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(共25张PPT)
第三章　3.1　相似多边形
第2课时　比的性质
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.掌握等比性质，并能灵活应用.(重点、难点)
2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决问题.(难点)
情境引入
数学兴趣小组的同学们利用下面的方法配制糖水：①先取含糖a千克的糖水b千克；②然后加入含糖c千克的糖水d千克；③再加入含糖e千克的糖水f千克；….如果加入这些糖水后，糖水的浓度不变，你能得到什么结论？
一、
等比性质
问题　根据“糖水浓度=糖的质量÷糖水的质量”可知，①中糖水的浓度(用比值表示)为　　；②中糖水的浓度(用比值表示)为　 ；③中糖水的浓度(用比值表示)为　 ；….因为糖水的浓度不变，可得到等式　　　　　　　 .
==
知识梳理
1.等比性质：如果==…=(b+d+…+n≠0)，那么=，这个性质习惯上叫作等比性质.
2.利用等比的性质，可以比较方便地求线段的比值或数的比值.
例1　(课本P63例题)在△ABC与△DEF中，已知===，且△ABC的周长为18 cm，求△DEF的周长.
解　∵===，
∴==.
∴4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD)，
即DE+EF+FD=(AB+BC+CA).
又∵△ABC的周长为18 cm，即AB+BC+CA=18 cm，
∴DE+EF+FD=(AB+BC+CA)=×18=24(cm)，
即△DEF的周长为24 cm.
反思感悟
本题的结论也可叙述为如果两个三角形对应边的比相等，那么这两个三角形的周长之比等于它们的对应边之比.这个结论在今后的解题中会经常用到，望在理解的基础上牢记.
跟踪训练1　(1)已知线段a，b，c，d，如果==，那么=　　.
(2)若==(a≠c)，则=　　.
(3)已知===2，且b+d+f≠0，求的值.
解　∵===2，
∴===2，
∴=2.
二、
比的性质的拓展
知识梳理
实际上，比的性质可以进行拓展，并且在解题时还经常用到这些拓展后的性质(为叙述方便，对这些性质分别进行命名).
①反比性质：如果=(a，c都不等于0)，那么=.
理由：由=，得ad=bc，所以=；
②更比性质：如果=(a，c都不等于0)，那么=.
理由：由=，得ad=bc，所以=；
知识梳理
③合比性质：如果=，那么=.
理由：由=，得ad=bc，则ad+bd=bc+bd，(a+b)d =(c+d)b，所以=；
④分比性质：如果=，那么=.
理由：由=，得ad=bc，则ad-bd=bc-bd，(a-b)d =(c-d)b，所以=.
例2　如果=(a，b，c，d都不为0)成立，那么下列各式一定成立的是
A.= B.=
C.= D.=
√
解析　将=化为等积式为ad=bc.
A项，化为等积式为ab=dc，错误；
B项，化为等积式为acd=bdc，两边约去cd，得a=b，该项错误；或是观察B项特点，在=的基础上，左边乘，而右边没有变化，所以不成立，该项错误；
C项，由=，得ad+d=bc+b，得d=b，该项错误；或是观察C项特点，在=的基础上，左边加上，而右边加上，显然错误；
D项，将=两边都加上2，得=，该项成立.
反思感悟
比的性质多以比值的形式出现，书写和理解都不够直观，容易出现错误，因此在判断比例式变形是否正确时，可利用比例的基本性质进行检验.
跟踪训练2　(1)若=，则的值为
A. B. C. D.
解析　方法一　∵=，∴==
方法二　∵=，∴b=a，∴===.
√
(2)如果=，那么的值为　　.
解析　方法一　∵=，∴===.
方法二　设a=3k，b=2k，则原式===.
课堂小结
1.若=，则等于
A. B. C. D.
随堂演练
√
解析　∵=，∴a=b，则==.
2.已知===，且b+d+f≠0，则等于
A. B. C. D.
随堂演练
√
解析　∵===，且b+d+f≠0，则=，即=，
∴=.
3.如果=，那么=　　.
随堂演练
解析　∵=，
∴设a=3k，b=2k，
则===.
4.已知==，且3x-2y+4z=60，则x的值为　　.
随堂演练
解析　设===k，则x=2k，y=3k，z=5k，∵3x-2y+4z=60，
∴6k-6k+20k=60，解得k=3，
∴x=6.
6
5.已知=，求的值.
随堂演练
解　∵=，∴7x-7y=13y，∴x=y，则==.
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