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(共19张PPT)
第三章　3.2　探索三角形相似的条件
第2课时　利用两边及其夹角
判定三角形相似
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.理解定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，能熟练运用该定理判定三角形相似.(重点、难点)
2.在解决问题的过程中，提高逻辑推理能力，增强符号感.(难点)
情境引入
学校教学楼的西侧有几扇造型特别的三角形窗户，总务处想让咱们班帮忙制作一批缩小版的模型用于校园文化展示.已知原三角形窗户的其中两条邻边长度分别是 40 cm 和 30 cm，这两条边的夹角(也就是窗框的一个内角)是 60°，现在要求模型与原窗户的相似比是1∶10，所以大家需要先确定模型三角形的对应边长——按照比例，模型的两条邻边长度应该分别是 4 cm 和 3 cm.
不过在制作过程中有两个疑问：第一，我们画的模型三角形，两条邻边长度确实是 4 cm 和 3 cm，夹角也和原窗户一样是 60°，这样能保证模型三角形和原窗户三角形相似吗？第二，如果有同学不小心把夹角画成了 50°，但两条邻边长度还是 4 cm 和 3 cm，这时候模型和原窗户的三角形还能相似吗？
利用两边及其夹角判定三角形相似
相等
知识梳理
定理 符号表示 两边 且夹角 的两个三角形相似 如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，=，那么△ABC∽△A'B'C'
成比例
相等
例　(课本P68例2)如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长.
解　∵AE=1.5，AC=2，
∴=.
∵=，
∴=.
又∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
例　(课本P68例2)如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长.
解　∴==.
∵BC=3，
∴DE=BC=×3=.
反思感悟
在利用两边成比例且其夹角相等判定三角形相似时，一定要注意“夹角”这个条件，为避免出现类似错误，可从两个方面入手，一是看“对应相等的角”是否为“对应成比例的两边的夹角”；二是看“对应成比例的两边的夹角”是否为“对应相等的角”.
跟踪训练　(1)如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是
A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC
C.AC2=BC·CD D.=
解析　在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有①∠DAC=∠ABC或CA是∠BCD的平分线；②=.
√
(2)如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，点E在AB上，且=，连接BD，DE，求证：△AED∽△ADB.
证明　∵D是AC的中点，
∴=，∵=，AB=AC，∴=，∵∠EAD=∠DAB，
∴△AED∽△ADB.
课堂小结
1.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是
A.OA·OC=OD·OB
B.∠B=∠C
C.∠A=∠D
D.=
随堂演练
√
随堂演练
解析　A项，由OA·OC=OD·OB，可得=，又因为∠AOB=∠DOC，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以判定△AOB和△DOC相似；
B项，∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，根据两角分别相等的两个三角形相似，可以判定△AOB和△DOC相似；
C项，∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，根据两角分别相等的两个三角形相似，可以判定△AOB和△DOC相似；
D项，不能判定.
2.如图所示，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是
随堂演练
√
随堂演练
解析　观察可知，△ABC是等腰三角形且顶角为30°，对照各选项，A是等腰三角形但顶角是75°，排除；
B是等边三角形，排除；
C符合题意；
D是等腰三角形但顶角是40°，排除.
3.如图，在△ABC纸片中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC纸片沿图中的直线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是
随堂演练
A.①② B.③④
C.①②③④ D.①②④
√
随堂演练
解析　①阴影三角形与原三角形有两个角分别相等，故两个三角形相似；
②阴影三角形与原三角形有两个角分别相等，故两个三角形相似；
③由于BC的长度没有给出，所以两个三角形的对应边不一定成比例，故无法判定两个三角形相似；
④两个三角形对应边成比例(4-1)∶6=(6-4)∶4，且夹角相等，故两个三角形相似.
4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD=8，CD=6，
当BD=　　时，△ADC∽△CDB.此时∠ACB=　　　.
随堂演练
90°
解析　∵在△ADC与△CDB中，∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ADC∽△CDB只需AD∶CD=CD∶BD，即8∶6=6∶BD，解得BD=，
∵△ADC∽△CDB，∴∠A=∠BCD，又∵∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°.
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