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第三章　3.1　相似多边形
第1课时　相似多边形与比例线段
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.理解相似多边形与线段的比的概念，会计算两条线段的比.
2.理解比例线段的概念，能判断四条线段是否是成比例线段.(重点)
3.能根据相似多边形的定义识别相似多边形，并在解题过程中提高逻辑推理能力，提高符号感.(难点)
情境引入
如图所示的图形中，它们的形状相同吗？你能找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？
一、
线段的比
问题1　如图所示，已知两条线段AB，CD，
(1)选用cm为长度单位，用刻度尺分别测量线段AB，CD的长度，分别是____cm，　 cm，线段AB与线段CD的比是　　；
(2)选用mm为长度单位，用刻度尺分别测量线段AB，CD的长度，分别是　　mm，　　mm，线段AB与线段CD的比是　　；
(3)由(1)(2)发现两条线段的比与所选用的长度单位　 　(填“有关”或“无关”).
1.5
2
15
20
无关
知识梳理
线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成.其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的 和 .
前项
后项
例1　在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，则线段AC与线段AB的比是
A. B.
C.或 D.
解析　∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，∴根据勾股定理，得AB===5(cm).∴=.
√
反思感悟
求线段的比时需注意两点：①两条线段的比与其长度单位无关，是一个没有单位的正实数，但两条线段的长度单位必须统一；②两条线段的比具有顺序性，不能随意更换前项和后项.
跟踪训练1　如图所示，已知线段AB，延长AB至点C，使得BC=2AB，点D是线段AB上一点，且BD=AB，请你把图形补充完整，再求的值.
解　补充完整的图形如图所示.
∵BD=AB，∴AD=BD.
设AD=DB=m，则AB=2m.
∵BC=2AB，∴BC=4m，∴AC=AB+BC=6m.
∴==6.
二、
成比例线段
问题2　如图，已知小方格的边长均为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上.
(1)观察可知，AB= 　，EF=　 ；利用勾股定理计算，得CD=　　，GH=　　；
(2)由(1)可得，=　 ，=　 ，　 　 (填“=”或“≠”).
8
4
2
2
2
=
知识梳理
1.四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫作 ，简称 .
2.比例中项：如果a∶b=b∶c，那么b叫作a和c的比例中项.
3.比例的基本性质：如果，那么 .
如果ad=bc(a，b，c，d都不等于0)，那么_____.
成比例线段
比例线段
ad=bc
=
例2　下列四组线段中，是成比例线段的是
A.3 cm，4 cm，5 cm，6 cm B.4 cm，8 cm，3 cm，5 cm
C.5 cm，15 cm，2 cm，6 cm D.8 cm，4 cm，1 cm，3 cm
解析　把各组线段均按由短到长的顺序排列，
A项，∵，∴不是比例线段；
B项，∵，∴不是比例线段；
C项，∵=，∴是比例线段；
D项，∵，∴不是比例线段.
√
反思感悟
判定比例线段的常用方法和步骤：①统一各线段的长度单位；②把线段按由短到长(或由长到短)的顺序排列；③分别计算第一条线段与第二条线段的比值、第三条线段与第四条线段的比值；④比较两个比值的大小，若相等，则是比例线段；若不相等，则不是比例线段.
跟踪训练2　(1)若a，b，c，d是成比例线段，其中a=5，b=2.5，c=8，则线段d的长为
A.2 B.4 C.5 D.6
√
解析　由a，b，c，d是成比例线段，可得=.解得d=4.
(2)已知a，b，c，d四条线段，判断下列各组中的四条线段是否是成比例线段.
①a=2 cm，b=5 cm，c=4 cm，d=9 cm；
②a=0.6 cm，b= cm，c=0.2 cm，d= cm.
解　①不是成比例线段.
②是成比例线段.
三、
相似多边形
知识梳理
1.相似多边形：各角分别 、各边 的两个多边形叫作相似多边形，相似多边形 的比叫作相似比.
2.相似多边形的写法和读法：例如：五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，记作五边形ABCDE 五边形A'B'C'D'E'，“∽”读作“ ”.
3.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在 的位置上.
相等
成比例
对应边
∽
相似于
对应
例3　下列说法中：①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似.其中，正确的有
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析　①所有的正三角形都相似，故正确；
②所有的正方形都相似，故正确；
③所有的等腰直角三角形都相似，故正确；
④所有的矩形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故错误；
⑤所有的菱形不一定相似，对应角不一定相等，故错误.
综上，正确的有3个.
√
反思感悟
利用定义判断边数相同的多边形是否相似，要从两方面进行判断：(1)对应角是否相等；(2)对应边是否成比例，两者缺一不可.
跟踪训练3　下列选项中的两个图形一定相似的是
A.两个等腰三角形 B.两个正五边形
C.两个直角三角形 D.两个平行四边形
√
解析　A项，两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形不一定相似，两个等腰三角形的对应角不一定相等，故A不正确；
B项，两个正五边形各角均对应相等，放大缩小后可以完全重合，所以两个正五边形相似，故B正确；
C项，两个直角三角形，对应的锐角不一定相等，所以不一定相似，故C不正确；
D项，两个平行四边形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故D不正确.
课堂小结
1.下列各组线段中，能成比例的是
A.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B.1 cm，1.5 cm，2 cm，4 cm
C.0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm
D.3 cm，4 cm，6 cm，8 cm
随堂演练
√
解析　A项，1×4≠2×3，不能成比例，不符合题意；
B项，1×4≠2×1.5，不能成比例，不符合题意；
C项，0.1×0.4≠0.2×0.3，不能成比例，不符合题意；
D项，3×8=4×6，能成比例，符合题意.
2.甲、乙两地相距1 600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是
A.1∶200 B.1∶20 000
C.20 000∶1 D.1∶4 000
随堂演练
√
解析　∵1 600米=160 000厘米，
∴这幅地图的比例尺是8∶160 000=1∶20 000.
3.若线段a，b，c，d是成比例线段，且a=1 cm，b=5 cm，c=3 cm，则d为_____ cm.
随堂演练
解析　根据成比例线段的定义可得a∶b=c∶d，
∴ad=bc，即d=5×3=15(cm).
15
4.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，它们的相似比是4∶3，已知AB=12 cm，则EF=　　cm.
随堂演练
9
解析　∵四边形ABCD∽四边形EFGH且相似比为4∶3，AB=12 cm，∴=，∴EF=12×=9(cm).
5.已知线段a，b满足a∶b=3∶2，且a+2b=28.
(1)求a，b的值；
随堂演练
解　∵a∶b=3∶2，
∴设a=3k，则b=2k，
∵a+2b=28，
∴3k+4k=28，
解得k=4，
∴a=12，b=8.
5.已知线段a，b满足a∶b=3∶2，且a+2b=28.
(2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值.
随堂演练
解　∵x是a，b的比例中项，
∴x2=ab=96，
∵x是线段的长度，x>0，
∴x=4.
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