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七上数学：新定义问题
一．选择题（共 8 小题）
1 ．设 a ，b 为自然数，定义 aΔb ＝a2+b2﹣ab ，则（3△4）+ ( ﹣4△5）的值 ( )
A ．34 B ．58 C ．74 D ．98
2 ．定义一种新的运算 如 2☆ 则
A ． B ． C ． D ．
3 ．若 a 为有理数，定义运算符号“ ※ ”：当 a＞ ﹣2 时， ※a = ﹣a；当 a< ﹣2 时， ※a ＝a；当 a = ﹣2 时， ※a ＝0 ．则根据定义， ※[5+※（2﹣5）]的值为 ( )
A ．2 B ． ﹣2 C ．0 D ． ﹣8
4 ．定义 a*b ＝3a+b ，a b ＝b﹣a2 ，则下列结论正确的有 ( )
①2 ( ﹣ 1）= ﹣5；
② ( ﹣3）* ( ﹣2）= ﹣7；
③若 a*b ＝b*a ，则 a ＝b；
④（2*3） （2 3）= ﹣80．
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
5 ．定义关于有理数 a ，b 的新运算：f（a×b）＝f（a）﹣f（b），其中 a ，b 为整数，a≤b ．例如：若f（3） = 5，f（5）＝4 ，则f（15）＝f（3×5）＝f（3）﹣f（5）＝5﹣4 ＝1 ．若f（4）＝1 ，则f（64）的结果 为 ( )
A ．1 B ．﹣ 1 C ．3 D ． ﹣3
6 ．规定：f（x） ＝|x﹣2| ，g（y） ＝|y+3| ，例如f ( ﹣4）＝|﹣4﹣2| ＝6 ，g ( ﹣4）＝|﹣4+3| ＝1 ．下列结论 正确的个数是 ( )
①若 x ＝2，y ＝3 ，则f（x）+g（y）＝6；
②若f（x）+g（y）＝0 ，则 2x﹣3y ＝13；
③若 x< ﹣3 ，则f（x）+g（x）= ﹣ 1﹣2x；
④能使f（x）＝g（x）成立的 x 的值不存在．
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
7 ．如果 10b ＝n ，那么称 b 为 n 的“拉格数 ”，记为 d（n）， 由定义可知：d（n） ＝b ．如 102 ＝100 ，则 d
（100）＝d（102）＝2 ，给出下列关于“拉格数 ”d（n）的结论：①d（10）＝10 ，②d（10﹣2）= ﹣2， 其中，正确的结论有 ( )
A ． ①③④ B ． ②③④ C ． ②③⑤ D ． ②④⑤
8 ．定义一种对正整数 n 的“F”运算： ①当 n 为奇数时，F（n）＝3n+1； ②当 n 为偶数时， （其中k 是使 F（n）为奇数的正整数），两种运算交替进行．例如，取 n ＝24 ，则
若 n ＝11 ，则第 2025 次“F”运算的结果是 ( )
A ．42025 B ．2025 C ．4 D ．1
二．填空题（共 5 小题）
9 ．对于有理数 a ，b ，定义 a⊙b ＝3a+2b ，则（x+y） ⊙（x﹣y）化简后得 ．
10 ．规定图形表示运算 a﹣b+c ，图形表示运算 x+z﹣y﹣w ，则+ = （直接写出答案）．
11 ．设[x]表示不超过 x 的整数中最大的整数，如：[1.99] ＝1 ，[﹣ 1.02] = ﹣2 ，根据此规律[4.7] = ; 计算：[﹣3.4]﹣ [﹣0.6] = .
12 ．定义一种新运算 则当 x ＝3 时，2※x﹣4※x 的结果为 ．
13．对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当 a ＝c，b ＝d 时，有（a，b）＝（c，d）；运算“ × ” 为：（a ，b） ×（c ，d）＝（ac ，bd）；运算“+ ”为：（a ，b）+（c ，d）＝（a+c ，b+d）．设p ，q 都是 实数，若（ 1 ，2） ×（p ，q）＝（2 ， ﹣4），则（1 ，2）+（p ，q）= .
=（3 ，15）成立．证明如下：
设（3 ，3）＝m ，（3 ，5） ＝n ，则 3m ＝3 ，3n ＝5 ，故 3m 3n ＝3m+n ＝3×5 ＝15 ，则（3 ，15）＝m+n ，即 （3 ，3）+（3 ，5）＝（3 ，15）．
（1）根据上述规定，填空：（3 ，81）= ; ( , ﹣ 125）＝3； （2）求证：（5 ，4）+（5 ，9）＝（5 ，36）．
15 ．定义一种新运算：观察下列式：
1。3 ＝1 ×4+3 ＝7
3。 ( ﹣ 1）＝3 ×4﹣ 1 ＝11 5。4 ＝5×4+4 ＝24
4。 ( ﹣3）＝4×4﹣3 ＝13
（1）请你想一想：a。b = ;
（2）若 a≠b ，那么 a。b b。a（填入“ ＝ ”或“≠ ”)
（3）若 a。 ( ﹣2b）＝4 ，请计算（a﹣b）。（2a+b）的值．
16 ．材料 1 新规定：求若干个相同的有理数（均不等于 0）的除法运算叫做除方，如 2÷2÷2 ，( ﹣3） ÷ ( ﹣3） ÷ ( ﹣3） ÷ ( ﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 2③ , 读作“2 的圈 3 次方 ”， ( ﹣3）÷ ( ﹣3）÷ ( ﹣3）÷ ( ﹣3）记作 ( ﹣3）④ , 读作“﹣3 的圈 4 次方 ”，一般地，把a ÷ a ÷ a ÷ … ÷ a
︸
n 个a
（a≠0）记作 a , 读作“a 的圈 n 次方 ”．
（1）直接写出计算结果．
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算 如何转化为乘方运算呢？
如：( ﹣3）④ = ( ﹣3） ÷ ( ﹣3） ÷ ( ﹣3） ÷ ( ﹣3）= ( ﹣3） ×（ - ） ×（ - ） ×（ - ）= ( ﹣ 3）
（2）仿照上面的算式，将一个非零有理数 a 的圈n 次方写成幂的形式等于 ； 材料 2 新规定： 自然数 1 到 n 的连乘积用 n!表示，例如：1! ＝1 ，2! ＝1 ×2 ＝2 ，3! ＝1 ×2×3 ＝6 ，4! ＝1 ×2×3×4 ＝24 ， ……在这种规定下：
（3）算一算 ⑤﹣
17 ．对于正数 x ，规定
求值
猜想 并证明你的结论；
（3）求值．
.
18 ．探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
（+5） ※（+2）＝+7；( ﹣3） ※ ( ﹣5）＝+8；
( ﹣3） ※（+4）= ﹣7 ；（+5） ※ ( ﹣6）= ﹣ 11；
（0） ※（+8）＝8 ；（0） ※ ( ﹣8）＝8 ；( ﹣6） ※（0）＝6；（+6） ※（0）＝6．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
（1）观察以上式子，类比计算：
（2）计算：（ - 2） ※[0※（ - 1）] ；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步 骤）
若 ＝0 ． 计算
的值．
19 ．读一读：式子“ 1+2+3+4+5+…+100 ”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和，由于上述式子比较长，
书写也不方便，为了简便，我们可以将“ 1+2+3+4+5+…+100 ”表示为Σ n ，这里“Σ ”是求和符号，
例 如 ： 1+3+5+7+9+ … +99 ， 即 从 1 开 始 100 以 内 的 连 续 奇 数 的 和 表 示 为 Σ1 (2n 1) ；
13+23+33+43+53+63+73+83+93+103表示为Σ1 n3 ，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（ 1 ） 2+4+6+8+10+ … +200 （ 即 从 2 开 始 的 200 以 内 的 连 续 偶 数 的 和）， 用 求 和 符 号 可 表 示 为 ；
（2）计算：Σ1 n = （填写最后的计算结果）；
（3）计算：Σ (2n 1)．
20 ．【溯源】“+ 、 - ”号是 15 世纪德国数学家魏德曼发明的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加
的意思，于是把“+ ”作为加号，从而“+ ”号中拿去“ - ”竖，就可表示减少的意思，于是把“ - ”
作为减号．“× ”号是 18 世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同， 于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷ ”号是“瑞士学者雷恩于 1656 年出版的一 本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受．四则运算的性质和规律是 许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！”
【发现问题能力】小华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运 算法则是一套来源于生活实际，符合人们认知规律且具有“确定性、普适性，逻辑性、简洁性、自洽性 ” 等特征的一种游戏规则．
【提出问题能力】基于以上学习和认识，小华同学也定义了一个新的运算@ ，满足以下两个要求： ① x@x ＝0； ②x@（y@z）＝x@y+z ，其中 x，y ，z 可以取任何有理数，问题为：求 2024@2012 的值．
【分析问题能力】爱思考的小益同学看到上面的这个问题，做了以下尝试：第一步，先让②中的 z＝y， 于是就有了：x@（y@y）＝x@y+y ，由①可以知道y@y ＝ ，于是有：x@0 ＝x@y+y 记为（1） 式．
第二步：令②中的y ＝x，z ＝x，则有x@（x@x）＝x@x+x，继续由①的条件，于是就有：x@0 ＝ ．（用 含字母 x 的式子表示）记为（2）式．
结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到 x@y ＝ （用含字母 x，y 的式子表示）． 【解决问题能力】2024@2012 的值是 ．
【拓展问题】 已知 其中符号||为绝对值，求 m 的倒数．
七上数学：新定义问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题）
1 ．【答案】C
【分析】根据新定义，分别求出 3△4 和 - 4△5 的值，然后相加即可．
【解答】解： ∵aΔb ＝a2+b2 - ab，
∴3△4 ＝32+42 - 3×4 ＝9+16 - 12 ＝13 ， - 4△5 ＝（ - 4）2+52 - （ - 4） ×5 ＝16+25+20 ＝61， ∴（3△4）+（ - 4△5）
= 13+61
=74，
故选：C．
【点评】本题主要考查了新定义，解题关键是充分理解新定义的含义．
2 ．【答案】B
根据a☆ 可以计算出所求式子的值．
【解答】解： 由题意可得，
（2☆3）☆1 = ☆1 = ☆1 = ☆1
=4☆1
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3 ．【答案】B
【分析】根据当 a＞ - 2 时， ※a ＝ - a；当 a＜ - 2 时， ※a ＝a；当 a ＝ - 2 时， ※a ＝0 ，可以计算出所 求式子的值．
【解答】解： 由题意可得，
※[5+※（2 - 5）]
= ※[5+※（ - 3）]
= ※[5+（ - 3）]
= ※2
= - 2，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
4 ．【答案】B
【分析】根据 a*b ＝3a+b ，a b ＝b - a2 ，可以分别计算出各个小题中的式子是否正确，从而可以解答 本题．
【解答】解： 由题意可得，
2 （ - 1）＝（ - 1） - 22 ＝ - 5 ，故①正确，符合题意；
（ - 3）*（ - 2）＝3 ×（ - 3）+（ - 2）＝ - 11 ，故②错误，不符合题意； 若 a*b ＝b*a ，则 3a+b ＝3b+a ，可得 a ＝b ，故③正确，符合题意；
（2*3） （2 3）
=（3×2+3） （3 - 22）
=（6+3） （3 - 4）
=9 （ - 1）
=（ - 1） - 92
=（ - 1） - 81
= - 82 ，故④错误，不符合题意； 故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
5 ．【答案】A
【分析】根据f（a×b）＝f（a） -f（b）可推出f（16）＝0 ，再根据f（64）＝f（4×16），即可求解． 【解答】解： ∵f（4）＝1，
∴f（64）＝f（4×16）
= 1 - 0
= 1，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．
6 ．【答案】C
【分析】根据题中的规定判断出各选项的正确与否即可．
【解答】解： ①∵x ＝2，y ＝3，
∴f（x）+g（y）
=f（2）+g（3）
= |2 - 2|+|3+3|
=0+6
=6；故正确，符合题意；
②∵f（x）+g（x）＝|x - 2|+|y+3| ＝0， ∴x - 2 ＝0，y+3 ＝0，
∴x ＝2，y ＝ - 3，
∴2x - 3y
=2×2 - 3 ×（ - 3）
= 13 ，故正确，符合题意；
③若 x＜ - 3 ，则f（x）+g（x） = |x - 2|+|x+3|
=2 - x - x - 3
= - 1 - 2x ，故正确，符合题意；
④若f（x）＝g（x），则|x - 2| ＝|x+3|， 即 x - 2 ＝x+3 或 x - 2 ＝ - x - 3，
解得：x ＝ - 0.5 ，即能使已知等式成立的 x 的值存在，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程以及绝对值，弄清题中的新定义 是解本题的关键．
7 ．【答案】B
【分析】结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【解答】解： 由题意， ∵101 ＝10，
d（10）＝1 ，故①错误；
∵10 - 2 ＝10 - 2，
∴d（10 - 2 ）＝ - 2 ，故②正确； ∵d（103）＝3 ，d（10）＝1，
故③正确；
设 10a ＝m ，10b ＝n，
∴10a+b ＝10a 10b ＝mn， ∴d（mn）＝a+b，
∴d（m ）＝a ，d（n）＝b，
∴d（m ）+d（n）＝a+b，
∴d（mn）＝d（m ）+d（n），故④正确；
那么正确的有②③④ .
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键．
8 ．【答案】C
【分析】根据题中的定义，依次求出每次“F”运算后的结果，发现规律即可解决问题． 【解答】解： 由题知，
因为 n ＝11，
所以 F（1 ） ＝3 × 11+1 ＝34，
F（3 ） ＝3 × 17+1 ＝52，
F（5 ） ＝3 × 13+1 ＝40，
F（7 ） ＝3×5+1 ＝16，
F（9 ） ＝3 × 1+1 ＝4，
…
由此可见，F（n） ＝1（n 为大于等于 8 的偶数），F（n） ＝4（n 为大于等于 9 的奇数），
所以 F（2025 ） ＝4，
即第 2025 次“F”运算的结果是 4． 故选：C．
【点评】本题考查数字变化的规律，能通过计算发现 F（n） ＝1（n 为大于等于 8 的偶数），F（n ） ＝4（n 为大于等于 9 的奇数）是解题的关键．
二．填空题（共 5 小题）
9 ．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题中所给出的式子进行解答即可．
【解答】解： ∵a。b ＝3a+2b，
∴（x+y）。（x - y）
=3（x+y）+2（x - y）
=3x+3y+2x - 2y
= 5x+y，
故答案为 5x+y．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
10 ．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：1 - 2+3+4+6 - 5 - 7 ＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11 ．【答案】4 ， - 3．
【分析】根据已知条件中的新定义，求出各个[x]最大的整数，列出算式进行计算即可．
【解答】解：[4.7] ＝4，
[ - 3.4] - [ - 0.6] = - 4 - （ - 1）
= - 4+1
= - 3，
故答案为：4 ， - 3．
【点评】本题主要考查了新定义，解题关键是熟练掌握应用新定义．
12 ．【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用已知的新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：当 x ＝3 时，原式＝2※3 - 4※3 ＝9 - （4 - 3）＝9 - 1 ＝8，
故答案为：8
【点评】此题考查了整式的加减 - 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13 ．【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据运算“ × ”的规定，由（1 ，2） ×（p ，q）＝（2 ， - 4），求出p 、q 的值，再根据运
算“+ ”的规定，得出结果．
【解答】解： ∵（1 ，2） ×（p ，q）＝（p ，2q）＝（2 ， - 4）， ∴p ＝2 ，q ＝ - 2；
∴（1 ，2）+（p ，q）＝（ 1 ，2）+（2 ， - 2）＝（1+2 ，2 - 2）＝（3 ，0）．
故填（3 ，0）
【点评】此题是定义新运算题型．考查了学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解新规则是解题的 关键．
三．解答题（共 7 小题）
14 ．【答案】（1）4 ， - 5；
（2）见解析．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．
【解答】解：（1） ∵34 ＝81，
∴（3 ，81）＝4，
∵（ - 5）3 ＝ - 125，
∴（ - 5 ， - 125）＝3，
故答案为：4； - 5；
（2）设（5 ，4）＝x ，（5 ，9）＝y ，（5 ，36）＝z， 则 5x ＝4 ，5y ＝9 ，5z ＝36，
5x×5y ＝5x+y ＝36， ∴5x+y ＝5z，
∴x+y ＝z，
即（5 ，4）+（5 ，9）＝（5 ，36）．
【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解 题的关键．
15 ．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据提供的信息，。的运算法则是。前面的数乘以4 再加上运算符号后面的数，然后写出 即可；
（2）根据运算规则把 a。b 和 b。a 分别进行计算并相减得到 a 、b 的差，然后即可比较大小；
（3）先根据运算规则与已知条件求出 a 、b 的关系，然后再根据运算规则计算（a - b）。（2a+b）并把
a 、b 的关系代入整理后的算式计算即可求解．
【解答】解：（1） ∵1。3 ＝1 ×4+3 ＝7 ，3。（ - 1）＝3 ×4 - 1 ＝11 ，5。4 ＝5×4+4 ＝24 ，4。（ - 3）= 4×4 - 3 ＝13，
∴a。b ＝4a+b；
（2）a。b ＝4a+b ，b。a ＝4b+a，
（4a+b） - （4b+a）＝3a - 3b ＝3（a - b）， ∵a≠b，
∴3（a - b） ≠0，
即（4a+b） - （4b+a） ≠0， ∴a。b≠b。a；
（3） ∵a。（ - 2b）＝4a - 2b ＝4，
∴2a - b ＝2，
（a - b） ⊙（2a+b） =4（a - b）+（2a+b） =4a - 4b+2a+b，
=6a - 3b ， =3（2a - b） =3×2
=6．
故答案为：（1）4a+b ，（2） ≠ , （3）6．
【点评】本题是对数字变化问题的考查，认真观察所给式子，发现并应用规律（4 乘以第一个数再加上 第二个数）做题是正确解答本题的关键．
16 ．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据材料 1 新规定即可得结果；
（2）归纳总结得规律即可；
（3）利用得出的结论进行计算即可得到结果．
解
= - 2．
故答案为 - 2；
（2）非零有理数 a 的圈n 次方写成幂的形式等于：
a÷a÷a÷a÷…÷a
2 - n
=a
故答案为：
（3）原式＝1 ×2×3×4×5×6÷9× ( ) - 16÷（1×2×3）
38 =-
3 ．
【点评】本题考查了规律型 - 数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化规律进行有理数的混合 运算．
17 ．【答案】（1）1 ，1 ；（2）1 ；（3）
【分析】（1）分别算出f（3），f（），f（4），f（）的值，再求和即可；
（2）将代入所给的式子，求和即可得出结论；
（3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的 最后再求和即可． 解
故答案为：1 ，1；
猜想 理由如下：
故答案为：1；
【点评】本题考查的是规律型：数字的变化类和代数式求值，读懂题意，发现规律是解题的关键．
18 ．【答案】（1） ①; ② - ；
（2） - 3；
（3）
【分析】（1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可．
（2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算 即可；
（3）根据题意得出|1 - a|+|b - 3| ＝0 ，确定 a ＝1 ，b ＝3 ，然后代入式子进行计算即可． 解
故答案为：
故答案为： ．
（2）（ - 2） ※[0※（ - 1）] =（ - 2） ※（+1）
= - （2+1）
= - 3；
（3） ∵（ 1 - a） ※（b - 3）＝0， ∴|1 - a|+|b - 3| ＝0，
∴a ＝1 ，b ＝3，
【点评】本题考查新定义、有理数的混合运算，正确理解新定义并掌握有理数的运算法则是解题的关键．
2n；
（2）55；
（3）10000．
【分析】（1）根据题中所给的表示方式，用求和符号表示出所给算式即可．
（2）将求和符号转化为从 1 开始的连续 10 个整数的和，进行计算即可．
（3）将求和符号转化为算式，进行计算即可． 【解答】解：（1） 由题知，
2+4+6+…+200 ＝2×1+2×2+2×3+…+2×100，
所以
故答案为：Σ 2n．
（2） 由题知，
故答案为：55．
（3） 由题知，
【点评】本题考查数字变化的规律，理解题中所给的求和符合是解题的关键．
20 ．【答案】分析问题能力：0 ，x ，x - y；解决问题能力：12；拓展问题：m 的倒数为或 【分析】分析问题能力：按照新定义的法则，进行作答即可；
解决问题能力：按照新定义的法则，进行计算即可；
拓展问题：按照新定义的法则，列出方程，求出 m 的值，进而求出倒数即可． 【解答】解：分析问题能力：y@y ＝0 ，x@0 ＝x@x+x ＝x，
∵x@0 ＝x@y+y ，x@0 ＝x，
∴x@y ＝x - y；
故答案为：0 ，x ，x - y；
解决问题能力：根据题意可知：2024@2012 ＝2024 - 2012 ＝12；
故答案为：12；
拓展问题
∴m 的倒数为或- ．
【点评】本题考查定义新运算，绝对值方程，掌握新运算的法则是解题的关键．
,
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