相似时，一定要注意三边之间的对应关系，常用方法：①先把每个三角形的各边按长短排序，找到对应边；②计算各对应边的比值；③如果三个比值相等，则两个三角形相似，否则，不相似.
跟踪训练　(1)把△ABC经过下列变形，与△ABC相似的是
A.各边长都加2
B.各边长都减2
C.各边长都乘2
D.各边长都平方
√
(2)已知△ABC的三边长分别是1，，与△ABC相似的三角形三边长可能是
A.，2， B.，1，
C.1， D.，1，
解析　∵1∶=∶2∶，
∴与△ABC相似的三角形三边长是选项A中的数据.
√
(3)如图所示，在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD=3，AE=6，DE=5，BD=15，CE=3，BC=15.根据以上条件，你认为∠B=∠AED吗？并说明理由.
解　∠B=∠AED.理由如下：
由题意，得
AB=AD+BD=3+15=18，
AC=AE+CE=6+3=9，
因为==3，==3，==3，
所以==，所以△ABC∽△AED，
所以∠B=∠AED.
课堂小结
1.下列各组条件中，不能判定△ABC与△A'B'C'相似的是
A.∠A=∠A'，∠C=∠C'
B.∠A=∠A'，=
C.∠A=∠A'=90°，=
D.==
随堂演练
√
随堂演练
解析　A项，∠A=∠A'，∠C=∠C'，能判定△ABC∽△A'B'C'，故本选项不符合题意；
B项，∠A=∠A'，=，不能判定△ABC∽△A'B'C'，故本选项符合题意；
C项，∠A=∠A'=90°，=，能判定△ABC∽△A'B'C'，故本选项不符合题意；
D项，==，能判定△ABC∽△A'B'C'，故本选项不符合题意.
2.如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是
随堂演练
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
√
随堂演练
解析　由题图中各正方形的边长均为1，根据勾股定理，可得出
①图中阴影三角形的边长分别为1，；
②图中阴影三角形的边长分别为，2，；
③图中阴影三角形的边长分别为2，；
④图中阴影三角形的边长分别为1，，2，
∵==，
∴图①②中两个阴影三角形相似.
3.如图，两个三角形的关系是　　　(填“相似”或“不相似”)，理由是　　　　　　　 　　　　.
随堂演练
相似
三边成比例的两个三角形相似
4.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
(1)AB=3，BC=4，AC=5，A'B'=12，B'C'=16，C'A'=20；
随堂演练
解　△ABC∽△A'B'C'.理由如下：
∵==，==，==，
∴△ABC∽△A'B'C'.
4.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
(2)AB=12，BC=15，AC=24，A'B'=25，C'B'=40，C'A'=20.
随堂演练
解　△ABC∽△C'A'B'.理由如下：
∵======，
∴△ABC∽△C'A'B'.
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