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七上数学：一元一次方程-计算拔高专项
一．选择题（共 5 小题）
1 ．关于 x 的方程 2|x| ＝ax+5 有整数解，则整数 a 的所有可能取值的乘积为 ( )
A ．9 B ． - 3 C ．1 D ．3
2 ．在解关于 x 的方程 一2 时，小冉在去分母的过程中，右边的“ - 2 ”漏乘了公分母 6 ，因而 求得方程的解为 x ＝2 ，则方程正确的解是 ( )
A ．x ＝ - 12 B ．x ＝ - 8 C ．x ＝8 D ．x ＝12
3 ．若关于 x 的方程x 一 的解是负整数，m 是整数，则所有满足条件方程的解的和为 ( )
A ． - 5 B ． - 7 C ． - 19 D ． - 24
4．已知关于 x 的一元一次方程的解为 x ＝ - 3，那么关于y 的一元一次方程） +3 ＝2（y+1）+b 的解为 ( )
A．y ＝1 B．y ＝ - 1 C．y ＝ - 3 D．y ＝ - 4
5 ．若不论 k 取什么数，关于 x 的方程 一 是常数）的解总是 x ＝1 ．则 m+n 的值是 ( )
A ． - 0.5 B ． - 1.5 C ．0.5 D ．1.5
二．填空题（共 4 小题）
6 ．已知关于 x 的方程 一 的解是非负整数，那么正整数 a 的所有可能的值之和为 ．
7 ．如果 a ，b 为定值，关于 x 的一次方程 一 无论 k 为何值时，它的解总是 1 ，则 6a+b
=
.
8 ．已知关于 x 的一元一次方程无解，则 m = .
9．已知 b 是关于 x 的方程 的解，则 2020 - 4ab - 8b 的值为 ．
三．解答题（共 16 小题）
10 ．解下列方程
11 ．解方程
（1）
12 ．解方程
13 ．解方程：
14 ．解下列方程
2x 1.6 3x 31x+8
15 ．解下列方程
16 ．解方程：|x - 2|+|2x+1| ＝10．
17 ．解方程：|2x - a|+（6 - a）2 ＝0
18 ．若 a 、b 、c 、d 是正数，解方程
19 ．已知关于 x 的方程 的解与方程 的解互为相反数，求 k 的值．
20 ．（1） 已知|a - 1|+（ab+2）2 ＝0 ，求（a+b）2016 的值．
（2）解方程
21 ．若|a - 3|+（b+1）2 ＝0 ，式子 2b - a+3m 的值比 b - a+m 多 1 ，求 m 的值．
22 ．已知|2m - 4|与 互为相反数，求关于 x 的方程的解．
23 ．当 m 满足什么条件时，关于 x 的方程|x - 3| - |x - 7| ＝m 有一解？有无数多个解？无解？如果方程有解， 请求出方程的解．
24 ．列方程求解
（1）m 为何值时，关于 x 的一元一次方程 4x - 2m ＝3x - 1 的解是 x ＝2x - 3m 的解的 2 倍．
（2）已知|a - 3|+（b+1）2 ＝0 ，代数式的值比 多 1 ，求 m 的值．
25 ．1990 年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下
大同 ”这一处理不同文化关系的十六字“箴言 ”．在数学上，我们不妨约定：若关于 x 的方程 a1x+b1 ＝0 与 a2x+b2 ＝0 同时满足Ia1 - b2 I + (a2 - b1)2 = 0，则称方程 a1x+b1 ＝0 与 a2x+b2 ＝0 互为“美美与共 ” 方程．根据该约定，回答下列问题．
（1） 已知关于 x 的方程 2x - m ＝0 与 ax+b ＝0 互为“美美与共 ”方程，且方程 2x - m ＝0 的解为 则 m ＝ ，a ＝ ，b = ;
（2）是否存在有理数k，使关于 x 的方程 3x+k ＝0 与其“美美与共 ”方程的解都是整数，若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由；
（3）若方程 x - 1 ＝2（2x - 1）的解也是方程 ax+b ＝0 的解，求方程 ax+b ＝0 的“美美与共 ”方程的解．
七上数学：一元一次方程-计算拔高专项
参考答案与试题解析
一．选择题（共 5 小题）
1 ．关于 x 的方程 2|x| ＝ax+5 有整数解，则整数 a 的所有可能取值的乘积为 ( )
A ．9 B ． - 3 C ．1 D ．3
【分析】这里有绝对值符号，解方程第一步主要要考虑去掉绝对值符号，因此要分 x≥0 和 x＜0 两种情 况．再把方程的解表示出来，根据 x 和 a 都是整数讨论取值情况．
【解答】解：当 x≥0 时，原方程可化为 2x ＝ax+5
∴（2 - a）x ＝5 ∵原方程有解
∴a≠2
∵原方程有整数解 x ，a 为整数，x≥0
∴2 - a ＝1 或 5
∴a ＝1 或 - 3
当 x＜0 时，原方程可化为 - 2x ＝ax+5
∴ - （2+a）x ＝5
∵原方程有解
∴a≠ - 2
∵原方程有整数解 x ，a 为整数，x＜0
∴2+a ＝1 或 5
∴a ＝ - 1 或 3
综上所述，a 的取值为±1 、 ±3
整数 a 的所有可能取值的乘积为 9
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质、分式求整数值、解一元一次方程．这里注意，含绝对值的化简只要 要看清绝对值符号内式子值得正负，这往往是分类讨论的信号．分式求整数值，一般都把分式化成整式 加分子是常数的分式两部分考虑．
2 ．在解关于 x 的方程 时，小冉在去分母的过程中，右边的“ - 2 ”漏乘了 公分母 6 ，因而求得方程的解为 x ＝2 ，则方程正确的解是 ( )
A ．x ＝ - 12 B ．x ＝ - 8 C ．x ＝8 D ．x ＝12
【分析】把 x ＝2 代入 2（2x - 1） ＝3（x+a） - 2 得 a 的值，把 a 的值代入原方程得 按照解一元一次方程的步骤求出解．
【解答】解：把 x ＝2 代入 2（2x - 1）＝3（x+a） - 2 得，
2×（4 - 1）＝3 ×（2+a） - 2，
6 ＝6+3a - 2， 6 - 6+2 ＝3a，
∴原方程为
去分母，得 2（2x - 1）＝3（x+） - 2×6， 去括号，得 4x - 2 ＝3x+2 - 12，
移项，得 4x - 3x ＝2 - 12+2，
把系数化为 1 ，得 x ＝ - 8．
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并 同类项、系数化为 1 ，根据题意求出 a 的值是解题关键．
3 ．若关于 x 的方程的解是负整数，m 是整数，则所有满足条件方程的解的和为 ( )
A ． - 5 B ． - 7 C ． - 19 D ． - 24
【分析】先用含 m 的式子表示出方程的解，再根据题中的条件求出所有满足条件方程的解，最后加在 一起便是结果．
解
6x - 2+mx ＝2x+2， （4+m）x ＝4，
∵方程解是负整数，m 是整数，
∴m+4 ＝ - 4； m+4 ＝ - 2；
m+4 ＝ - 1，
∴ - 4+（ - 2）+（ - 1）＝ - 7， 故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是根据题意求出所有满足条件方程的解．
4．已知关于 x 的一元一次方程的解为 x ＝ - 3，那么关于y 的一元一次方程） +3 ＝2（y+1）+b 的解为 ( )
A．y ＝1 B．y ＝ - 1 C．y ＝ - 3 D．y ＝ - 4
【分析】根据已知条件得出方程y+1 ＝ - 3 ，求出方程的解即可．
【解答】解： ∵关于 x 的一元一次方程 的解为 x ＝ - 3， ∴关于y 的一元一次方程（y+1）+3 ＝2（y+1）+b 中y+1 ＝ - 3 ， 解得：y ＝ - 4，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的 关键．
5 ．若不论 k 取什么数，关于 x 的方程 是常数）的解总是 x ＝1 ．则 m+n 的值是 ( )
A ． - 0.5 B ． - 1.5 C ．0.5 D ．1.5
【分析】根据题意得出 m 、n 的方程是解题关键将 x ＝1 代入方程，去分母整理得（4+n）k ＝7 - 2m ，进 而求出 m 、n 的值，即可计算求值．
【解答】解： ∵关于 x 的方程 是常数）的解总是 x ＝1，
整理得：（4+n）k ＝7 - 2m，
∵若不论 k 取什么数，关于 x 的方程的解不变， 解得：
∴m - n ＝3.5 - 4 ＝ - 0.5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解一次方程是关键．
二．填空题（共 4 小题）
6 ．已知关于 x 的方程的解是非负整数，那么正整数 a 的所有可能的值之和为 15 ． 【分析】此题先解方程得出 根据方程的解为非负整数和a 为正整数这两个已知条件，得出 a 的值，继而进一步计算出所有正整数 a 的值之和．
解
解得：
∵方程的解为非负整数且 a 为正整数， ∴8 - a ＝0 或 8 - a ＝3 或 8 - a ＝6，
∴a ＝8 或 a ＝5 或 a ＝2，
∴所有满足条件的正整数 a 的值之和为 8+5+2 ＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是正确求解方程，同时要注意的是本题的解为非负 整数（即为自然数），要考虑解为 0 的情况．
7 ．如果 a ，b 为定值，关于 x 的一次方程 无论 k 为何值时，它的解总是 1 ，则 6a+b = 1 ．
【分析】将 x ＝1 代入原方程，整理后可得出（3+b）k＝4 - 6a ，结合原方程的解与 k 值无关，可得出关 于 a ，b 的方程，解之即可得出 a ，b 的值，再将其代入 6a+b 中，即可求出结论．
k+2a 1—bk 1
【解答】解：将 x ＝1 代入原方程得
∴3k+6a - 1+bk＝3， ∴3k+bk ＝4 - 6a，
∴（3+b）k ＝4 - 6a．
根据题意得： 3 + b = 0 ，
解得： ，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数
的值叫做一元一次方程的解 ”是解题的关键．
8 ．已知关于 x 的一元一次方程无解，则 ．
【分析】解整式方程，当一次项系数等于 0 时，原方程无解．
【解答】解：去分母，得 mx - 1 ＝2x+9，
移项，得 mx - 2x ＝1+9，
合并，得（m - 2）x ＝10．
当 m - 2 ＝0 ，即 m ＝2 时，原方程无解．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程有无解的条件是解决本题的关键．
9 ．已知 b 是关于 x 的方程 的解，则 2020 - 4ab - 8b 的值为 2022 ．
【分析】把 x ＝b 代入原方程得 把 2020 - 4ab - 8b 化为 2020 - 4（ab+2b）的形式，然后把
整体代入计算即可．
【解答】解： ∵b 是关于 x 的方程 的解，
∵2020 - 4ab - 8b ＝2020 - 4（ab+2b），
∴把 代入原式＝2020+2 ＝2022．
故答案为：2022．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解，掌握对一元一次方程的解的理解，把 看作一个整 体代入变形后的代数式是解题关键．
三．解答题（共 16 小题）
10 ．解下列方程：
【分析】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 ，计算即可． 【解答】解：原方程可变为
两边都乘以 75 得，25（2 - 10x） - 112.5 ＝3（ 10 - 30x）， 去括号得，50 - 250x - 112.5 ＝30 - 90x，
移项得， - 250x+90x ＝30 - 50+112.5，
合并同类项得， - 160x ＝92.5，
两边都除以 - 160 得
【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为 1 ，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键．
11 ．解方程
5 3 x
（1）
【分析】（1）根据比例的基本性质可得 即可求解；
（2）先去分母，合并同类项，然后系数化为 1 即可．
5 3 x
解
解得：
∴400x+1300 - 3（ 1400 - 300x）＝0， ∴ 1300x ＝2900，
解得：
【点评】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键．
12 ．解方程
【分析】先根据分数的基本性质把方程化简，然后先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1 ，从而 得到方程的解．
【解答】解：方程可化为 去分母得，3x - （x - 20）＝10+15x，
去括号得，3x - x+20 ＝10+15x， 移项得，3x - x - 15x ＝10 - 20， 合并同类项得， - 13x ＝ - 10 ， 系数化为 1 得
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不 要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
13 ．解方程：
【分析】（1）先去中括号，再去小括号然后移项后把 x 的系数化为 1 即可；
（2）根据分式的性质化简方程，再按照解方程的步骤解方程即可． 解
6x - 3x+3 ＝8x+16，
（2）
整理得：70+15x - 10 ＝30 - 100x， ∴ 115x ＝ - 30，
【点评】本题考查了解一元一次方程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 ，这仅是解一 元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向 x ＝a 形式转化．
14 ．解下列方程
【分析】方程左边两项分别分子分母同时乘以 10 变形后，两边都乘以 10 去分母后，去括号，移项合并，
将 x 系数化为 1 ，即可求出解．
【解答】解：方程变形得 去分母得：2（ 10x - 30） - 5（10x+40）＝16，
去括号得：20x - 60 - 50x - 200 ＝16，
移项合并得： - 30x ＝276，
解得：x ＝ - 9.2．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将 x 系数化为 1 ，求出 解．
2x 1.6 3x 31x+8
15 ．解下列方程
【分析】方程变形后，去分母，去括号，移项合并，将 x 系数化为 1 ，即可求出解．
20x 16 30x 31x+8
【解答】解：方程变形得
去分母得：40x - 16+30x ＝62x+16，
移项合并得：8x ＝32，
解得：x ＝4．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将 x 系数化为 1 ，求出 解．
16 ．解方程：|x - 2|+|2x+1| ＝10．
【分析】分类讨论 解：当时，原方程可化为：2 - x+（ - 2x - 1）＝10， 解得 x ＝ - 3（符合题意）；
当 时，原方程可化为：2 - x+2x+1 ＝10， 解得 x ＝7（不合题意）；
当 x≥2 时，原方程可化为：x - 2+2x+1 ＝10， 解得符合题意），
∴原方程的解为x1 = 3 ，
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题的关键，把不符合题意的要舍去．
17 ．解方程：|2x - a|+（6 - a）2 ＝0
6 — a = 0
【解答】解： ∵|2x - a|+（6 - a）2 ＝0 ， ∴2x — a = 0，
∴方程的解为 x ＝3．
【点评】本题比较简单，只是考查一元一次方程的解法．以及非负数的性质，两个非负数的和为 0 ，及 这两个数为 0．
18 ．若 a 、b 、c 、d 是正数，解方程
【分析】将 4 移项到方程左边变成 - 4 ，每项都 - 1 ，然后通分，利用乘法分配律，把（x - a - b - c - d） 写在括号外面，根据 a ，b ，c ，d 为正数得 x - a - b - c - d ＝0 ，求出 x 即可．
【解答】解：原方程即
∵a ，b ，c ，d 是正数，
∴x - a - b - c - d＝0， ∴x ＝a+b+c+d．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法，有一定的技巧性，每项都减 1 进行通分是解题的关键．
19 ．已知关于 x 的方程 的解与方程 的解互为相反数，求 k 的值． 【分析】首先解每个关于 x 的方程，利用k 表示出 x ，然后根据两个方程的解互为相反数列方程求得k 的值．
【解答】解：解方程 得， x ＝ - 1 - 2k，
解 得 根据题意得
解得：
【点评】本题考查了方程的解的定义以及一元一次方程的解法，方程的解就是能使方程 左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．
20 ．（1） 已知|a - 1|+（ab+2）2 ＝0 ，求（a+b）2016 的值．
（2）解方程
【分析】（1）根据已知等式，利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1 ，即可求出解． 【解答】解：（1） ∵|a - 1|+（ab+2）2 ＝0，
∴a ＝1 ，b ＝ - 2，
则原式＝（ 1 - 2）2016 ＝（ - 1）2016 ＝1；
（2）去分母得：6（2x - 1） - 4（2x+5）＝3（10x - 17）+12，
去括号得：12x - 6 - 8x - 20 ＝30x - 51+12，
移项合并得：26x ＝13，
解得：x ＝0.5．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21 ．若|a - 3|+（b+1）2 ＝0 ，式子 2b - a+3m 的值比 b - a+m 多 1 ，求 m 的值．
【分析】利用非负数的性质求出a 与b 的值，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到 m 的值． 【解答】解： ∵|a - 3|+（b+1）2 ＝0，
∴a - 3 ＝0 ，b+1 ＝0 ，即 a ＝3 ，b ＝ - 1，
根据题意得：2b - a+3m - （b - a+m） ＝1 ，即 - 2 - 3+3m+1+3 - m ＝1，
解得：m ＝1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22 ．已知|2m - 4|与 互为相反数，求关于 x 的方程的解．
【分析】利用互为相反数两数之和为 0 列出关系式，再利用非负数的性质求出 m 与 n 的值，代入方程 计算即可求出解．
解 即 m ＝2 ，n ＝ - 3 ， 代入方程得
去括号得
去分母得：6x - 9 - 12x+20 ＝5，
移项合并得： - 6x ＝ - 6，
解得：x ＝1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为 1， 即可求出解．
23．当 m 满足什么条件时，关于 x 的方程|x - 3| - |x - 7| ＝m 有一解？有无数多个解？无解？如果方程有解，
请求出方程的解．
【分析】根据绝对值的代数意义分类讨论取值即可．
【解答】解： ①当x≤3 时，原方程可化为 3 - x - （7 - x）＝m， ∴m ＝ - 4，
∴当 m ＝ - 4 时，方程有无数解，
当 m ≠ - 4 时，方程无解；
②当 3＜x＜7 时，原方程可化为 x - 3 - （7 - x）＝m， ∴m ＝2x - 10，
∵3＜x＜7，
∴ - 4＜m＜4，
∴当 - 4＜m＜4 时，方程有一解，
当 m＞4 或 m ＜ - 4 ，方程无解；
③当x≥7 时，原方程可化为 x - 3 - （x - 7）＝m， ∴m ＝4，
∴当 m ＝4 时，方程有无数解；
综上所述，当 m ＝ - 4 或 m ＝4 时，方程有无数解；当 - 4＜m＜4 时，方程有一解；当 m ＜ - 4 或 m＞4 时，方程无解．
【点评】本题考查了含绝对值的一次方程的解法，熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键．
24 ．列方程求解
（1）m 为何值时，关于 x 的一元一次方程 4x - 2m ＝3x - 1 的解是 x ＝2x - 3m 的解的 2 倍．
（2）已知|a - 3|+（b+1）2 ＝0 ，代数式的值比 多 1 ，求 m 的值． 【分析】（1）分别表示出两方程的解，根据解的关系确定出 m 的值即可；
（2）根据题意列出方程，利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入计算即可求出 m 的值．
【解答】解：（1）方程 4x - 2m ＝3x - 1，
解得：x ＝2m - 1， 方程 x ＝2x - 3m ， 解得：x ＝3m，
由题意得：2m - 1 ＝6m，
解得：
（2） 由|a - 3|+（b+1）2 ＝0 ，得到 a ＝3 ，b ＝ - 1，
代入方程 得 整理得
去分母得：m - 5+1+6 - 2m ＝2，
解得：m ＝0．
【点评】此题考查了解一元一次方程，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25 ．1990 年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同 ”这一处理 不同文化关系的十六字“箴言 ”．在数学上，我们不妨约定：若关于 x 的方程 a1x+b1 ＝0 与 a2x+b2 ＝0 同 时满足Ia1 - b2 I + (a2 - b1)2 = 0，则称方程 a1x+b1 ＝0 与 a2x+b2 ＝0 互为“美美与共 ”方程．根据该约 定，回答下列问题．
（1） 已知关于 x 的方程 2x - m ＝0 与 ax+b ＝0 互为“美美与共 ”方程，且方程 2x - m ＝0 的解为 则 m ＝ 1 ，a ＝ - 1 ，b ＝ 2 ；
（2）是否存在有理数k，使关于 x 的方程 3x+k ＝0 与其“美美与共 ”方程的解都是整数，若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由；
（3）若方程 x - 1 ＝2（2x - 1）的解也是方程 ax+b ＝0 的解，求方程 ax+b ＝0 的“美美与共 ”方程的解． 【分析】（1）根据题干信息得出 a1 ＝b2 ，a2 ＝b1 ，先方程 2x - m ＝0 的解为，求出 m ＝1 ，即可得出答 案；
（2）先求出方程 3x+k ＝0 的解为在求出方程 3x+k＝0 的“美美与共 ”方程 kx+3 ＝0 的解为 根据- 和 都为整数，求出结果即可；
（3）先求出方程 x - 1 ＝2（2x - 1）的解为： 得出方程 ax+b ＝0 的解为 再求出方 程 ax+b ＝0 的“美美与共 ”方程为 bx+a ＝0 ，求出方程 bx+a ＝0 的解为：
【解答】解：（1） ∵Ia1 — b2 I + (a2 — b1)2 = 0，
∴a1 - b2 ＝0 ，a2 - b1 ＝0， 解得：a1 ＝b2 ，a2 ＝b1，
∵方程 2x - m ＝0 的解为
解得：m ＝1，
∴方程 2x - m ＝0 与 ax+b ＝0 互为“美美与共 ”方程， ∴b ＝2 ， - m ＝a，
∴a ＝ - 1，
故答案为：1 ； - 1 ；2；
（2）存在；
方程 3x+k ＝0 的解为
方程 3x+k ＝0 的“美美与共 ”方程为：kx+3 ＝0 ，且其解为 ∵关于 x 的方程 3x+k ＝0 与其“美美与共 ”方程的解都是整数，
和 都为整数，
∴k= ±3；
（3）方程 x - 1 ＝2（2x - 1）的解为：，
∵方程 x - 1 ＝2（2x - 1）的解也是方程 ax+b ＝0 的解， ∴方程 ax+b ＝0 的解为
∵方程 ax+b ＝0 的“美美与共 ”方程为bx+a ＝0，
∴方程 bx+a ＝0 的解为．
即方程 ax+b ＝0 的“美美与共 ”方程的解为 x ＝3．
【点评】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤准确计 算．
kx+2a x一bk 1
kx+2a x—bk 1
4 — 6a = 0
【分析】根据非负数的性质，列方程组得2x — a = 0，求解即可．
6 — a = 0 解得，
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