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七上数学：裂项相消专题
一．试题（共 12 小题）
l ．计算提示：裂项法）
2 ．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如 我们将上述计算过程倒过来，得到 这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为 类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（l）猜想并写出： 二 ；
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算；
【迁移应用】（3）探究并计算
第 1页（共 18页）
3 ．多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当 n ，i 均为正整数时，有 例如 根据上述结论，完成问题：
（1）计算；
（2）直接写出下式的计算结果；
（3） ①计算的值；
②计算的值．
4 ．阅读材料：
在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项 ”法简化运算．
方法应用：试用“裂项——消项 ”法解下面各题：
第 2页（共 18页）
5 ．观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得：
应用计算：
6 ．解答问题：
（2）模仿上面的解法，计算
7 ．观察下列等式
把以上三个等式两边分别相加得
这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
（1）规律应用：计算的值；
（2）拓展提高：若 n 为正整数，证明
第 3页（共 18页）
8 ．小明对数学很有兴趣，一日看到一则计算后，
分 析 ： 1 = 1 × 2 = 1 × (n+2)-n = 1 ( n+2 - n ) = 1 ( 1 - 1 ) 得 ：
n(n+2) 2 n(n+2) 2 n(n+2) 2 n(n+2) n(n+2) 2 n n+2
试求：
9 ．请你观察：
以上方法称为“裂项相消求和法 ”．
请类比完成：
（2）计算的值．
第 4页（共 18页）
10 ．计算： + + + + + 3+6+9+1+ +96．
11．我们可运用一些有规律的式子进行裂项，从而简化计算，如有下列一个有规律的式子：
…
（1）写出第 4 个式子： ；
（2）写出第 n 个式子： ；
（3）运用规律计算： + + + + ．
第 5页（共 18页）
12 ．1+2+3+…+100 ＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+…+n 其中 n 是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1 ×2+2×3+3×4+…n（n+1）=
观察下面三个特殊的等式
将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答：
（1）直接写出下列各式的计算结果：
①1 ×2+2×3+3×4+…10×11 =
②1 ×2+2×3+3×4+…n（n+1）=
（2）探究并计算：
1 ×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=
（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：
1 ×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11× 12 = .
第 6页（共 18页）
七上数学：裂项相消专题
参考答案与试题解析
一．试题（共 12 小题）
l ．计算提示：裂项法）
【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用裂项法变形，抵消合并即可得到结果．
【解答】解：原式
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练运用裂项法是解本题的关键．
2 ．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如 我们将上述计算过程倒过来，得到 这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为 类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（l）猜想并写出
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算
【迁移应用】（3）探究并计算 【答案】（l
99
（2） ； 100
（3）一 ．
【分析】（l）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想；
（2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题；
（3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【解答】解：
第 7页（共 18页）
故答案为：
（2） 由（1）易得：(1 _ ) + ( _ ) + ( _ ) + … + ( _ )
(
99
100
)= ；
=_ ×（ 1__ ）
=_ 1 × 668
2 669
【点评】本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题．
3 ．多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有一种裂项方法为：当 n ，i 均为正整数时，有 例如 根据上述结论，完成问题：
（1）计算
（2）直接写出下式的计算结果
（3） ①计算的值；
②计算的值． 【答案】(
n
（2） ； n+1
（3） ①;
② .
第 8页（共 18页）
【分析】（1）原式利用裂项方法变形，计算即可求出值；
（2）归纳总结得到一般性规律，利用裂项法求出值即可；
（3） ①原式利用裂项法变形，计算即可求出值；
②原式利用裂项法变形，计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式 故答案为
n
故答案为： ； n+1
（3） ①原式= ×（ 1 + + +...+ )
1 2022 = ×
3 2023
(
49
25
)24 6 = +
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的裂项法是解本题的关键．
4 ．阅读材料：
在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项 ”法简化运算．
方法应用：试用“裂项——消项 ”法解下面各题：
第 9页（共 18页）
14 【答案】（1） ；
177
6
（2） ．
13
【分析】（1）根据题中的方法，进行“裂项——消项 ”法简化运算；
（2）根据题中的方法，进行“裂项——消项 ”法简化运算． 【解答】解：
1 56
= ×
4 177
(
=
；
)14
177
（2）
【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
5 ．观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得：
应用计算：
100 【答案】 ．
301
【分析】 由题中材料的规律可得，原式 再运算即可．
第 10页（共 18页）
【解答】解
100故答案为： ．
301
【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子探索一般规律，并能灵活应用规律进行运算是解题的关键．
6 ．解答问题：
（2）模仿上面的解法，计算
【答案】见试题解答内容
【分析】（1） 由 = ×（1一 ）， 代入计算即可；
（2）类比（1）的方法得出 代入计算即可．
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
) (
【解答】
解
：（
1
）原式
=
×
（
1
一
）
+
×
（
一
）
+
×
（
一
）
+…
+
×
（
一
）
)2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n一1 2n+1
第 11页（共 18页）
1 10
= ×
4 21
【点评】此题考查有理数的混合运算，注意分数的特点，合理拆分解决问题．
7 ．观察下列等式
把以上三个等式两边分别相加得
这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．
（1）规律应用：计算的值；
（2）拓展提高：若 n 为正整数，证明
99
【答案】（1） ；（2）证明见解析． 100
【分析】（1）根据规律解答即可；
2n
（2）先根据规律化简，再判断 的取值范围即可． 2n+1
(
99
100
)= ；
∵n 为正整数，
∴0 ＜ ＜1，
第 12页（共 18页）
【点评】本题考查的是数字类的规律，解题的关键是要能发现并运用规律．
8 ．小明对数学很有兴趣，一日看到一则计算后，
分 析 得 ：
1 98 49 × = 2 99 99
试求：
【答案】见试题解答内容
1
【分析】（1）根据题目信息，分母上的两因数的差是 2 ，所以裂项后乘以 ，然后进行计算即可； 2
1
（2）根据题目信息，分母上的两因数的差是 4 ，所以裂项后乘以 ，然后进行计算即可． 4
【解答】解：
(
2
200
，
)1 98 = ×
(
49
200
)= ；
第 13页（共 18页）
(
4
909
，
)1 92 = ×
【点评】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，根据题目提供的信息进行裂项并加减抵消是解题的关键，技巧性较强，难度中等．
9 ．请你观察：
以上方法称为“裂项相消求和法 ”．
请类比完成：
（2）计算的值．
2022 【答案】（1） ；
2023
100
（2） ；
401
10
（3） ．
11
【分析】（1）根据已知条件的方法，把每个加数写成两个分子为 1 ，分母是加数分母中的数字的分数相减的形式，然后进行简便计算即可；
1
（2）先把算式提取 ，再把每个加数写成两个分数的差，然后进行简便计算即可； 4
（3）把每个加数写成两个分子为 1 ，分母是加数分母中的数字的分数相加的形式，然后去掉括号，进行
简便计算即可．
【解答】解：（1）原式= 1 + + + +
第 14页（共 18页）
（2）原式= × ( + + + + )
= × (1 + + + + )
1 400
= ×
4 401
(
=
；
)100
401
（3）原式= (1 + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + + ( + ) ( + )
= 1 + + + + + +
10
=
11．
【点评】本题主要考查了数字的变化类，解题关键是根据已知条件，找出规律．
10 ．计算
64 【答案】 ．
99
【 分析 】 先提取 ， 可得 可转化为 即可求解．
【解答】解
= ×（1 + + + + )
64故答案为： ．
99
【点评】本题的关键通过提取，转化为 即可转化成分数的和差．
11．我们可运用一些有规律的式子进行裂项，从而简化计算，如有下列一个有规律的式子：
第 15页（共 18页）
…
（1）写出第 4 个式子
（2）写出第 n 个式子
（3）运用规律计算
【答案】 ．
【分析】（1）从①②③的式子中得到一般性规律，写出第 4 个式子即可；
（2）按照（1）得到的规律写出第 n 个式子即可；
（2）根据规律，利用裂项相消法即可求解．
【解答】解：（1
∴第 4 个式子 故答案为
2 1 1
（2）第 n 个式子： = _ ；
n(n+1)(n+2) n(n+1) (n+1)(n+2)
故答案为
= × ( _ )
1 189 189 = × =
2 380 760．
第 16页（共 18页）
【点评】本题考查了整式和数字规律探索的知识；解题的关键是熟练掌握整式运算的性质，并且从等式运算中找到规律，通过计算即可得到答案．
12 ．1+2+3+…+100 ＝？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+…+n 其中 n 是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1 ×2+2×3+3×4+…n（n+1）=
观察下面三个特殊的等式
1 ×2= （1×2×3﹣0×1×2）
2×3= （2×3×4﹣ 1×2×3）
将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考后回答：
（1）直接写出下列各式的计算结果：
①1 ×2+2×3+3×4+…10×11 ＝ 440
②1 ×2+2×3+3×4+…n（n+1）＝ n（n+1）（n+2）
（2）探究并计算：
1
1 ×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）＝ n（n+1）（n+2）（n+3） 4
（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：
1 ×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11× 12 ＝ 4290 ． 【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察已知的三个等式，得出一般性的规律即可，
（2） 由（1）总结出一般性规律，将各项变形后，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）直接写出下列各式的计算结果：
①1 ×2+2×3+3×4+…10×11 ＝440，
（2）探究并计算：
1 ×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）= n（n+1）（n+2）（n+3）
（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：
1 ×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11× 12 ＝4290．
第 17页（共 18页）
故答案为：4 ，4290．
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键．
第 18页（共 18页）

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