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七上第 4 章 相交线和平行线-单元测试（华师版）
一．选择题（共 13 小题）
1 ．如图，下列说法不正确的是 ( )
A ． ∠1 和∠4 是内错角 B ． ∠1 和∠2 是同旁内角
C ． ∠3和∠4 是同位角 D ． ∠2 和∠4 是同旁内角
2 ．下列说法中：
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；
④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
3 ．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：
（1） ∠1 = ∠2；（2） ∠2+∠4 ＝90 ° ；（3） ∠3 = ∠4；（4） ∠4+∠5 ＝180 ° ；（5） ∠1+∠3 ＝90 ° .其中正确的共有 ( )
A ．5 个 B ．4 个 C ．3 个 D ．2 个
4 ．在三维空间中，用 3 根火柴棒最多能拼出 ( )
A ．4 个直角 B ．8 个直角 C ．12 个直角 D ．16 个直角
5 ．如图，三条直线 a 、b 、c 相交于一点，则∠1+∠2+∠3 等于 ( )
A ．180 ° B ．120 ° C ．90 ° D ．不能确定
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6 ．如图，直线 11 与 12相交于点 O ，OM⊥11 ，若∠α =46 ° , 则∠β = ( )
A ．56 ° B ．46 ° C ．45 ° D ．44 °
7．如图，已知AB∥CD，BC 平分∠ACD ，∠B ＝35 ° , E 是 CA 延长线上一点，则∠BAE 的度数是 ( )
A ．35 ° B ．60 ° C ．65 ° D ．70 °
8 ．如图，直线 AB 、CD 相交于点 O ，且∠AOC： ∠AOD ＝1 ：3 ，则∠BOD 的度数是 ( )
A ．45 ° B ．50 ° C ．55 ° D ．60 °
9 ．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射， 由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图， ∠1+∠2 ＝132 ° , ∠3 ＝100 ° , 则∠4 的度数为 ( )
A ．57 ° B ．54 ° C ．52 ° D ．51 °
10 ．如图，直线 l1 ∥l2 ，AB 与直线 l1 垂直，垂足为点 B ，若∠ABC ＝37 ° , 则∠EFC 的度数为 ( )
A ．127 ° B ．133 ° C ．137 ° D ．143 °
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11 ．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB ，CD⊥AB，小明说：“如果还知道∠CDG = ∠BFE ，则能得到∠AGD = ∠ACB．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD = ∠ACB ，可得到∠CDG = ∠BFE．”
小刚说：“∠AGD 一定大于∠BFE．”
小颖说：“如果连接 GF，则 GF 一定平行于 AB．”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的．
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
12 ．如图，在平面内，两条直线 l1 ，l2 相交于点 O ，对于平面内任意一点 M，若p ，q 分别是点 M 到直线l1 ，l2 的距离，则称（p ，q）为点 M 的“距离坐标 ”．根据上述规定，“距离坐标 ”是（2 ，1）的点共有 ( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个13 ．如图 a ∥b ，c 与 a 相交，d 与 b 相交，下列说法：
①若∠1 = ∠2 ，则∠3 = ∠4；
②若∠1+∠4 ＝180 ° , 则 c ∥d；
③∠4﹣ ∠2 = ∠3﹣ ∠1；
④∠1+∠2+∠3+∠4 ＝360 ° , 正确的有 ( )
A ． ①③④ B ． ①②③ C ． ①②④ D ． ②③
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二．填空题（共 10 小题）
14 ．如图，直线 ， 相交于点 O ，点 P 在直线 上，在直线 外，也可以说直线 经过点 P ，而直线 不经过点 P．
15 ．如图，计划把河水引到水池 A 中，先作AB⊥CD ，垂足为 B ，然后沿 AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ．
16 ．一平面内，三条直线两两相交，最多有 3 个交点；4 条直线两两相交，最多有 6 个交点；5 条直线两两相交，最多有 10 个交点；8 条直线两两相交，最多有 个交点．
17 ．如图，在 E 中，C，AD 平分∠CAB ，CD ＝5cm ，那么 D 点到直线 AB 的距离是 cm．
18 ．如图，木棒 AB 、CD 与 EF 分别在 G 、H 处用可旋转的螺丝铆住， ∠EGB ＝100 ° , ∠EHD ＝80 ° , 将木棒 AB 绕点 G 逆时针旋转到与木棒 CD 平行的位置，则至少要旋转 ° .
19 ．如图所示，如果∠1+∠2 ＝260 ° , 则∠3 的度数为 ．
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20 ．如图，BD 平分∠ABC，F 在 AB 上，G 在 AC 上，FC 与 BD 相交于点 H， ∠3+∠4 ＝180 ° , 试说明∠ 1 = ∠2 ．（请通过填空完善下列推理过程）
解： ∵ ∠3+∠4 ＝180 °（已知），
∠FHD = ∠4（对顶角相等）
∴ ∠3+ ＝180 ° .
∴FG∥BD ( )
∴ ∠1 = ( )
∵BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD = .
∴ ∠1 = ∠2
21 ．设 AB ，CD ，EF 是同一平面内三条互相平行的直线，已知 AB 与 CD 的距离是 12cm ，EF 与 CD 的距离是 5cm ，则 AB 与 EF 的距离等于 cm．
22 ．如图，AB∥CD ， ∠DCE 的角平分线 CG 的反向延长线和∠ABE 的角平分线 BF 交于点 F， ∠E﹣ ∠F =33 ° , 则∠E = .
23 ．已知 AB∥CD ，AM 平分∠BAP ， ∠PCM＝2∠MCD ，2∠M﹣ ∠P ＝10 ° , 则∠PCM= .
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三．解答题（共 7 小题）
24 ．如图所示，已知AB聂CD ，LE ＝90 o ，那么LB+LD 等于多少度？为什么？请将说理过程补充完整；
解：过点 E 作EF聂AB，
得LB+LBEF ＝180 o ( ) .
因为 AB聂CD（已知），EF聂AB（已作），
所以EF聂CD ( ) .
得 （两直线平行，同旁内角互补），
所以LB+LBEF+L DEF+LD ＝ o ( ) .
即LB+L BED+LD ＝360 o ．
因为LBED ＝90 o （已知），
所以LB+LD ＝ o （等式性质）．
25 ．如图，AB聂CD ，LB ＝LD ，直线 EF 与 AD ，BC 的延长线分别交于点 E ，F，求证：LDEF＝LF．
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26 ．如图所示，直线 AB 、CD 相交于点 O ，OM⊥AB，
（1）若∠1 = ∠2 ，求∠NOD 的度数
（2）若 BOC，求∠AOC 和∠MOD 的度数．
27 ．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC， ∠1 = ∠2 ， ∠D = ∠3+60 ° , ∠CBD ＝70 ° . （1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C 的度数．
28 ．如图，已知∠1+∠2 ＝180 ° , ∠3 = ∠B ，试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系，并说明理由．
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29 ．如图，直线 AB ，CD 相交于点 O ，OE 平分∠BOC ，FO⊥CD 于点 O ，若∠BOD： ∠EOB ＝2 ：3 ，求∠AOF 的度数．
30 ．（1）【问题解决】如图 1 ，已知AB∥CD ， ∠BEP ＝36 ° , ∠CFP ＝152 ° , 求∠EPF 的度数；
（2）【问题迁移】如图 2 ，若 AB∥CD ，点 P 在 AB 的上方，则∠PFC ， ∠PEA ， ∠EPF 之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图 3 ，在（2）的条件下，已知∠EPF = α , ∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点 G ，求∠G 的度数（结果用含α 的式子表示）．
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七上第 4 章 相交线和平行线-单元测试（华师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 13 小题）
1 ．【答案】D
【分析】利用相交线的“三线八角 ”定义，进行逐个分析即可． 【解答】解：根据同位角、 内错角、同旁内角的定义进行判断， A ． ∠1和∠4 是内错角，故不符合题意；
B ． ∠1和∠2 是同旁内角，故不符合题意；
C ． ∠3和∠4 是同位角，故不符合题意；
D ． ∠2 和∠4 是同位角，故符合题意．故选：D．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角，内错角，同旁内角的定义．
2 ．【答案】A
【分析】分别利用平行公理推论、点到直线的距离的定义、垂直的性质、平行公理判断即可．
【解答】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故①正确；
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不正确；
过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故③不正确；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故④不正确；
所以正确的有① , 共 1 个．
故选：A．
【点评】本题考查平行公理及其推论，点到直线的距离的定义，垂直的性质，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键．
3 ．【答案】A
【分析】 由平行线的性质与互余的关系，即可求得： ∠1 = ∠2 ， ∠3 = ∠4 ， ∠4+∠5 ＝180 ° , ∠2+∠4 =90 ° ；又由等量代换，求得∠1+∠3 ＝90 ° .
【解答】解：如图，根据题意得：AB∥CD ， ∠FEG ＝90 ° , ∴ ∠1 = ∠2 ， ∠3 = ∠4 ， ∠4+∠5 ＝180 ° , ∠2+∠4 ＝90 ° ;故（1），（2），（3），（4）正确；
∴ ∠1+∠3 ＝90 ° .
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故（5）正确．
∴其中正确的共有 5 个．故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握：两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行， 内错角相等定理的应用．
4 ．【答案】C
【分析】当 3 根火柴棒有公共交点且两两垂直时，可拼出“三线十二角 ”，十二个角都是直角． 【解答】解：如图所示，
当 3 根火柴棒有公共交点且两两垂直时（是立体图形）图中说的是 AB ，CD ，EF 三根火柴棒，
可构成 12 个直角 (∠AOC， ∠BOC， ∠COE ， ∠COF， ∠AOD ， ∠BOD ， ∠DOF， ∠DOE ， ∠AOF， ∠BOF， ∠AOE ， ∠BOE）．
故选：C．
【点评】注意：本题容易忽略空间中的情况，是易错题．本题锻炼了学生思维的严密性和动手操作能力．
5 ．【答案】A
【分析】 由图知， ∠1+∠2 的和与∠3 的对顶角互补，故得出∠1+∠2+∠3 ＝180 ° 即可． 【解答】解：如图，
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∴ ∠1+∠2+∠4 ＝180 ° ,
∵对顶角∠3 = ∠4，
∴ ∠1+∠2+∠3 ＝180 ° ,
故选：A．
【点评】本题主要考查对顶角、邻补角的知识，熟练掌握对顶角和邻补角的知识是解题的关键．
6 ．【答案】D
【分析】根据平角的定义和垂直的定义可得α+β+90 ° = 180 ° , 据此求解即可．
【解答】解： ∵直线 l1 与 l2 相交于点 O ，OM⊥l1，
∴∠β+90 °+ ∠α = 180 ° ,
∵ ∠α =46 ° ,
∴∠β = 180 °﹣90 °﹣ ∠α = 180 °﹣90 °﹣46 ° =44 ° .
故选：D．
【点评】本题考查了邻补角、垂线的定义．能够正确利用邻补角、垂线的定义得出∠α+∠β+90 ° = 180 °是解本题的关键．
7 ．【答案】D
【分析】 由平行线的性质可得∠BCD = ∠B ＝35 ° , ∠BAE = ∠DCE ，再由角平分线的定义求得∠DCE =2∠BCD ，即可求∠BAE 的度数．
【解答】解： ∵AB∥CD ， ∠B ＝35 ° ,
∴ ∠BCD = ∠B ＝35 ° , ∠BAE = ∠DCE，
∵BC 平分∠ACD，
∴ ∠DCE ＝2∠BCD ＝70 ° ,
∴ ∠BAE ＝70 ° .
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．
8 ．【答案】A
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【分析】利用邻补角的性质结合∠AOC： ∠AOD ＝1 ：3 ，求出∠AOC，再利用对顶角相等即可求解． 【解答】解： ∵直线AB 、CD 相交于点 O，
∴ ∠AOC+∠AOD ＝180 ° ,
∵ ∠AOC： ∠AOD ＝1 ：3，
∴ ∠AOD ＝3∠AOC，
∴ ∠AOC+3∠AOC ＝180 ° ,
∴ ∠AOC ＝45 ° ,
∴ ∠BOD ＝45 ° ,
故选：A．
【点评】本题考查邻补角和对顶角，熟练掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键．
9 ．【答案】C
【分析】光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图：
∵AC∥BD ， ∠3 ＝100 ° ,
∴ ∠3 = ∠MAC ＝100 ° ,
∵AB∥CD，
∴ ∠MAC+∠2 ＝180 ° ,
∴ ∠2 ＝80 ° ,
∵ ∠1+∠2 ＝132 ° ,
∴ ∠1 ＝52 ° ,
∵AE∥BF，
∴ ∠1 = ∠FBM＝52 ° ,
∵EF∥AB，
∴ ∠4 = ∠FBM＝52 ° ,
故选：C．
第 12页（共 24页）
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
10 ．【答案】A
【分析】根据垂线的性质以及“两直线平行，同位角相等 ”可以推知∠EFC 的补角∠BFG 的度数，进而可以求得∠EFC 的度数．
【解答】解： ∵AB 与直线 l1 垂直，垂足为点 B ， ∠ABC ＝37 ° , ∴ ∠CBD ＝90 °﹣ ∠ABC ＝53 ° ;
又∵直线 l1 ∥l2，
∴ ∠CBD = ∠BFG ＝53 °（两直线平行，同位角相等）， ∴ ∠EFC ＝180 °﹣ ∠BFG ＝127 ° ;
方法二： ∠CBD 左侧的邻补角为 127 ° ,它与∠EFC 是同位角，
根据平行线的性质可得∠EFC ＝127 ° ;
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质、垂线的性质．本题通过相交线、垂线的组合图形来检查同学们观察、分析图形的能力．
11 ．【答案】B
【分析】 由 EF⊥AB ，CD⊥AB ，知 CD∥EF，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案； 【解答】解：已知EF⊥AB ，CD⊥AB ， ∴CD∥EF，
（1）若∠CDG = ∠BFE， ∵ ∠BCD = ∠BFE，
∴ ∠BCD = ∠CDG， ∴DG∥BC，
∴ ∠AGD = ∠ACB．
（2）若∠AGD = ∠ACB， ∴DG∥BC，
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∴ ∠BCD = ∠CDG ， ∠BCD = ∠BFE， ∴ ∠CDG = ∠BFE．
（3） 由题意知，EF∥DC， ∴ ∠BFE = ∠DCB<∠ACB，如图，
①当 DG∥BC 时，则∠AGD = ∠ACB＞∠BFE，即∠AGD 一定大于∠BFE；
②当 GD（GD ′ 、GD ″ ）与 BC 不平行时，
如图，设 DG∥BC，
当点 G ′在点 G 的上方时，
∵ ∠AG ′D＞AGD，
由①知， ∠AG ′D 一定大于∠BFE；
当点 G ″在点 G 的下方时，
见上图，则∠AG ″D 不一定大于∠BFE，综上， ∠AGD 不一定大于∠BFE；
（4）如果连接 GF，则 GF 不一定平行于 AB；
综上知：正确的说法有两个．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定．
12 ．【答案】D
【分析】到 l1 距离为 2 的直线有 2 条，到 l2 距离为 1 的直线有 2 条，这 4 条直线有 4 个交点，这 4 个交点就是“距离坐标 ”是（2 ，1）的点．
【解答】解：因为到 l1 距离为 2 的直线有 2 条，到 l2 距离为 1 的直线有 2 条，这 4 条直线有 4 个交点，这 4 个交点就是“距离坐标 ”是（2 ，1）的点，因而共有 4 个．
故选：D．
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【点评】本题用到的知识点为：到一条已知直线距离为定值的直线有两条．
13 ．【答案】B
【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．
【解答】解：
①若∠1 = ∠2 ，则 a ∥e ∥b ，则∠3 = ∠4 ，故此说法正确；
②若∠1+∠4 ＝180 ° , 由 a ∥b 得到， ∠5+∠4 ＝180 ° , 则∠1 = ∠5 ，则 c ∥d；故此说法正确；
③由 a ∥b 得到，∠5+∠4 ＝180 ° , 由∠2+∠3+∠5+180 °﹣ ∠1 ＝360 °得，∠2+∠3+180 °﹣ ∠4+180 ° ﹣ ∠1 ＝360 ° , 则∠4﹣ ∠2 = ∠3﹣ ∠1 ，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4 = ∠2+∠3 ＝180 °时， ∠1+∠2+∠3+∠4 ＝360 ° . 故此说法错误．故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
二．填空题（共 10 小题）
14 ．【答案】AB ，CD ，AB ，CD ，AB ，CD．
【分析】 由相交线的概念，即可得到答案．
【解答】解：直线 AB ，CD 相交于点 O ，点 P 在直线 AB 上，在直线 CD 外，也可以说直线 AB 经过点P ，而直线 CD 不经过点 P．
故答案为：AB ，CD ，AB ，CD ，AB ，CD．
【点评】本题考查相交线，关键是掌握相交线的概念．
15 ．【答案】见试题解答内容
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短． 【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
∴沿 AB 开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
16 ．【答案】28．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有 3 个交点；4 条直线两两相交，最多有 6 个交点；
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(
5
条直线两两相交，最多有
10
个交点总结出：在同一平面内，
n
条直线两两相交，则有
个交点，
代入即可求解
)【解答】解：．∵由已知总结出在同一平面内，n 条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8 条直线两两相交，交点的个数最多为
故答案为：28．
【点评】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．
17 ．【答案】5．
【分析】根据角平分线的性质直接回答即可．
【解答】解： ∵在△ABC 中， ∠C ＝90 ° , AD 平分∠CAB ，CD ＝5cm，
∴点 D 到直线AB 的距离等于 CD 的长，
即点 D 到直线AB 的距离是 5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，牢记角平分线的性质是解答本题的关键，难度不大．
18 ．【答案】20．
【分析】由平行线的判定“ 同位角相等，两直线平行 ”可知， ∠EGB = ∠EHD 时，AB∥CD ，即∠EGB需要变小 20 ° , 即将木棒 AB 绕点 G 逆时针旋转 20 ° 即可．
【解答】解：当∠EGB = ∠EHD 时，AB∥CD，
∵ ∠EGB ＝100 ° , ∠EHD ＝80 ° ,
∴ ∠EGB 需要变小 20 ° , 即将木棒 AB 绕点 G 逆时针旋转 20 ° .故答案为：20．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础．
19 ．【答案】50 ° .
【分析】先根据对顶角线段得到∠1 = ∠2 ＝130 ° , 再由邻补角互补即可得到答案． 【解答】解： ∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 = ∠2 ＝130 ° ,
∴ ∠3 ＝180 °﹣ ∠1 ＝50 ° ,
故答案为：50 ° .
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【点评】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
20 ．【答案】 ∠FHD； 同旁内角互补，两直线平行； ∠ABD；两直线平行，同位角相等； ∠2． 【分析】根据平行线的判定和性质及角平分线的定义证明即可．
【解答】解： ∵ ∠3+∠4 ＝180 °（已知），
∠FHD = ∠4（对顶角相等），
∴ ∠3+∠FHD ＝180 ° ,
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴ ∠1 = ∠ABD（两直线平行，同位角相等）， ∵BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠2，
∴ ∠1 = ∠2．
故答案为： ∠FHD； 同旁内角互补，两直线平行； ∠ABD；两直线平行，同位角相等； ∠2．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质及角平分线的定义是解题的关键．
21 ．【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况讨论，EF 在 AB ，CD 之间或 EF 在 AB ，CD 同侧，进而得出结论．
【解答】解：分两种情况：
①当 EF 在 AB ，CD 之间时，如图：
∵AB 与 CD 的距离是 12cm ，EF 与 CD 的距离是 5cm， ∴EF 与 AB 的距离为 12﹣5 ＝7（cm）．
②当 AB ，CD 在 EF 同侧时，如图：
∵AB 与 CD 的距离是 12cm ，EF 与 CD 的距离是 5cm， ∴EF 与 AB 的距离为 12+5 ＝17（cm）．
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综上所述，EF 与 AB 的距离为 7cm 或 17cm．
故答案为：7 或 17．
【点评】本题考查了平行线之间的距离．解题的关键是掌握平行线之间的距离的定义，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
22 ．【答案】见试题解答内容
【分析】过 F 作FH∥AB ，依据平行线的性质，可设∠ABF = ∠EBF= α = ∠BFH， ∠DCG = ∠ECG = β = ∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣ ∠F＝33 ° , 即可得到∠E 的度数．
【解答】解：如图，过 F 作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵ ∠DCE 的角平分线 CG 的反向延长线和∠ABE 的角平分线 BF 交于点 F，
∴可设∠ABF= ∠EBF = α = ∠BFH， ∠DCG = ∠ECG = β = ∠CFH，
∴ ∠ECF＝180 °﹣ β , ∠BFC = ∠BFH﹣ ∠CFH= α﹣β ,
∴四边形 BFCE 中， ∠E+∠BFC ＝360 °﹣α﹣（ 180 °﹣ β) = 180 °﹣ ( α﹣ β) = 180 °﹣ ∠BFC，即∠E+2∠BFC ＝180 ° , ①
又∵∠E﹣ ∠BFC ＝33 ° ,
∴ ∠BFC = ∠E﹣33 ° , ②
∴由①②可得， ∠E+2 (∠E﹣33 ° ) = 180 ° ,解得∠E ＝82 ° ,
故答案为：82 ° .
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等， ②两直线平行 内错角相等， ③两直线平行 同旁内角互补．
23 ．【答案】20 ° .
【分析】过点 M 作MN∥AB ，过点 P 作 PQ∥CD ，根据平行线的性质可得∠CPQ = ∠DCP ，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得 AB∥PQ ，从而可得∠BAP = ∠APQ ，然后利用角的和差关系可得
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LAPC ＝LAPQ _ LCPQ ，从而可得LAPC ＝LBAP _ LDCP ，同理可得LAMC ＝LBAM _ LDCM，再根据角平分线的定义可得LPAB ＝2LBAM，再根据已知易得LPCDLPCM，最后利用等量代换进行计算即可解答．
【解答】解：过点 M 作MN聂AB ，过点 P 作 PQ聂CD，
:PQ聂CD，
：LCPQ ＝LDCP，
:AB聂CD，
：AB聂PQ，
：LBAP ＝LAPQ，
: LAPC ＝LAPQ _ LCPQ， ：LAPC ＝LBAP _ LDCP， :MN聂AB，
：LBAM＝LAMN， :AB聂CD，
：CD聂MN，
：LDCM＝LCMN，
: LAMC ＝LAMN _ LCMN， ：LAMC ＝LBAM _ LDCM， :AM 平分LBAP，
：LPAB ＝2LBAM， : LPCM＝2LMCD，
: 2LAMC _ LAPC ＝10 o ，
：2（LBAM _ LDCM） _ （LBAP _ LDCP）＝10 o ，
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∴2∠BAM﹣2∠DCM﹣ ∠BAP+∠DCP ＝10 ° ,
3
∴ ∠PCM﹣ ∠PCM＝10 ° ,
2
解得： ∠PCM＝20 ° ,
故答案为：20 ° .
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共 7 小题）
24．【答案】两直线平行，同旁内角互补；平行于同一条直线的两条直线平行； ∠D+∠DEF＝180 ° ；360；等式的性质；270．
【分析】过点 E 作EF∥AB ，从而利用平行线的性质可得∠B+∠BEF ＝180 ° , 再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得 EF∥CD ，然后利用平行线的性质可得∠D+∠DEF＝180 ° , 从而利用等式的性质可得∠B+∠BED+∠D ＝360 ° , 最后进行计算即可解答．
【解答】解：过点 E 作EF∥AB，
得∠B+∠BEF ＝180 °（两直线平行，同旁内角互补），
因为 AB∥CD（已知），EF∥AB（已作），
所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）．
得∠D+∠DEF＝180 °（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D ＝360 °（等式的性质）．
即∠B+∠BED+∠D ＝360 ° ,
因为∠BED ＝90 °（已知），
所以∠B+∠D ＝270 °（等式性质），
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一条直线的两条直线平行；∠D+∠DEF＝180 °；360；等式的性质；270．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25 ．【答案】见解析．
【分析】由平行线的性质得到∠DCF= ∠B ，进而推出∠DCF= ∠D ，根据平行线的判定得到 AD∥BC，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】证明： ∵AB∥CD， ∴ ∠DCF= ∠B，
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∵ ∠B = ∠D，
∴ ∠DCF= ∠D，
∴AD∥BC，
∴ ∠DEF= ∠F．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟记两直线平行，同位角相等，内错角相等和内错角相等，两直线平行是解决问题的关键．
26 ．【答案】见试题解答内容
【分析】（1） 由垂线的性质求得∠AOM= ∠BOM＝90 ° , 然后根据等量代换及补角的定义解答；
（2）根据垂线的定义求得∠AOM= ∠BOM＝90 ° , 再由BOC 求得∠BOC ＝120 ° ；然后根据对顶角的性质及补角的定义解答即可．
【解答】解：（1） ∵OM⊥AB ， ∠1 = ∠2，
∴ ∠1+∠AOC = ∠2+∠AOC ＝90 ° , 即∠CON＝90 ° ;
又∠NOC+∠NOD ＝180 ° ,
∴ ∠NOD ＝90 ° ;
∵OM⊥ABBOC，
∴ ∠BOC ＝120 ° , ∠1 ＝30 ° ;
又∠AOC+∠BOC ＝180 ° ,
∴ ∠AOC ＝60 ° ;
而∠AOC = ∠BOD（对顶角相等），
∴ ∠MOD = ∠MOB+∠AOC ＝150 ° .
【点评】本题考查了垂线的性质．解题时，要注意领会由垂直得直角这一要点．
27 ．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2 = ∠A = ∠1 ，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3 ＝180 ° , 求出∠3 ，根据平行线的性质求出∠C 即可． 【解答】（1）证明： ∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴ ∠2 = ∠A，
∵ ∠1 = ∠2，
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∴ ∠1 = ∠A，
∴AB∥CD；
（2）解： ∵AB∥CD，
∴ ∠D+∠CBD+∠3 ＝180 ° ,
∵ ∠D = ∠3+60 ° , ∠CBD ＝70 ° ,
∴ ∠3 ＝25 ° ,
∵AB∥CD，
∴ ∠C = ∠3 ＝25 ° .
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有： ①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．
28 ．【答案】见试题解答内容
【分析】首先判断∠AED 与∠ACB 是一对同位角，然后根据已知条件推出DE∥BC，得出两角相等． 【解答】解： ∠AED = ∠ACB．
理由： ∵ ∠1+∠4 ＝180 °（平角定义）， ∠1+∠2 ＝180 °（已知）．
∴ ∠2 = ∠4．
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴ ∠3 = ∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
∵ ∠3 = ∠B（已知），
∴ ∠B = ∠ADE（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴ ∠AED = ∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
【点评】本题重点考查平行线的性质和判定，难度适中．
29 ．【答案】见试题解答内容
【分析】设∠BOD ＝2x ， ∠EOB ＝3x；根据题意列出方程 3x+3x+2x ＝180 ° , 得出 x ＝22.5 ° , 求出∠ AOC = ∠BOD ＝45 ° , 即可求出∠AOF＝90 °﹣ ∠AOC ＝45 ° .
【解答】解：设∠BOD ＝2x ， ∠EOB ＝3x； ∵OE 平分∠BOC，
∴ ∠COE = ∠EOB ＝3x，则 3x+3x+2x ＝180 ° ,
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解得：x ＝22.5 ° ,
∴ ∠BOD ＝45 ° ,
∴ ∠AOC = ∠BOD ＝45 ° ,
∵FO⊥CD，
∴ ∠AOF＝90 °﹣ ∠AOC ＝90 °﹣45 ° =45 ° .
【点评】本题考查了垂线、对顶角、邻补角的知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．
30 ．【答案】（1） ∠EPF 的度数为 64 ° ;
（2） ∠EPF= ∠PFC﹣ ∠PEA ，理由见解答；
1
（3） ∠G 的度数为 α . 2
【分析】（1）过点 P 作PG∥AB ，利用猪脚模型即可解答；
（2）过点 P 作PG∥AB ，从而可得∠EPG = ∠PEA，PG∥CD ，然后利用平行线的性质可得∠PFC = ∠ FPG ，从而利用角的和差关系以及等量代换即可解答；
（3）根据角平分线的定义可得∠GFC= ∠PFC， ∠GEA= ∠AEP ，然后利用（2）的结论进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点 P 作PG∥AB，
∴ ∠BEP = ∠EPG ＝36 ° ,
∵AB∥CD，
∴GP∥CD，
∴ ∠FPG ＝180 °﹣ ∠CFP ＝28 ° , ∴ ∠EPF= ∠EPG+∠FPG ＝64 ° , ∴ ∠EPF 的度数为 64 ° ;
（2） ∠EPF= ∠PFC﹣ ∠PEA，理由：过点 P 作PG∥AB，
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∴ ∠EPG = ∠PEA，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴ ∠PFC = ∠FPG，
∵ ∠EPF= ∠FPG﹣ ∠EPG， ∴ ∠EPF= ∠PFC﹣ ∠PEA；
（3） ∵FG 平分∠PFC ，EG 平分∠AEP， ∴ ∠GFCPFC， ∠GEA= ∠AEP，
由（2）可得： ∠G = ∠GFC﹣ ∠GEA， ∵ ∠EPF= ∠PFC﹣ ∠PEA = α
∴ ∠G = ∠GFC﹣ ∠GEA
1
(
2
)= α ,
1
∴ ∠G 的度数为 α . 2
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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