资源简介

七上数学：绝对值的化简与最值问题
一．选择题（共 10 小题）
1 ．如果 x 为有理数，式子 2023﹣ |x﹣2023|存在最大值，这个最大值是 ( )
A ．2023 B ．4046 C ．20 D ．0
2 ．已知 a＜0 ，b＞0 ，a+b＞0 ，则四个数 a+b ，|a+b| ，|a|+b ，a+|b|中，最大的是 ( )
A ．a+b B ．|a|+b C ．|a+b| D ．a+|b|
3 ．已知 abc＜0 ，a+b+c ＝0 ，若x 则 x 的最大值与最小值的乘积为 ( )
A ． ﹣24 B ．﹣ 12 C ．6 D ．24
4 ．已知数 a ，b ，c 的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；
④|a﹣b|+|c+b| ﹣|a﹣c| ＝0； ⑤若 x 为数轴上任意一点，则|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为 c﹣b ．其中正确结论的个数是 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
5 ．已知 a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|﹣ |a﹣ 1|+|b+2|的结果是 ( )
A ．1 B ．2a+2b+1 C ． ﹣2a+3 D ．﹣ 1
6．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+2|的几何意义是数轴上表示数 x 的点与表示数﹣2 的点的距离，|x﹣3|的几何意义是数轴上表示数 x 的点与表示数 3 的点的距离．当|x+2|+|x﹣3|取得最小值时，x 的取值范围是 ( )
A ．x ≤﹣2 B ． ﹣2≤x ≤3 C ．x ≤﹣2 或 x ≥3 D ．x ≥3
7 ．有理数 a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ( )
A ．﹣ 1 B ．1 C ．3 D ． ﹣3
8 ．已知|x﹣2|+3 的最小值是 a 那么 + + + 的值为 ( )
A ． ﹣2 B ．﹣ 1 C ．0 D ．不确定
第 1页（共 23页）
9 ．如图，A 、B 、C、D 是数轴上的四个整数所对应的点，且 B﹣A ＝C﹣B ＝D﹣C ＝1 ．而数 m 在 A 与 B之间，数 n 在 C 与 D 之间，若|m|+|﹣n| ＝3 且 A 、B 、C、D 中有一个是原点，则此原点可能是 ( )
A ．A 点或 D 点 B ．B 点或 D 点 C ．A 点 D ．D 点
10 ．已知有理数 a ，c ，若|a﹣2| ＝18 ，且 3|a﹣c| ＝|c| ，则所有满足条件的数 c 的和是 ( )
A ． ﹣6 B ．2 C ．8 D ．9
二．填空题（共 7 小题）
11 ．代数式|x﹣ 1|+|x+a|的最小值是 3 ，则 a 的值是 ．
12 ．|x﹣ 1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值= .
13 ．设﹣ 1≤x ≤3 ，则|x﹣x|+|x+2|的最大值与最小值之和为 ．
14 ．2|x+1|+|x﹣2|的最小值是 ．
15 ．实数 a ，b 满足|a+1|+|2﹣a| ＝8 ﹣|b+3| ﹣|b+8| ，则 a+b 的最小值为 ．
16 ．若（|x﹣2|+|x+3|） ×（|y+2|+|﹣4﹣y|）＝10 ，则 x﹣y 的最大值为 ．
17 ．已知：m= + + 且 abc＞0，a+b+c ＝0 ．则 m 共有 x 个不同的值，若在这些不同的 m值中，最大的值为y ，则 x+y = .
三．解答题（共 8 小题）
18 ．如图 1 ，点 A ，B ，C 是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5 ，b ，4 ．某同学将刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的数字 0 对齐数轴上的点 A ，发现点 B 对齐刻度 1.8cm ，点 C 对齐刻度 5.4cm．
（1）求数轴上点 B 所对应的数b；
（2）点 P 是图 1 数轴上一点，P 到 A 的距离是到 B 的距离的两倍，求点 P 所表示的数；
（3） 若点 Q 在数轴上表示的数为 x ，则|x+5|+|x ﹣4|的最小值为 ，|x+5| ﹣ |x ﹣4|的最大值为 ．
第 2页（共 23页）
19 ．（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点 A 、B 在数轴上分别对应的数为 a 、b ，则 A 、B 两点间的距离可表示为|a﹣b| ＝AB ．（完成下面填空）
Ⅰ. 数轴上有三点A 、B 、P ，分别对应的数为﹣3 、2 、x．
如图① , 当 x ≤﹣3 时，|x+3|+|x﹣2| ＝PA+PB ＝PA+PA+AB ＝2PA+AB ＝2PA+5；
如图② , 当﹣3≤x ≤2 时，|x+3|+|x﹣2| ＝PA+PB ＝ ＝5；
如图③ , 当 x ≥2 时，|x+3|+|x﹣2| ＝PA+PB ＝PB+AB+PB ＝ +AB ＝2PB+5．
Ⅱ. 由 Ⅰ可得： ∵PA≥0 ，PB≥0，
∴2PA+5≥5 ，2PB+5≥5，
∴|x+3|+|x﹣2|在﹣3≤x ≤2 时有最小值为 ．
（2）直接应用：求|x﹣4|+|x+5|的最小值．
（3）应用拓展：若 S＝|x﹣ 1|+|x+2|+|x﹣6| ，当﹣2≤x ≤6 时，直接写出 S 的取值范围 ．
20 ．数学实验室：
阅读下面材料，回答问题： 已知点A 、B 在数轴上分别表示有理数 a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ．数轴上 A 、B 两点的距离 AB ＝|a﹣b| ，如数轴上表示 4 和﹣ 1 的两点之间的距离是 5 ，利用上述结论，回答以下问题：
（1 ）数轴上表示 2 和 6 的两点之间的距离是 ，数轴上表示 1 和 ﹣4 的两点之间的距离是 ；
（2）若表示数 a 和﹣3 的两点之间的距离是 5 ，那么 a = ;
（3）若数轴上表示数 a 的点位于﹣ 1 与 8 之间，则|a+1|+|a ﹣8|的值为 ；
（4）若 x 表示一个有理数，且|x﹣2|+|x+4|＞6 ，则有理数 x 的取值范围 ；
（5）若未知数 x，y 满足（|x+5|+|x﹣2|）（|y﹣ 1|+|y+3|）＝28 ，求代数式 x+y 的最小值和最大值．
解：对于代数式|x+5|+|x﹣2| ，数轴上，当 x 在 ﹣5 和 2 之间时，表示 x 的点到﹣5 与 2 的距离和最小，最小值为 7，
同理，对于|y﹣ 1|+|y+3| ，数轴上，当y 在﹣3 和 1 之间时，y 到﹣3 和 1 的距离和最小，最小值为 4，
第 3页（共 23页）
又∵（|x+5|+|x﹣2|）（|y﹣ 1|+|y+3|）＝28， ∴x 的取值范围是 ；
y 的取值范围是 ． ∴x+y 的最大值为 ；
x+y 的最小值为 ．
21 ．同学们都知道，|5﹣ ( ﹣2）|表示 5 与﹣2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与﹣2 丙数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）计算|5﹣ ( ﹣2）| = ;
（2）使得|x﹣ 1|+|x+5| ＝6 这样的整数有 （写出所有符合条件的整数）；
（3） 由以上探索猜想对于任何有理数 x ，式子|x﹣2|+|x+3.5|最小值= .
22 ．同学们都知道，|5﹣ ( ﹣2）|表示 5 与﹣2 之差的绝对值，实际上也可理解为 5 与﹣2 两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5﹣ ( ﹣2）| = .
（2）找出所有符合条件的整数 x ，使得|x+5|+|x﹣2| ＝7 这样的整数是 ．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数 x ，|x﹣a+1|+|x﹣a﹣6|是否有最小值？如果有，请列式并写出最小值；如果没有，请说明理由．
第 4页（共 23页）
23 ．【阅读】在数轴上，若点 A 表示数 a ，点 B 表示数 b ，则点 A 与点 B 之间的距离为 AB ＝|a﹣b| ．例如：两点 A ，B 表示的数分别为 3 ，﹣ 1 ，那么 AB ＝|3﹣ ( ﹣ 1）| ＝4．
（1）若|x﹣2| ＝1 ，则 x 的值为 ；
（2）当 x ＝ （x 是整数）时，式子|x﹣ 1|+|x+2| ＝3 成立；
（3）在数轴上，点 A 表示数 a ，点 P 表示数p ．我们定义：当|p﹣a| ＝1 时，点 P 叫点 A 的 1 倍伴随点，当|p﹣a| ＝2 时，点 P 叫点 A 的 2 倍伴随点， …当|p﹣a| ＝n 时，点 P 叫点 A 的 n 倍伴随点．试探究以下问题：若点 M 是点 A 的 1 倍伴随点，点 N 是点 B 的 2 倍伴随点，是否存在这样的点 A 和点 B ，使得点M 恰与点 N 重合，若存在，求出 A 点与 B 点之间的距离；若不存在，请说明理由．
24 ．如图，请回答问题：
（1）点 B 表示的数是 ，点 C 表示的数是 ．
（2）折叠数轴，使数轴上的点 B 和点 C 重合，则点A 与数字 重合．
（3）m 、n 两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n| ，如 5 与﹣2 两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣ ( ﹣2）| ，从而很容易就得出在数轴上表示 5 与﹣2 两点之间的距离是 7．
①若 x 表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值= .
②若 x 表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3| ＝7 ，则满足条件的所有整数 x 的和是 ．
③当 x ＝ 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当 x 取何值时，2|2x﹣ 1|+|3x﹣2|+|xx﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
第 5页（共 23页）
25 ．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合 ”的基础．
（1）在数轴上标示出﹣4 、 ﹣3 、 ﹣2 、4；
（2）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
①数轴上表示 4 和﹣2 的两点之间的距离是 ，表示﹣2 和﹣4 两点之间的距离是 ；
②一般地，数轴上表示数 m 和数 n 的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数 a 和﹣2 的两点之间的距离是 3 ，即|a﹣ ( ﹣2）| ＝3 ，那么 a = ;
③若数轴上表示数 a 的点位于﹣3 和 2 之间，则|a+3|+|a﹣2|的值是 ；
④当 a 取 时，|a+5|+|a﹣ 1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
第 6页（共 23页）
七上数学：绝对值的化简与最值问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1 ．【答案】A
【分析】根据绝对值的非负性，可知|x﹣2023|≥0 ，得出式子 2023﹣ |x﹣2023|存在最大值，即可选出答案．
【解答】解： ∵绝对值具有非负性，
∴|x﹣2023|≥0，
∵2023 ﹣|x﹣2023|有最大值，
∴当|x﹣2023| ＝0 时，式子有最大值，此时的值是 2023 ，故 A 正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是非负数的性质﹣绝对值，掌握绝对值具有非负性是解题的关键．
2 ．【答案】B
【分析】根据 a＜0 ，b＞0 ，得出 b＞a+b ，|a|+b＞b ，b＞|a+b| ，再比较出 b＞a+|b| ，即可得出最大的数． 【解答】解： ∵a＜0 ，b＞0，
∴b＞a+b ，|a|+b＞b ，b＞|a+b|， ∴最大的数是|a|+b；
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是任意一个数加上一个负数一定小于它本身，加上一个正数一定大于它本身
3 ．【答案】A
【分析】根据 abc＜0 ，a+b+c ＝0 判断出 a 、b 、c 只能是一负两正，然后分情况讨论：当 a 、b 为正，c为负时；当 a 、c 为正，b 为负时；当 b 、c 为正，a 为负时；分别计算 x 的值，即可得出答案．
【解答】解： ∵abc＜0，
∴a 、b 、c 中一负两正或三负，
∵a+b+c ＝0，
∴a 、b 、c 不可能三负，只能是一负两正， ∵a+b+c ＝0，
∴b+c = ﹣a ，a+c = ﹣b ，a+b = ﹣c，
第 7页（共 23页）
当 a 、b 为正，c 为负时，
第 8页（共 23页）
a
= +
a
2b __3C
(
C
)b
= 1+2+3
=6；
当 a 、c 为正，b 为负时，
= 1﹣2﹣3
= ﹣4；
当 b 、c 为正，a 为负时，
= |__a| + 2|__b| __ 3|__C|
a b C
= ﹣ 1+2﹣3
= ﹣2；
则 x 的最大值与最小值的乘积为 6× ( ﹣4）= ﹣24，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，注意分类讨论思想的应用．
4 ．【答案】B
【分析】由数轴得 c ＞a＞0＞b ，|c|＞|b|＞|a| ，然后根据有理数的运算法则以及绝对值的意义逐项判断即可．
【解答】解： 由数轴得：c ＞a＞0＞b ，|c|＞|b|＞|a|，所以： ①ab+ac＞0 ，结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0 ，原结论错误；
原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b| ﹣|a﹣c| ＝a﹣b+c+b﹣（c﹣a）＝2a ，原结论错误；
⑤∵|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的几何意义为表示 x 的点到表示数 a 、b 、c 的点的距离之和， ∴其最小值为表示数b 、c 的两点之间的距离，即 c﹣b ，结论正确；
综上，正确结论的个数是 2 个．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，有理数的运算，绝对值的意义，正确记忆相关知识点是解题关键．
5 ．【答案】A
【分析】观察数轴得出 a < ﹣2 ，1＜b＜2 ，进一步得出 a+b＜0 ，a﹣ 1＜0 ，b+2＞0 ，再根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解： 由数轴得，a < ﹣2 ，1＜b＜2， ∴a+b＜0 ，a﹣ 1＜0 ，b+2＞0，
∴|a+b|﹣ |a﹣ 1|+|b+2|
= ﹣a﹣b﹣（ 1﹣a）+（b+2） = ﹣a﹣b﹣ 1+a+b+2
= 1，
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，熟练掌握数形结合思想是解题的关键．
6 ．【答案】B
【分析】以﹣2 和 3 为界点，将数轴分成三部分，对 x 的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【解答】解：如图，
当 x < ﹣2 时，x+2＜0 ，x ﹣3＜0 ，|x+2|+|x ﹣3| = ﹣（x+2）﹣（x﹣3）= ﹣x﹣2﹣x+3 = ﹣2x+1＞5；当 x＞3 时，x+2＞0 ，x ﹣3＞0 ，|x+2|+|x﹣3| ＝x+2+x﹣3 ＝2x﹣ 1＞5；
当﹣2≤x ≤3 时，x+2≥0 ，x﹣3≤0 ，|x+2|+|x ﹣3| ＝x+2﹣（x﹣3）＝x+2﹣x+3 ＝5；综上所述，当﹣2≤x ≤3 时，|x+2|+|x﹣3|取得最小值，
所以当|x+2|+|x﹣3|取得最小值时，x 的取值范围是﹣2≤x ≤3．
故选：B．
第 9页（共 23页）
【点评】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以﹣2 和 3 为界点对 x 的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
7 ．【答案】D
【分析】根据数轴可以得到﹣ 1＜a＜0＜b＜1 ，|a|＜|b| ，然后即可将所求式子的绝对值去掉，再化简即可．
【解答】解： 由数轴可得， ﹣ 1＜a＜0＜b＜1 ，|a|＜|b|，
第 10页（共 23页）
__a
= +
a
1__b a+b b__1 a+b
= ﹣ 1+ ( ﹣ 1）﹣ 1
= ﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的混合运算、数轴，解答本题的关键是明确题意，将所求式子的绝对值去掉．
8 ．【答案】C
【分析】根据题意，因为|x﹣2|+3 的最小值是 a，求出 a ＝3，得出 因为 + + =__ 1，所以 得出 = =__ 1 ，所以 b＜0 ，c＜0 ，所以 ab＜0 ，bc＞0 ，ac＜0 ，abc＞0 ，求出 ﹣ 1+1 ＝0 ，据此解答．
【解答】解： ∵|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|的最小值是 0，
∵|x﹣2|+3 的最小值是 a，
∴a ＝3．
∴b＜0 ，c＜0，
(
|
ab
| |
bc
|
|
ac
|
|
abc
|
)∴ + + +
ab bc ac abc
= ﹣ 1+1+ ( ﹣ 1）+1
=0．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的应用，解决本题的关键是判断出 a 、b 、c 的大小．
9 ．【答案】A
【分析】先利用数轴特点确定 m ，n 的关系，从而求出 m ，n 的值，再确定原点．
【解答】解： 由“B﹣A ＝C﹣B ＝D ﹣C ＝2 且数 m 在 A 与 B 之间，数 n 在 C 与 D 之间 ”可以得出：
各个点在数轴上的排列顺序为：A＜m＜B＜C＜n＜D，
又因为各点为整数点，
所以可得：n﹣m ＝2① ,
结合|m|+|﹣n| ＝3② ,
当 m＞0 或 m ＝0 时，有 n＞0，
则②式变为 m+n ＝3③ ,
由①③可得：m ＝0.5 ，n ＝2.5 ，此时可知数轴原点为 A；
当 m＜0 ，n＞0 或 n ＝0 时， ②式变为：n﹣m ＝3 这与①式矛盾，不成立；当 m＜0 ，n＜0 时， ②式变为： ﹣m﹣n ＝3④ ,
由①④可得：m = ﹣2.5 ，n = ﹣0.5 ，此时可知数轴原点为 D．
综上可知：数轴原点可能是 A 点或 D 点．
故选：A．
【点评】主要考查了数轴和绝对值．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．
10 ．【答案】D
【分析】利用绝对值的意义求得 a 值，再利用绝对值的意义求得 c 值，最后将所有满足条件的数 c 的值相加即可得出结论．
【解答】解： ∵|a﹣2| ＝18， ∴a﹣2 = ± 18，
∴a ＝20 或 a = ﹣ 16．当 a ＝20 时，
第 11页（共 23页）
∵3|a﹣c| ＝|c|，
∴3|20﹣c| ＝|c|，
∴3（20﹣c）＝c 或 3（20﹣c）= ﹣c，
∴c ＝15 或 c ＝30．
当 a = ﹣ 16 时，
∵3|a﹣c| ＝|c|，
∴3|﹣ 16﹣c| ＝|c|，
∴3 ( ﹣ 16﹣c）＝c 或 3 ( ﹣ 16﹣c）= ﹣c，
∴c = ﹣ 12 或 c = ﹣24．
∴所有满足条件的数 c 的和是：15+30﹣ 12﹣24 ＝9，
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的加法与有理数的减法，绝对值的意义，利用分类讨论的方法解答是解题的关键．
二．填空题（共 7 小题）
11 ．【答案】a ＝2 或﹣4．
【分析】根据该代数式的最小值，得到关于 a 的方程，求出 a 的值即可．
【解答】解：|x﹣ 1|+|x+a|≥|a+1|，
故|a+1| ＝3 ，解得：a ＝2 或﹣4，
故答案为：a ＝2 或﹣4．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
12 ．【答案】见试题解答内容
【分析】对|x﹣ 1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|整理变形可得，（|x﹣ 1|+|x ﹣5|）+|x﹣3|+（|x﹣4|+|x﹣2|），其几何意义为 x 表示的点到 1 与 5 ，2 与 4 ，3 三部分距离之和最小，借助数轴分析可得答案．
【解答】解：|x﹣ 1|+|x﹣2|+|x ﹣3|+|x﹣4|+|x ﹣5| ＝（|x﹣ 1|+|x﹣5|）+|x﹣3|+（|x﹣4|+|x﹣2|），其几何意义为 x 表示的点到 1 与 5 、2 与 4 、3 三部分距离之和最小，
借助数轴分析可得，当 x ＝3 时，这三部分和最小，则其最小值为 6，
故答案为 6．
【点评】本题考查绝对值的几何意义，即这个数表示的点到原点的距离．
第 12页（共 23页）
13 ．【答案】8.5
【分析】先根据 1≤x ≤3 ，确定 x﹣ 1 与 x ﹣3 的符号，再根据绝对值的意义求解即可．
【解答】解： ∵﹣ 1≤x ≤3，
当﹣ 1≤x＜0 时，|x﹣x|+|x+2| ＝3﹣x x+x x +5 ，最大值为 5 ，最小值为 4.5；
当 0≤x ≤3 时，|x﹣x|+|x+2| ＝3﹣x x+x x +5 ，最大值为 5 ，最小值为 3.5， ∴最大值与最小值之和为 8.5；
故答案为：8.5．
【点评】此题主要考查了绝对值函数最值求法，利用分类讨论得出是解题关键．
14 ．【答案】3．
【分析】分区间讨论 2|x+1|+|x﹣2|的最小值． 【解答】解： ①当 x ≤﹣ 1 时，
2|x+1|+|x﹣2| = ﹣2﹣2x+2﹣x = ﹣3x， ﹣3x≥3，
②当﹣ 1＜x＜2 时，
2|x+1|+|x﹣2| ＝2x+2﹣x+2 ＝x+4， x+4∈（3 ，6），
③当2≤x 时，
2|x+1|+|x﹣2| ＝2x+2+x﹣2 ＝3x， 3x≥6，
∴2|x+1|+|x﹣2|的最小值是 3，故答案为：3．
【点评】本题考查了绝对值的应用，关键是分区间讨论．
15 ．【答案】 ﹣9．
【分析】利用绝对值的定义：“绝对值代表与原点的距离 ”可知答案． 【解答】解： ∵|a+1|+|2﹣a| ＝8﹣ |b+3|﹣ |b+8|，
∴|a+1|+|a﹣2|+|b+3|+|b+8| ＝8，
表示 a 到﹣ 1 ，2 的距离与 b 到﹣3 ， ﹣8 的距离之和为 8， ∵﹣ 1≤a ≤2 时，|a+1|+|a﹣2| ＝3，
﹣8≤b≤﹣3 时，|b+3|+|b+8| ＝5，
第 13页（共 23页）
∴﹣ 1≤a ≤2 ， ﹣8≤b≤﹣3，
∴a+b≥ ( ﹣ 1）+ ( ﹣8）= ﹣9．故答案为： ﹣9．
【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键．
16 ．【答案】6．
【分析】先求出 x 、y 的取值范围，从而得解．
【解答】解： ∵|x﹣2|+|x+3|表示数轴上表示 x 的点到表示 2 与﹣3 的点的距离之和，
∴|x﹣2|+|x+3|≥2﹣ ( ﹣3）＝5 ，当且仅当﹣3≤x ≤2 取等号，
同理可得：|y+2|+|﹣4﹣y| ＝|y+2|+|y+4|≥﹣2﹣ ( ﹣4）＝2 ，当且仅当﹣4≤y≤﹣2 取等号， ∴（|x﹣2|+|x+3|） ×（|y+2|+|﹣4﹣y|） ≥10 ，当且仅当﹣3≤x ≤2 ， ﹣4≤y≤﹣2 取等号．即当﹣3≤x ≤2 ， ﹣4≤y≤﹣2 时，（|x﹣2|+|x+3|） ×（|y+2|+|﹣4﹣y|）＝10
∴﹣3≤x ≤2 ，2≤﹣y≤4，
∴﹣3+2≤x﹣y≤2+4 ，即﹣ 1≤x﹣y≤6， ∴x﹣y 的最大值为 6，
故答案是：6．
【点评】本题考查|x﹣a|的几何意义，不等式的性质等知识，掌握|x﹣a|的几何意义是解题的关键．|x﹣ a|的几何意义：数轴上，表示数 x 与 a 的点之间的距离．
17 ．【答案】3．
【分析】根据 abc＞0 ，a+b+c ＝0 ，可以知道 a ，b ，c 中有 2 个负数，1 个正数，然后分三种情况分别计算 m 的值，从而得到 m 的最大值和最小值，从而得出答案．
【解答】解： ∵abc＞0 ，a+b+c ＝0，
∴当 a＞0 ，b＜0 ，c＜0，
a+b = ﹣c＞0 ，b+c = ﹣a＜0 ，c+a = ﹣b＞0，
= ﹣ 1+2﹣3
= ﹣2；
当 a＜0 ，b＞0 ，c＜0，
a+b = ﹣c＞0 ，b+c = ﹣a＞0 ，c+a = ﹣b＜0，
第 14页（共 23页）
∴m= + +
= ﹣ 1﹣2+3
=0；
当 a＜0 ，b＜0 ，c＞0，
a+b = ﹣c＜0 ，b+c = ﹣a＞0 ，c+a = ﹣b＞0，
= 1﹣2﹣3
= ﹣4；
m 共有 3 个不同的值， ∴x ＝3，
∴m 的最大值为 0 ∴y ＝0，
∴x+y ＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0 的绝对值等于 0 是解题的关键．
三．解答题（共 8 小题）
18 ．【答案】（1） ﹣2；
（2） ﹣3 或 1；
（3）9 ，9．
【分析】（1） 由图 1 和图 2 对应的线段成比例可求解；
（2）设点 P 所表示的数 a ，分两种情况： ①当﹣5≤a ≤﹣2 时， ②当 a ＞﹣2 时，根据 P 到 A 的距离是到 B 的距离的两倍，可得 a 的值，即可求解；
（3）根据|x+5|+|x﹣4|所表示的意义，得出当 x 处在数轴上表示﹣5 和表示 4 之间时，|x+5|+|x﹣4|的值最小，最小值为 9 ，当 x 处在 4 的右边时，|x+5|﹣ |x﹣4|的值最大，也是 9．
【解答】解：（1） 由图 1 可得 AC ＝4﹣ ( ﹣5）＝9 ，由图 2 可得 AC ＝5.4cm，
第 15页（共 23页）
∴b = ﹣2，
即数轴上点 B 所对应的数 b 为﹣2；
（2）设点 P 所表示的数 a；
①当﹣5≤a ≤﹣2 时，PA ＝2PB，则 a+5 ＝2 ( ﹣2﹣a），
解得：a = ﹣3；
②当 a ＞﹣2 时，PA ＝2PB，则 a+5 ＝2（a+2），
解得：a ＝1；
∴点 P 所表示的数为﹣3 或 1；
（3）当﹣5≤x ≤4 时，|x+5|+|x﹣4|的值最小，最小值为 9，
当 x＞4 时，|x+5|﹣ |x﹣4|的值最大，也是 9．
故答案为：9 ，9．
【点评】本题考查数轴表示数，绝对值，理解绝对值的意义，掌握数轴表示数的方法是解决问题的关键．
19 ．【答案】（1） ⅠAB ，2PB； Ⅱ5；
（2）9；
（3）8≤S≤13．
【分析】（1） Ⅰ根据图形直观得出答案；
Ⅱ根据|x+3|+|x﹣2|所表示的意义进行计算即可；
（2）根据|x﹣4|+|x+5|所表示的意义，得出当﹣5≤x ≤4 时，其值最小；
（3）根据 S＝|x﹣ 1|+|x+2|+|x﹣6| ，当﹣2≤x ≤6 时，进而得出 S ＝|x﹣ 1|+8 ，再求出其取值范围即可． 【解答】解：（1） Ⅰ如图② , 当﹣3≤x ≤2 时，|x+3|+|x﹣2| ＝PA+PB ＝AB ＝5，
故答案为：AB；
如图③ , 当 x ≥2 时，|x+3|+|x﹣2| ＝PA+PB ＝PB+AB+PB ＝2PB+AB ＝2PB+5，故答案为：2PB；
Ⅱ 由 Ⅰ可得： ∵PA≥0 ，PB≥0，
∴2PA+5≥5 ，2PB+5≥5，
第 16页（共 23页）
∴|x+3|+|x﹣2|在﹣3≤x ≤2 时有最小值为 5，
故答案为：5；
（2）|x﹣4|+|x+5|所表示的意义为：数轴表示数 x 点到表示数 4 ，数﹣5 点的距离之和，当﹣5≤x ≤4 时，|x﹣4|+|x+5|的最小值为|﹣4 ﹣5| ＝9，
答：|x﹣4|+|x+5|的最小值为 9；
（3）S ＝|x﹣ 1|+|x+2|+|x ﹣6| ，当﹣2≤x ≤6 时，S ＝|x﹣ 1|+8，当 x ＝1 时，S 的值最小为 8，
当 x ＝6 时，S 的值最大为 13，
所以 S 的值的取值范围为 8≤S≤13，故答案为：8≤S≤13．
【点评】本题考查数轴表示数，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法是正确解答的前提．
20 ．【答案】（1）4 ，5；
（2）2 或﹣8；
（3）9；
（4）x < ﹣4 或 x＞2；
（5） ﹣5≤x ≤2 ， ﹣3≤y≤1 ，3 ， ﹣8．
【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
（2）根据数轴上两点距离的计算方法得到|a+3| ＝5 ，进而求出 a 的值即可；
（3）根据|a+1|+|a ﹣8|所表示的几何意义可知，当﹣ 1≤a ≤8 时，|a+1|+|a ﹣8|最小，最小值为 9；
（4） 由于当﹣4≤x ≤2 时，|x﹣2|+|x+4|的值最小，最小值为 6 ，因此可得出|x﹣2|+|x+4|＞6 时 x 的取值范围即可；
（5）根据|x+5|+|x﹣2|与|y﹣ 1|+|y+3|的几何意义，可求出|x+5|+|x﹣2|的最小值为 7 ，|y﹣ 1|+|y+3|的最小值为 4 ， 由（4）可得 x 、y 的取值范围，再根据（|x+5|+|x﹣2|）（|y﹣ 1|+|y+3|） ＝28 ，进而求出 x 、y 的最大值、最小值即可．
【解答】解：（1）数轴上表示 2 和 6 的两点之间的距离是|2 ﹣6| ＝4 ，数轴上表示 1 和﹣4 的两点之间的
距离是|1﹣ ( ﹣4）| ＝5，故答案为：4 ，5；
（2） 由题意可知，|a+3| ＝5，
即 a+3 ＝5 或 a+3 = ﹣5，
第 17页（共 23页）
解得 a ＝2 或 a = ﹣8，
故答案为：2 或﹣8；
（3） ∵数轴上表示数 a 的点位于﹣ 1 与 8 之间，即﹣ 1≤a ≤8， ∴|a+1|+|a ﹣8| ＝|1﹣ ( ﹣8）| ＝9，
故答案为：9；
（4）当﹣4≤x ≤2 时，|x﹣2|+|x+4|的值最小，此时|x﹣2|+|x+4| ＝|﹣2﹣4| ＝6， ∵|x﹣2|+|x+4|＞6，
∴x < ﹣4 或 x＞2，
故答案为：x < ﹣4 或 x＞2；
（5）对于代数式|x+5|+|x﹣2| ，数轴上，当 x 在﹣5 和 2 之间时，表示 x 的点到﹣5 与 2 的距离和最小，最小值为 7，
同理，对于|y﹣ 1|+|y+3| ，数轴上，当y 在﹣3 和 1 之间时，y 到﹣3 和 1 的距离和最小，最小值为 4，又∵（|x+5|+|x﹣2|）（|y﹣ 1|+|y+3|）＝28，
∴x 的取值范围是﹣5≤x ≤2；
y 的取值范围是﹣3≤y≤1； ∴x+y 的最大值为 2+1 ＝3 ， x+y 的最小值为﹣5﹣3 ＝8．
故答案为： ﹣5≤x ≤2 ， ﹣3≤y≤1 ，3 ， ﹣8．
【点评】本题考查数轴表示不等式的解集，绝对值以及有理数的运算，理解绝对值的定义，掌握数轴表示不等式解集的方法是正确解答的关键．
21 ．【答案】（1）7；
（2） ﹣5 ， ﹣4 ， ﹣3 ， ﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1；
（3）5.5．
【分析】（1）根据数轴上 5 和 ( ﹣2）之间的距离是 7 即可得出结果；
（2）根据数轴上到 ( ﹣5）和 1 的距离和是 6 判断 x 的取值范围，再得出整数值即可；
（3） 由以上探索知，到两点间距离和有最小值，即为两点间的距离得出结论即可．
【解答】解：（1） ∵数轴上 5 和 ( ﹣2）之间的距离是 7，
故答案为：7；
（2） 由题知，x 到 ( ﹣5）和 1 的距离和是 6，
∴﹣5≤x ≤1，
第 18页（共 23页）
∴满足条件的所有整数值有： ﹣5 ， ﹣4 ， ﹣3 ， ﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1，
故答案为： ﹣5 ， ﹣4 ， ﹣3 ， ﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1；
（3） 由以上探索知，到两点间距离和有最小值，即为两点间的距离，
∴|x﹣2|+|x+3.5|有最小值，即为 2 到﹣3.5 的距离为 5.5，
故答案为：5.5．
【点评】本题主要考查数轴和绝对值的知识，熟练掌握绝对值可以表示数轴上两点间的距离是解题的关键．
22 ．【答案】（1）7；
（2）： ﹣5 ， ﹣4 ， ﹣3 ， ﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1 ，2；
（3）|x﹣a+1|+|x﹣a﹣6|有最小值，最小值是 7．
【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得；
（2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数 x ，再利用有理数的加减运算法则求和即可得；
（3） 由（2）的方法去绝对值，即可得．
【解答】解：（1）|5﹣ ( ﹣2）| ＝|5+2| ＝7，
故答案为：7；
（2）当 x＞2 时，|x+5|+|x﹣2| ＝x+5+x﹣2 ＝7 ，解得 x ＝2（舍去），故此种情况不存在；
当﹣5≤x ≤2 时，|x+5|+|x﹣2| ＝x+5+2﹣x ＝7，
此时，使得|x+5|+|x﹣2| ＝7 的整数是﹣5 ， ﹣4 ， ﹣3 ， ﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1 ，2；
当 x < ﹣5 时，|x+5|+|x﹣2| = ﹣x﹣5+2﹣x = ﹣2x﹣3 ＝7 ，解得 x = ﹣5（舍去），故此种情况不存在；
故答案为： ﹣5 ， ﹣4 ， ﹣3 ， ﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1 ，2；
（3）|x﹣a+1|+|x﹣a﹣6|有最小值，最小值是 7，
由（2）的探索可得，
当 a﹣ 1≤x ≤a+6 时，|x﹣a+1|+|x﹣a﹣6| ＝x﹣a+1﹣x+a+6 ＝7，故|x﹣a+1|+|x﹣a﹣6|有最小值，最小值是 7．
【点评】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
23 ．【答案】（1）） 1 或 3 ；（2） ﹣2 或﹣ 1 或 0 或 1 ；（3）存在，1 或 3．
【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离计算公式，即可求解；
（2）根据题意可得|x﹣ 1|+|x+2| ＝3 表示 x 的点到表示 1 的点和表示﹣2 的点的距离之和为 3 ，由此分图1 ，图 2 ，图 3 三种情况讨论求解即可；
第 19页（共 23页）
（3）设点 M 表示的数为 m ，则点 M 与点 N 重合时，点 N 表示的数为 m ，根据题意可得 m ＝a ± 1 ＝b ±2 ，然后分四种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1） 由题意得，|x﹣2| ＝1 表示数轴上表示 x 的数到表示 2 的数的距离为 1，
∴x ＝3 或 x ＝1，
故答案为：1 或 3；
（2）|x﹣ 1|+|x+2| ＝3 表示的是表示数 x 的点到表示数 1 的点的距离和表示数﹣2 的点的距离之和，
分下列三种情况： ①当表示数 x 的点在﹣2 到 1 之间时，此时|x﹣ 1|+|x+2| ＝3 成立；
满足条件的 x 的整数为﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1；
②当表示数 x 的点在﹣2 左侧时，
此时|x﹣ 1|+|x+2|＞3 ，不存在这样的点；
③表示数 x 的点在 1 右侧时，
此时|x﹣ 1|+|x+2|＞3 ，不存在这样的点．故答案为： ﹣2 或﹣ 1 或 0 或 1．
（3）存在，理由如下：
设点 M 所表示的数位 m ，点 A 所表示的数为 a ，点 B 所表示的数为b， ∵点 M 和 N 重合，
∴点 N 所表示的数为 n，
∵点 M 是点 A 的 1 倍伴随点，点 N 是点 B 的 2 倍伴随点， ∴|m﹣a| ＝1 ，|m﹣b| ＝2，
∴m ＝a ±1 ＝b±2，
当 a+1 ＝b+2 时，a﹣b ＝1 ，此时 AB ＝1；
当 a+1 ＝b﹣2 时，a﹣b = ﹣3 ，此时 AB ＝3；
当 a﹣ 1 ＝b+2 时，a﹣b ＝3 ，此时 AB ＝3；
当 a﹣ 1 ＝b﹣2 时，a﹣b = ﹣ 1 ，此时 AB ＝1．综上，存在，此时 AB 的长为 1 或 3．
【点评】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
24 ．【答案】（1） ﹣2 ，6；
（2）9；
第 20页（共 23页）
（3） ①3； ②4；
③4；
④x= ，最小值．
【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；
（2） 由折叠可知，折痕点对应的数是 2 ，再由对称性可知点 A 与数字 9 重合；
（3） ①当 3≤x ≤6 时，|x﹣3|+|x﹣6|有值最小；
②|当﹣3≤x ≤4 时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为 7 ，再求出符合条件的整数即可求解；
③找到 2 ，2 ，3 ，3 ，4 ，4 ，4 ，4 的中间数即为所求；
1 个 3 个 3 的中间数是 当 x 时，式子有最小值．
【解答】解：（1） 由图可得，点 B 表示的数是﹣2 ，点 C 表示的数是 6，故答案为： ﹣2 ，6；
（2） ∵折叠后点 B 和点 C 重合， ∴BC 的中点为折痕点，
∴折痕点对应的数是 2， ∴点A 与数字 9 重合，故答案为：9；
（3） ①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示 x 的点到表示 3 的点和 6 的点的距离之和， ∴当 3≤x ≤6 时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，
∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为 3，故答案为：3；
②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示 x 的点到表示﹣3 的点和 4 的点的距离之和， ∴当﹣3≤x ≤4 时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为 7，
∵|x﹣4|+|x+3| ＝7，
∴x 的整数值为﹣3 ， ﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4， ∴满足条件的所有整数 x 的和是 4，
故答案为：4；
③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示 2 倍的 x 到 2 的距离，2 倍的 x 到 3 的距离，5 倍的 x 到 4 的距离之和，
第 21页（共 23页）
∴2 ，2 ，3 ，3 ，4 ，4 ，4 ，4 的中间数是 4，
∴当 x ＝4 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；
故答案为：4；
1 2 5 7
表示 4 倍的 x 到 的距离，3 倍 x 到 的距离，x 到 的距离，2 倍 x 到 的距离，3 倍 x 到 3 的距离之和， 2 3 2 2
1 2 5 7 2
∴4 个 ，3 个 ，1 个 ，2 个 ，3 个 3 的中间数是 ， 2 3 2 2 3
∴当 x= 时，2|2x﹣ 1|+|3x﹣2|+|xx﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为．
【点评】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时 x 的取值的一般规律是解题的关键．
25 ．【答案】（1）见解析；
（2） ①6 ，2；
②1 或﹣5； ③5；
④1 ，9．
【分析】（1）在数轴上标出各点即可；
（2） ①根据数轴上两点的距离公式求解即可；
②化简绝对值，解出 a 即可；
③根据 a 的取值范围，化简绝对值再整理即可；
④分类讨论 Ⅰ 当 a ≤﹣5 时； Ⅱ当﹣5＜a ≤1 时；Ⅲ当 1＜a ≤4 时；Ⅳ当 a＞4 时，分别化简绝对值，整理，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图即为所表示的各点．
（2） ①4﹣ ( ﹣2）＝6， ﹣2﹣ ( ﹣4）＝2，
故答案为：6 ，2；
②|a﹣ ( ﹣2）| ＝3 ，a+2 = ±3， ∴a ＝1 或﹣5．
第 22页（共 23页）
故答案为：1 或﹣5；
③ ∵﹣3＜a＜2，
∴|a+3|+|a﹣2| ＝a+3﹣a+2 ＝5．故答案为：5；
④分类讨论， Ⅰ 当 a ≤﹣5 时，|a+5|+|a﹣ 1|+|a﹣4| = ﹣a﹣5﹣a+1﹣a+4 = ﹣3a， ∴当 a = ﹣5 时，有最小值，最小值为﹣3 × ( ﹣5）＝15；
Ⅱ当﹣5＜a ≤1 时，|a+5|+|a﹣ 1|+|a﹣4| ＝a+5﹣a+1﹣a+4 = ﹣a+10， ∴当 a ＝1 时，有最小值，最小值为﹣ 1+10 ＝9；
Ⅲ当 1＜a ≤4 时，|a+5|+|a﹣ 1|+|a﹣4| ＝a+5+a﹣ 1﹣a+4 ＝a+8， ∴当 a ＝1 时，有最小值，最小值为 1+8 ＝9；
Ⅳ当 a＞4 时，|a+5|+|a﹣ 1|+|a﹣4| ＝a+5+a﹣ 1+a﹣4 ＝3a， ∴当 a ＝4 时，有最小值，最小值为 3×4 ＝12；
综上可知，当 a ＝1 时，绝对值式子有最小值，且最小值为 9．
故答案为：1 ，9．
【点评】本题考查在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，化简绝对值，绝对值方程．掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键．
第 23页（共 23页）

展开更多......

收起↑