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(共25张PPT)
第三章　3.2　探索三角形相似的条件
第1课时　利用两组等角判定
三角形相似
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.理解相似三角形的定义，能利用相似三角形的定义进行简单的线段或角的计算.(重点)
2.理解定理：两角分别相等的两个三角形相似，能利用该定理判定三角形相似.(重点、难点)
3.在解题过程中提高逻辑思维能力，提高符号感.
情境引入
如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？为什么？
一、
相似三角形的定义
问题　因为相似多边形包括相似三角形，所以根据相似多边形的定义，两个三角形相似必须满足两个条件，即三个角分别　 　，三边　　　 .
相等
成比例
成比例
知识梳理
1.相似三角形的定义
定义 符号表示 三角分别 、三边 的两个三角形叫作相似三角形 如图所示，在△ABC与△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，==，那么△ABC∽△A'B'C'
相等
成比例
知识梳理
2.应注意三点：①相似三角形的相似比具有顺序性，如果△ABC与△A'B'C'的相似比为k1，△A'B'C'与△ABC的相似比为k2，则k1·k2=1，即k1与k2互为倒数；②相似三角形与全等三角形是一般与特殊的关系，即相似三角形包括全等三角形，全等三角形是相似比为1的相似三角形；③相似三角形具有传递性，即如果甲三角形与乙三角形相似，乙三角形与丙三角形相似，则甲三角形与丙三角形相似.
例1　如图所示，已知△ABC∽△ADE，∠A=70°，∠B=40°，AB=6，BC=6，AD=3.
(1)求△ABC与△ADE的相似比；
解　∵△ABC∽△ADE，AB=6，AD=3，
∴△ABC与△ADE的相似比为==2.
例1　如图所示，已知△ABC∽△ADE，∠A=70°，∠B=40°，AB=6，BC=6，AD=3.
(2)求∠AED的度数和DE的长.
解　∵∠A=70°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-40°=70°.
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠C=70°，且==2，即==2，解得DE=3.
反思感悟
计算相似三角形的相似比是一种常见的问题，解决这类问题时有两个易错点：一是不能正确找到对应边；二是相似比的顺序出现错误.
跟踪训练1　(1)已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则等于
A.2 B. C.3 D.
解析　∵△ABC∽△A'B'C'，∴===.
√
(2)如图，已知△ABC∽△DAC，∠B=36°，∠D=117°，∠BAD的度数为
A.36° B.117°
C.143° D.153°
√
解析　∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°，∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=153°.
二、
利用两组等角判定三角形相似
知识梳理
定理 符号表示 两角分别 的两个三角形相似 如图所示，在△ABC与△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，∠B=∠B'，那么△ABC∽△A'B'C'
相等
例2　(课本P67例1)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
解　∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴=，
∴BC===14.
反思感悟
本题中的图形，是一种常见的相似三角形模型，其特点是三角形中有一条平行于一边并且与另两条边相交的线段，结合平行线的性质，即可根据两角分别相等判定三角形相似.
跟踪训练2　(1)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB∥DE，若使△ABC∽△DEF，则还需添加一个与角有关的条件是　 　 　　 . (只需填一个)
AC∥DF(或∠A=∠D)
解析　根据“两角分别相等的两个三角形相似”可知，如果添加AC∥DF，得∠ACB=∠DFE，则△ABC∽△DEF；
若添加∠A=∠D，则△ABC∽△DEF.
(2)如图，∠B=∠D，∠1=∠2.
求证：△ABC∽△ADE.
证明　∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE，
又∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE.
课堂小结
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，如果△ADE∽△ABC，AE∶CE=1∶3，则AD∶AB等于
A.1∶3 B.1∶4
C.2∶3 D.3∶4
随堂演练
√
解析　∵AE∶CE=1∶3，∴AE∶AC=1∶4，∵△ADE∽△ABC，∴AD∶AB=AE∶AC=1∶4.
2.如图，能使△ADE∽△ABC成立的条件是
A.∠A=∠A
B.∠ADE=∠AED
C.∠C=∠B
D.∠ADE=∠B
随堂演练
√
随堂演练
解析　在△ADE与△ABC中，∠A是公共角，∴∠A=∠A.
A项，只有∠A=∠A，一组角对应相等不能证明△ADE∽△ABC，不符合题意；
B项，∠ADE=∠AED只能说明△ADE是等腰三角形，不能说明△ADE∽ △ABC，不符合题意；
C项，∠B=∠C只能说明△ABC是等腰三角形，不能说明△ADE∽△ABC，不符合题意；
D项，∠A=∠A，∠ADE=∠B，所以可证△ADE∽△ABC，符合题意.
3.如图，AB与CD交于点O，连接AD和BC，要使△AOD ∽△BOC，请添加一个条件：　　　　　 .
随堂演练
∠B=∠A(答案不唯一)
解析　添加∠B=∠A，
∵∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC.
4.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，如果∠ADE=∠C，则图中有一对相似三角形，是△ADE∽　　　　.
随堂演练
解析　∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB.
△ACB
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