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期末数学－ 易错难点必练
一、选择题（共 25 小题）
1 ．如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是 ( )
A ． B ． C ． D．
2 ．今有长度分别为 1 ，2 ， … , 9 的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组 ”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组 ”的组数有 ( )
A ．5 组 B ．7 组 C ．9 组 D ．11 组
3 ．有理数 a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示。当 a+d ＝0 时，下面有五个结论： ①b+c＜0；
②cd＜0； ③d﹣a ＝0； ④>-1； ⑤b2 ＞c2 ，其中结论正确的是 ( )
A ． ①④⑤ B ． ①②④ C ． ③④⑤ D ． ①⑤
4 ．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图 1 是一个幻方的图案，其中9 个格中的点数分别为 1 ，2 ，3， 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ．每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是 15 ．如图 2 是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的 3 个数的和都相等，那么正中间的方格中的数字为 ( )
A ．5 B ．1 C ．0 D ．﹣ 1
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5 ．幻方是一种中国传统的数字游戏。游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角
线上的数字和都相等。如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中 a 的值为 ( )
(
15
4
1
a
)
A ．5 B ．7 C ．9 D ．12
6 ．如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的 A 处，B 处，C 处，D 处，E 处，且这五户居民的人数依次有 1 人，2 人，3 人，3 人，2 人。乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点 M，使得所有居民到便民服务点的距离之和（每户所有居民均需要计算）最小，则便民服务点 M 应建在 ( )
A ．A 处 B ．B 处 C ．C 处 D ．D 处
7 ．一副直角三角板如图 1 放置：直角三角板 ABC (∠ABC ＝45 ° ) 的边 BC 与直角三角板 BDE (∠DBE = 30 ° ) 的边 BD 重合，点 F 在线段 AB 的延长线上。如图 2，将图 1 的直角三角板 BDE 绕点 B 以每秒 2 °的速度顺时针旋转（当射线 BE 与射线 BF 重合时停止），BM 平分∠EBF，当满足∠CBM＝3∠CBD ﹣80 °时，三角板 BDE 的运动时间为 ( )
A ．31 秒 B ．32.5 秒 C ．32 秒 D ．33.5 秒
8 ．关于 x 的不等式组有解且至多有 5 个整数解，关于 x 的方程有整数解，则满足条件的所有整数 m 的和是 ( )
A ．2 B ．0
C ． ﹣4 D ．不存在符合条件的 m
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9 ．如图，把一个周长为定值的长方形分割为五个四边形，其中 A 是正方形，B ，C，D ，E 都是长方形，这五个四边形的周长分别用 lA ，lB ，lC，lD ，lE 表示，则下列各式的值为定值的是 ( )
A ．lA B ．lB+lD C ．lA+lB+lD D ．lA+lC+lE
10 ．四个完全相同的正方体摆成如图的几何体，这个几何体 ( ) A ．从正面看和从左面看得到的平面图形相同
B ．从正面看和从上面看得到的平面图形相同
C ．从左面看和从上面看得到的平面图形相同
D ．从正面、左面、上面看得到的平面图形都不相同。
11 ．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形。拼第 1 个图形所用两种卡片的总数为 7 枚，拼第 2 个图形所用两种卡片的总数为 12 枚…若按照这样的规律拼出的第 n 个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 10 枚，则拼第 n 个图形所用两种卡片的总数为 ( )
A ．57 枚 B ．52 枚 C ．50 枚 D ．47 枚
12 ．将两边长分别为 a 和 b（a＞b）的正方形纸片按图 1 、图 2 两种方式置于长方形 ABCD 中，（图 1 、图 2
中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴
影部分的周长为 C1 ，图 2 中阴影部分的周长为 C2 ，则 C1 ﹣C2 的值 ( )
A ．0 B ．a﹣b C ．2a﹣2b D ．2b﹣2a
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13 ．在数轴上表示有理数 a ，b ，c 的点如图所示，若 a+b＜0 ，ac＜0 ，则下面四个结论：①abc＜0；②b+c <0； ③|a|﹣ |b|＞0； ④|a﹣c|＜|a| ，其中一定成立的结论个数为 ( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
14 ．如图是 2024 年 1 月 日历，用“Z”形方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为 a ，四个数字之和记为
S．当 S ＝82 时，a 所表示的日期是星期 ( )
A ．一 B ．二 C ．三 D ． 四
15 ．已知 A ＝2x2+3xy﹣2x ，B ＝x2+xy+y ，且 A﹣2B 的值与 x 的取值无关。若 B ＝5 ，则 A 的值是 ( )
A ． ﹣4 B ．2 C ．6 D ．10
16 ．下列关于 x 的方程说法不正确的是 ( )
A ．方程 2x ＝b 的解是
B ．若 2ax ＝（a+1）x 的解是 x ＝1 ，则 2a（x﹣ 1）＝6 的解是 x ＝4
C ．若 a ＝2b ，ab≠0 ，则方程 ax ＝b 的解是
D ．若方程 x+1 ＝2m 的解和方程 2x﹣m ＝x 的解相同，则
17 ．的所有可能的值有（ ）个。
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
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18 ．有公共端点 P 的两条线段 MP ，NP 组成一条折线 M﹣P﹣N，若该折线 M﹣P﹣N 上一点 Q 把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点 Q 叫作这条折线的“折中点 ”。已知点 D 是折线A ﹣C﹣B 的“折中点 ”，点 E 为线段 AC 的中点，CD ＝6 ，CE ＝10 ，则线段 BC 的长是 ( )
A ．8 B ．8 或 16 C ．8 或 32 D ．16 或 32
19 ．下列说法正确的是 ( )
A ．﹣ |a|一定是负数 B ．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等
C ．若|a| ＝|b| ，则 a 与 b 互为相反数 D ．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数
20 ．a 是不为 1 的有理数，我们把 称为 a 的差倒数。如：2 的差倒数是 ， -1 的差倒数是 . 已知 ，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数， … , 以此类推，则 a2023 = ( )
A ． B ． C ．4 D ．
21.我们把不超过有理数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作[x]，又把 x﹣ [x]称为 x 的小数部分，记作｛x}，则有 x ＝[x]+ {x} ．如：[1.3] ＝1 ，｛1.3} ＝0.3 ，1.3 ＝[1.3]+ {1.3} ．下列说法中正确的有（ ）个。
① [2.8] ＝2； ② [ ﹣5.3] = ﹣5 ； ③若 1＜|x|＜2 ，且{x} ＝0.4 ，则 x ＝1.4 或 x = ﹣ 1.6； ④方程 3[x]+1 ＝{x}+3x 的解为 x ＝0.25．
A ．4 B ．3 C ．2 D ． 1
22 ． 电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形 ABC，AB ＝7 ，AC ＝8 ，BC ＝9 ，如果电子跳蚤开始时在 BC 边的 P0点，BP0 ＝3 ，第一步跳蚤从 P0跳到 AC 边上 P1 点，且 CP1 ＝CP0；第二步跳蚤从 P1跳到 AB 边上 P2 点，且 AP2 ＝AP1；第三步跳蚤从 P2跳回到 BC 边上 P3点，且 BP3 ＝BP2；跳蚤按上述规则跳下去，第 n 次落点为 Pn，则 P5与 P2024之间的距离为 ( )
A ．0 B ．2 C ．4 D ．5
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23 ．关于 x 的多项式： ，其中 n 为正整数。各项系数各不相同且均不为 0 ．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“亲密多项式 ”。当n ＝4 时，．
①多项式 A4共有 10 个不同的“亲密多项式 ”；
②多项式 An 共有个不同的“亲密多项式 ”；
③若多项式A-(1-2x)" ，则 An 的所有系数之和为 1；
④若多项式 ，则 a4+a2+a0 = ﹣ 121．以上说法正确的有 ( )
A ． ① B ． ①②③ C ． ①②④ D ． ①②③④
24 ．如图，长方形纸片 ABCD ，E 为 CD 边上一点，将纸片沿 BE 折叠，点 C 落在点 C'处，将纸片沿 AE 折叠，点 D 落在点 D'处，且 D'恰好在线段 BE 上。若∠AEC' = α , 则∠CEB = ( )
A ． B ． C ． D ．
25 ．小红同学在某月的日历上圈出了三个数 a ，b ，c ，并求出了它们的和为 45 ，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是 ( )
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
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(
C
．
) (
D
．
)A ． B ．
二、填空题（共 15 小题）
26 ．已知关于 x 的方程kx ＝7﹣x 有正整数解，则整数k 的值为 ．
27 ．观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4 个点，第 2 个图中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点， …按此规律第 n 个图中共有点的个数是 ．
28 ．某工作小组将生产零件的任务交给王刚和李明二人。经前期统计，在一天内，王刚共加工 a 个零件，加工时间为小时；在一天内。李明共加工 b 个零件，加工时间为（b﹣2）小时。第一天，两人一共生产零件 13 个，且加工时间相同，那么王刚共加工 个零件；第二天开工前，该工作小组按第一天的分配结果分配了 13 个零件的加工任务后。又给王刚分配了 m 个零件的加工任务，给李明分配了 n 个零件的加工任务，若二人都能在一天内加工完各自分配到的任务。且加工时间相同，则的值为 。
29 ．某社区为增强居民体质，体现以人民为中心的发展理念，准备到一家健身器材专卖店购置一批健身器材供居民健身使用。该专卖店推出两种优惠活动，并规定只能选择其中一种。
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满 400 元减 100 元。（如：所购商品原价为 400 元，可减 100 元，需付款 300元；所购商品原价为 900 元，可减 200 元，需付款 700 元）
（1）若购买一件原价为 550 元的健身器材，更合算的选择方式为活动 ；
（2）若购买一件原价为 a（0＜a＜1200）元的健身器材，选择活动二比选择活动一更合算，则 a 的取值范围是 ．
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30.如图，数轴上点 A0表示的数为﹣2 ，点 A1（不与 A0重合），A0分别到 1 对应的点的距离相等，点 A2（不与A1重合），A1分别到 2 对应的点的距离相等，点A3（不与A2重合），A2分别到 3 对应的点的距离相等，……按此规律，点 A5表示的数为 ，点 A2024表示的数为 ．
31 ．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，7 ，8 ，9 这八个数字填入如图 1 所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等。若按同样的要求重新填数如图2 所示，则 x﹣y 的值是 ，m﹣n 的值是 ．
32 ．互不重合的三个点 A ，B ，C 均在数轴上，已知 AB ＝a ，BC ＝b ，AC ＝c ，给出下列说法：
①若点 A 表示的数为 1 ，点 B 表示的数为 4 ，点 C 表示的数为 7 ，则 a ＝b ＝3 ，c ＝6；
②若点 A 表示的数为 1 ，a ＝3 ，则点 B 表示的数为4；
③有理数 a ，b ，c 满足|a﹣b|≤c；
④若 a ＝3k，b ＝k+9 ，c ＝2k+1 ，则点A 一定在线段 BC 上。其中所有正确说法的序号是 （填写正确的序号）
33 ．如果 a ，b 为定值，关于 x 的一次方程 ，无论 k 为何值时，它的解总是 1 ，则 6a+b
=
.
34 ．已知 x+y+7z ＝0 ，x﹣y﹣3z ＝0（xyz≠0），则 = .
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35 ．新年联欢，某公司为员工准备了 A、B 两种礼物，A 礼物单价 a 元，重 m 千克，B 礼物单价（a+20）元，重（m+2）千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重 2 千克，则两个盲盒的总价钱相差 元，通过称重其他盲盒，大家发现：
称重情况 重量大于小林的盲盒的 与小林的盲盒一样重 重量介于小林和小李之间的 与小李的盲盒一样重 重量小于小李的盲盒的
盲盒个数 0 5 0 9 4
若这些礼物共花费 3040 元，则 a ＝ 元。
36 ．学习绝对值后，我们知道 5﹣（( ﹣2）可以表示为 5 与﹣2 之差的绝对值，根据绝对值的几何意义，也
可以理解为 5 与﹣2 两数在数轴上对应两点之间的距离。
①|x+1|可以表示为 x 与 两数在数轴上对应两点之间的距离；
②|x﹣ 1|+|x+2| ＝3 时，符合方程的所有整数解的和为 ．
37 ．已知 a 是不为 1 的有理数，我们把称为 a 的差倒数，如：3 的差倒数是 ．已知 a1 = ﹣ 1， a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数， … , 以此类推，an 为 an﹣ 1 的差倒数，则 a2 = ；若 a1+a2+…+an＝55 ，则 n = .
38 ．有理数 a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的有 ．
①a＜0＜b; ②|a|<|b|; ③ab＞0; ④b﹣a＞b+a; ⑤> -1; ⑥﹣a＞b>﹣b＞a．
39 ．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第 n 个图形中有 个小圆圈。
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40 ．如图，商品条形码是商品的“身份证 ”，共有 13 位数字。它是由前 12 位数字和校验码构成，其结构分别代表“ 国家代码、厂商代码、产品代码、校验码 ”。其中，校验码是用来校验商品条形码中前 12 位数字代码的正确性。它的编制是按照特定的算法得来的。其算法为：
步骤 1 ：计算前 12 位数字中偶数位数字的和 a ，即 a ＝9+1+3+5+7+9 ＝34；
步骤 2 ：计算前 12 位数字中奇数位数字的和 b ，即 b ＝6+0+2+4+6+8 ＝26；
步骤 3 ：计算 3a 与 b 的和 c ，即 c ＝3×34+26 ＝128；
步骤 4 ：取大于或等于 c 且为 10 的整数倍的最小数d，即 d ＝130；
步骤 5 ：计算 d 与 c 的差就是校验码 X，即 X＝130﹣ 128 ＝2．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是 5 ，则被污染的两个数字中右边的数字是 ．
三、解答题（共 10 小题）
41．定义：如图①，射线 OC 在∠AOB 的内部，图中共有 3 个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC。若其中有一个角是另一个角的 3 倍，则称射线 OC 是∠AOB 的“巧分线 ”。
（1）如图①，若∠AOB ＝ 60 ° , 且射线 OC 是∠AOB 的“巧分线”，则∠AOC 的度数= 。
（2）如图② , 若∠MPN＝60 ° , 射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒 4 ° 的速度顺时针旋转，同时射线 PM 绕点 P 以每秒 3 ° 的速度顺时针旋转，当 PQ 与 PN 第一次成 100 °角时，射线 PQ 和射线 PM同时停止旋转。设旋转的时间为 t 秒，求 t 为何值时，射线 PQ 是∠MPN的“巧分线 ”。
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42 ．对于数轴上的点 M，线段 AB ，给出如下定义：P 为线段 AB 上任意一点，如果 M，P 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点 M，线段 AB 的“近距 ”，记作d1（点 M，线段 AB）；如果 M，P 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点 M，线段 AB 的“远距 ”，记作d2（点 M，线段 AB）。特别的，若点 M 与点 P 重合，则 M，P 两点间距离为 0 ．已知点 A 表示的数为﹣2 ，点 B 表示的数为 3 ．例如，若点 C 表示的数为 5 ，则 d1（点 C，线段 AB）＝2 ，d2（点 C，线段 AB） ＝7．
（1）若点 D 表示的数为﹣3 ，则 d1（点 D ，线段 AB）＝ ，d2（点 D ，线段 AB）= ;
（2）若点 E 表示数为 x ，点 F 表示数为 x+1 ．d2（点 F，线段 AB）是 d1（点 E ，线段 AB）的 4 倍，求 x的值。
43．定义：数轴上有三个点 A，B，C，如果点 C 到 A、B 两个点的距离之比为三倍，则称点 C 是（A，B）的“三倍关联点”。
例如，如图 1，点 A 表示的数是 -3，点 B 表示的数是 5，表示 -1 的点 C 到点 A 的距离是 2，到点 B 的距离是 6，点 C 到点 B 的距离是到点 A 距离的 3 倍，那么称点 C 是（A，B）的“三倍关联点”。
（1）如图 2，点 A 表示的数是 -2，点 B 表示的数是 2，点 C1，C2 分别表示数 0，1，则两个点中是（A，B）的“三倍关联点”的是 。
（2）如图 3，点 A 表示的数是 -5，点 B 表示的数是 3，点 C 是数轴上一动点，当其恰好是（A，B）的“三倍关联点”时，求 C 点表示的数。
（3）点 B 表示的数是 3，点 A 表示的数是 x（x＜3），点 C 表示的数的最大值为 1，最小值为 -2，若点 C 是（A，B）的“三倍关联点”，则 x 的最小值为 ，x 的最大值为 ．
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44．已知∠AOB 与∠COD 共顶点 O，∠AOB = α，∠COD = β。
（1）如图 1，点 A，O，C 在一条直线上，若 α =° , β =° , OM 为∠AOD 的平分线，ON 为∠COB 的平分线，求∠MON 的度数。
（2）若α =2β，∠AOB、∠COD 绕点 O 运动到如图 2 所示的位置，OE 为∠BOD 的平分线，用等式表示∠AOD 与∠COE 之间的数量关系，并说明理由。
45 ．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若其中一条线段的中点恰好是另一条线段的一个三等分点，则称这两条线段互为友好线段。
（1）在数轴上，点 A 表示的数为﹣4 ，点 B 表示的数为 2 ，点 C1表示的数为﹣ , 点 C2表示的数为﹣2，点 C3表示的数为 4 ，在线段 BC1 ，BC2 ，BC3 中，与线段 AB 互为友好线段的是 ；
（2）在数轴上，点 A ，B ，C ，D 表示的数分别为 x ， ﹣2﹣x ， ，且 A ，B 不重合。若线段AB ，CD 互为友好线段，直接写出 x 的值。
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46 ．数轴上有四个点 P ，Q，M，N．我们规定：点 P 与点 Q 之间的距离记为d，点 P 与点 M 或点 N 中某一个点的距离记为d1 ，点 Q 与点 M 或点 N 中另一个点的距离记为d2 ，若满足d ＝d1﹣d2 ，则称 P 和 Q 是M，N 的“伴随点对 ”。
例如：点 P ，Q ，M，N 分别表示的数为 8 ，9 ，4 ，2．
此时，PQ ＝1 ，PM＝4 ，PN＝6 ，QM＝5 ，QN＝7 ，其中存在 PQ ＝PN﹣QM＝1 ，满足 d ＝d1﹣d2 ，则称P 和 Q 是 M，N 的“伴随点对 ”。
在数轴上点A ，B 分别表示的数为﹣2 ，4．
（1）若点 C1和 D1分别表示的数为 10 和 1 ，点 C2和 D2分别表示的数为 3 和﹣6 ，点 C3和 D3分别表示的数为﹣6 和﹣9，则在①C1 和 D1，② C2和 D2，③C3和 D3 中，是 A，B 的“伴随点对 ”的是 （填序号即可）；
（2）若点 C 表示的数为 1 ，点 D 表示的数为 m ，且 C 和 D 是 A，B 的“伴随点对 ”，直接写出 m 的取值范围；
（3）若点 C 从点 A 出发以每秒 4 个单位长度向右运动，同时点 D 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度向左运动，当点 D 到达点 A 时，点 C 和点 D 同时停止运动。设点 D 的运动时间为 t 秒。当 C 和 D 是 A ，B的“伴随点对 ”时，直接写出 t 的值。
47 ．已知有理数 a 、b 满足 ab＜0 ，a+b＞0 且|a|＜|b|
（1）在数轴上标出数 a ， ﹣a ，b ， ﹣b ，并用“ ＜ ”号连接这四个数。
（2）化简：|2a﹣b| ﹣|2b﹣a|+|a+b|
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48 ．已知∠MON＝60 ° , 对于射线 OP ，将的值定义为射线 OP 关于∠MON的特征值，记为rOP ，即 ，其中 0 ° <∠MOP≤180 ° , 0 ° <∠NOP≤180 ° . 特别地，当射线 OP与射线 OM 或 ON 重合时，rOP ＝1
（1） 已知∠MOA ＝45 ° , 则 rOA 的值是 ；
（2）若 rOB ＝2 ，求∠MOB 的大小；
（3）已知∠SOT＝120 ° , ∠SOT的平分线为 OK，射线 OC 位于∠SOT 内部或边上，将射线 OC 关于∠ MON 的所有可能的特征值 rOC 的最小值记为 rm，当∠SOT 在平面内运动时，直接写出 rm 的最大值及此时∠MOK 的大小。
49 ．在数轴上，把原点记作点 O ，点 A 和点 B 分别表示的数为 a ，b（a＞b），我们称关于 x 的一元一次方程ax+b ＝ab 为线段 AB 的相关方程，将方程 ax+b ＝ab 的解记为 x ＝c，c 在数轴上对应的点为 C，若点 C 在线段 AB 上，则称线段 AB 为美好线段，C 为线段 AB 的美好点。
（1）若 a ＝2，b = ﹣ 1，则线段 AB 的相关方程为 ；线段 AB 是不是美好线段： （填“是 ”或“否 ”）；
（2） 已知 a ＝0.5 ，若线段 AB 的美好点恰好是线段 AB 的中点，求点 C 表示的数；
（3）已知数组 ， ， … , 0. ， ， ， … , , 一共有 4047 个数，数组 N：﹣ 10 ，﹣ 1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，一共有 10 个数。有理数 a 是数组 M 中的一个数，有理数 b 是数组 N中的一个数，若线段 AB 为美好线段，且线段 AB 的美好点在数轴的正半轴上，则这样的美好点一共有 个。
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50. 小知识：如图，我们称两臂长度相等（即 CA ＝CB）的圆规为等臂圆规。当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时，若张角∠ACB ＝x，则底角∠CAB＝∠CBA＝ 。
请运用上述知识解决问题：如图，n 个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，其张角度数变化如下： ∠A1C1A2 ＝160 ° , ∠A2C2A3 ＝80 ° , ∠A3C3A4 ＝40 ° , ∠A4C4A5 ＝20 ° , …
（1） ①由题意可得∠A1A2C1 = ° ;
②若 A2M 平分∠A3A2C1 ，则∠MA2C2 = ° ;
（2） ∠An+1Ancn = °（用含 n 的代数式表示）；
（3）当 n ≥3 时，设∠An﹣1AnCn﹣1 的度数为 a ， ∠An+1AnCn﹣1 的角平分线 AnN 与 Ancn 构成的角的度数为β , 那么 a 与β之间的等量关系是 ，请说明理由。（提示：可以借助下面的局部示意图）
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期末数学－ 易错难点必练
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C A B B C B B B A B
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 A A B C D C C D D C B
题号 23 24 25
答案 C A B
一、选择题（共 25 小题）
1 ．【答案】D
【分析】 由立方体中各图形的位置可知，结合各选项是否符合原图的特征。
【解答】解：A 、两个圆所在的面是相对的，不相邻，故 A 错误；
B 、C 中空白的圆圈不与白色的三角形相邻，故 B 、C 错误；
D 、正确。故选：D．
【点评】易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题。
2 ．【答案】C
【分析】易得线段的总长为 45，可得正方形的最大边长；根据组成正方形的线段的条数可得最小的边长，再看共有几种取法即可。
【解答】解：显然用这些线段去拼接成正方形，至少要 7 条。当用7 条线段去拼接成正方形时，有 3 条边每边都用2 条线段连接，而另一条边只用 1 条线段，其长度恰好等于其他 3 条边中每两条线段的长度之和。当用 8 条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等。
又因为 1+2+…+9 ＝45，
所以正方形的边长不大于45。
第 16页（共 49页）
由于 7 ＝1+6 ＝2+5 ＝3+4；8 ＝1+7 ＝2+6 ＝3+5；9 ＝1+8 ＝2+7 ＝3+6 ＝4+5；1+9 ＝2+8 ＝3+7 ＝4+6；2+9 = 3+8 ＝4+7 ＝5+6．
所以组成边长为 7 、8 、10 、11 的正方形，各有一种方法；组成边长为 9 的正方形，有 5 种方法，故这样的“线段组 ”的组数有 9 组。
故选：C．
【点评】考查了计数方法，推理与论证，得到所组合正方形的最大边长与最小边长的长度是解决本题的关键。
3 ．【答案】A
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得 a＜b＜0＜c＜d ，根据有理数的运算，可得答案。
【解答】解： ∵a+d ＝0，
∴a＜0 ，d＞0 ，原点在 b 和 c 之间，且距离 c 更近，
∴由有理数 a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置可得 a＜b＜0＜c＜d，|b|＞|c|， ∴b+c＜0 ，故①正确；
cd＞0 ，故②错误；
d﹣a＞0 ，故③错误；
> ﹣ 1 ，故④正确；
b2 ＞c2 ，故⑤正确。
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用 a+d ＝0 ，得到原点的位置是解题关键，又利用了有理数的运算法则。
4 ．【答案】B
【分析】 由题意推出 0+ （ ﹣ 1）＝中间的数+ （ ﹣2），即可得到答案。
【解答】解： ∵同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的 3 个数的和都相等， ∴0+ （ ﹣ 1）＝中间的数+ （ ﹣2），
∴那正中间的方格中的数字为 1．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的加法，关键是由题意推出 0+ （ ﹣ 1）＝中间的数+ （ ﹣2）。
5 ．【答案】B
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【分析】 由第三行和第三列上的数字和相等，可得出左下角的数字为 19﹣a ， 由第二行和每条斜对角线上的数字和都相等，可列出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论。
【解答】解： ∵第三行和第三列上的数字和相等， ∴左下角的数字为 19﹣a ，如图所示。
根据题意得：4+19﹣a ＝1+15，解得：a ＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键。
6 ．【答案】C
【分析】先设 AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DE ＝d，根据 A ，E 在两端，判断建在 A 、E 两点处时所有居民到便民服务点的距离之和最长，然后分三种情况讨论：求出点 M 分别建在 B 、C、D 处时的距离，进行比较即可。
【解答】解：设 AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DE ＝d，
当便民服务点 M 建在 A 、E 两点处，可知此时所有居民到便民服务点的距离之和最长，当便民服务点 M 建在 B 处时，所有居民到便民服务点的距离之和为：
AB+3BC+3BD+2BE
=a+3b+3(b+c)+2（b+c+d） =a+3b+3b+3c+2b+2c+2d
=a+8b+5c+2d;
当便民服务点 M 建在点 C 处时，所有居民到便民服务点的距离之和为：
AC+2BC+3CD+2CE
=a+b+2b+3c+2（c+d）
=a+b+2b+3c+2c+2d =a+3b+5c+2d;
当便民服务点 M 建在点 D 处时，所有居民到便民服务点的距离之和为：
AD+2BD+3CD+2DE
第 18页（共 49页）
=a+b+c+2（b+c）+3c+2d =a+b+c+2b+2c+3c+2d
=a+3b+6c+2d,
∵a+8b+5c+2d＞a+3b+6c+2d＞a+3b+5c+2d,
∴便民服务点 M 建在点 C 处时，所有居民到便民服务点的距离之和最短，故选：C．
【点评】本题主要考查了线段两点间的距离，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差关系，能够利用分类讨论的思想解题。
7 ．【答案】B
【分析】由题意可得∠CBD ＝2 °t ，那么∠EBF＝(105﹣2t)。根据角平分线定义得出∠MBF= EBF＝(52.5﹣t)。由∠CBM＝3∠CBD－80 ° , 列出方程 180﹣45﹣（52.5﹣t)＝6t－80 ，解方程即可。
【解答】解： 由题意可得∠CBD ＝2 °t，
∵ ∠ABC ＝45 ° , ∠DBE ＝30 ° ,
∴ ∠EBF＝180 °﹣ ∠ABC﹣ ∠CBD﹣ ∠DBE ＝（ 105﹣2t） ° . ∵BM 平分∠EBF，
∵ ∠CBM＝3∠CBD ﹣80 ° ,
∴ 180﹣45﹣(52.5﹣t)=6t﹣80,
∴t ＝32.5．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线定义，角度的计算，解题的关键是用含 t 的代数式表示∠CBM 与∠CBD．
8 ．【答案】B
【分析】先根据题意求出 m 的范围，再求出方程的解，根据整数解求出 m 的值，再求和。
【解答】解：解不等式组得：－3≤x < ，
由题意得：－3 <≤2，
∴﹣9＜m ≤6，
第 19页（共 49页）
解分式方程得：x＝ ，且≠1，且m≠1，
∴m 的整数解为：2 或﹣2 或 0，
∴﹣2+2+0 ＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程和不等式组，求不等式组的解集是解题的关键。
9 ．【答案】B
【分析】设大长方形的长为 x ，宽为y ，正方形 A 的边长为 a ，长方形 B 的长为b ，宽为 c ，分别表示出长方形 C、D 、E 的周长，再进一步判断即可。
【解答】解：设大长方形的长为 x ，宽为y ，正方形 A 的边长为 a ，长方形 B 的长为b ，宽为 c，则 2x+2y 为定值，
长方形 C 的宽为 b﹣a ，长为 x﹣c，
长方形 E 的宽为y﹣c ，长为 a+c，
长方形 D 的长y﹣（b﹣a）＝y﹣b+a ，宽为 x﹣c﹣a， ∴lA ＝4a 不是定值，
故 A 不符合题意；
lB+lD ＝2b+2c+2（y﹣b+a）+2（x﹣c﹣a）＝2x+2y 是定值，故 B 符合题意；
lA+lB+lD ＝4a+2x+2y 不是定值，故 C 不符合题意；
lA+lC+lE ＝4a+2（b﹣a）+2（x﹣c）+2（y﹣c）+2（a+c）＝2x+2y+4a+2b﹣2c ，不是定值，故D不符合题意。
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意并根据题意表示出相应的周长是解题的关键。
10 ．【答案】A
【分析】首先分别画出从正面看、从左面看，以及从上面看得到的图形；然后比较，即可得出相同的图形。
【解答】解：从正面看几何体得到的图形为：
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从左面看几何体得到的图形为：
从上面看几何体得到的图形为：
由此可知：从左面与从正面看到的形状图相同。
故选：A．
【点评】本题主要考查几何体的三视图，正确画出几何体的三视图是解题的关键。
11.【答案】B
【分析】 由题意可知：第 1 个图形中有正方形和等边三角形卡片 2+5×1 ＝7 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 1 枚，第 2 个图形中有正方形和等边三角形卡片 2+5×2 ＝12 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多2 枚，第 3 个图形中有正方形和等边三角形卡片 2+5×3 ＝17 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 3 枚，依次可推出第 n 个图形中有正方形和等边三角形卡片 2+5n个，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 n 枚，即可求得答案。
【解答】解： ∵第 1 个图形中有正方形和等边三角形卡片 2+5×1 ＝7 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 1 枚，
第 2 个图形中有正方形和等边三角形卡片 2+5×2 ＝12 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多2 枚，
第 3 个图形中有正方形和等边三角形卡片 2+5×3 ＝17 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 3 枚， …
∴第 4 个图形中有正方形和等边三角形卡片 2+5×4 ＝22 枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多4 枚，第 n 个图形中有正方形和等边三角形卡片 2+5n个，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 n 枚，
∵第 n 个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多 10 枚， ∴n ＝10，
当 n ＝10 时，2+5n ＝2+5×10 ＝52，
∴第 n 个图形所用两种卡片的总数为 52．
故选：B．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题。
12 ．【答案】A
【分析】根据周长的计算公式，列式子计算解答。
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【解答】解： 由题意知：C1 ＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a，
因为四边形 ABCD 是长方形，
所以AB ＝CD
∴C1 ＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a ＝2AD+2AB﹣2b,
同理，C2 ＝AD﹣b+AB﹣a+a﹣b+a+BC﹣a+AB ＝2AD+2AB﹣2b，故 C1 ﹣C2 ＝0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减的法则是解题的关键。
13 ．【答案】A
【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可。
【解答】解： ∵a+b＜0 ，ac＜0，
∴a＜0 ，c＞0 ，b＞0 且|a|＞|b|或 b＜0， ∴abc＞0 或 abc＜0 ，选项①错误；
b+c＞0 或 b+c＜0 ，选项②错误；
|a|＞|b| ，即|a|﹣ |b|＞0 ，选项③正确； |a﹣c|＞|a| ，选项④错误，
其中一定成立的结论个数为 1．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的乘法，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键。
14 ．【答案】B
【分析】根据“ 四个数字之和记为 S ．当 S＝82 ”列方程求解。
【解答】解： 由题意得：a+a+1+a+9+a+8 ＝82，
解得：a ＝16，
16 是周二，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键。
15 ．【答案】C
【分析】计算 A﹣2B 后根据题意求得它的值，再由 B ＝5 即可求得 A 的值。 【解答】解：A﹣2B
=2x2+3xy﹣2x﹣2（x2+xy+y）
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=2x2+3xy﹣2x﹣2x2﹣2xy﹣2y =xy﹣2x﹣2y
=(y﹣2)x﹣2y,
∵A﹣2B 的值与 x 的取值无关， ∴y﹣2 ＝0，
∴y ＝2,
∴A﹣2B ＝0﹣4 = ﹣4,
∵B ＝5,
∴A﹣ 10 = ﹣4,
∴A ＝6,
故选：C．
【点评】本题考查整式的化简求值，结合已知条件求得 A﹣2B 的值是解题的关键。
16 ．【答案】D
【分析】（A）将方程 2x ＝b 等号两边同除以 2 ，可得方程的解；
（B）将 x ＝1 代入方程 2ax ＝（a+1）x ，求出 a 的值，再将 a 的值代入 2a（x﹣ 1）＝6 ，求出 x 的值即可；
（C）将方程 ax ＝b 中的 b 用 a 表示（或将 a 用 b 表示），根据ab≠0 ，求出方程的解即可；
（D）分别解方程 x+1 ＝2m 和 2x﹣m ＝x ，令二者的解相等，求出 m 的值即可。 【解答】解：（A）将方程 2x ＝b 等号两边同除以 2，
得 x = ,
∴A 正确，不符合题意；
（B）将 x ＝1 代入方程 2ax ＝（a+1）x，得 2a ＝a+1，
解得 a ＝1，
将 a ＝1 代入 2a（x﹣ 1）＝6，得 2（x﹣ 1）＝6，
解得 x ＝4；
∴B 正确，不符合题意；
(C) ∵a ＝2b , ax ＝b,
∴ax = ,
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∵ab≠0 ，即 a ≠0 ，且 b≠0，
∴x = ,
∴C 正确，不符合题意；
（D）x+1 ＝2m, x ＝2m﹣ 1;
2x﹣m ＝x, x ＝m;
根据题意，得 2m﹣ 1 ＝m，解得 m ＝1，
∴D 不正确，符合题意；故选：D．
【点评】本题考查同解方程等，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键。
17 ．【答案】C
【分析】根据 a 、b 、c 的正负，分 4 种情况：（1）a 、b 、c 均为正数时；（2）a 、b 、c 均为负数时；（3）
a.b、c 有两个正数，一个负数时；（4）a、b、c 有一个正数，两个负数时；求出 的所有可能的值即可。
【解答】解：（1）a 、b 、c 均为正数时，
= ++ =1+1+1 ＝3;
（2）a 、b 、c 均为负数时，
= ++ = -1 -1 -1 = -3;
（3）a 、b 、c 有两个正数，一个负数时，例如：a＞0 ，b＞0 ，c＜0，
= ++ =1+1﹣ 1 ＝1;
（4）a 、b 、c 有一个正数，两个负数时，例如：a＞0 ，b＜0 ，c＜0，
= ++ =1﹣ 1﹣ 1 = -1;
∴的所有可能的值有 4 个：3 ， ﹣3 ，1 ，﹣ 1．故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确： ①当 a 是正有理数时，a 的
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绝对值是它本身 a ；②当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a ；③当 a 是零时，a 的绝对值是零。
18 ．【答案】C
【分析】根据“折中点 ”的定义分情况求出 BC 的长度即可。
【解答】解：根据题意分以下两种情况：
①
此时 BC ＝CD+BD ＝CD+（AC+CD） ＝CD+（2CE+CD） ＝32；
②
此时 BC ＝（BC+CD） ﹣CD ＝AD ﹣CD ＝CE+CE ﹣CD ﹣CD ＝8；
故选：C．
【点评】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键。
19 ．【答案】D
【分析】根据相反数和绝对值的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案。
【解答】解：A 、﹣ |a|不一定是负数，当 a 为 0 时，结果还是 0 ，故错误；
B 、互为相反数的两个数的绝对值也相等，故错误； C、a 等于 b 时，|a| ＝|b| ，故错误；
D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数，符合绝对值的性质，故正确。故选：D．
【点评】考查了绝对值的性质。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．
20 ．【答案】D
【分析】根据新定义：称为 a 的差倒数即可解答。
【解答】解： ∵已知 ，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数，
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(
,
)∴
,
a4 = ,
∴这组数据每 3 个数为一个循环组依次循环， ∴2023÷3 ＝674… … 1，
∴ ,
故选：D．
【点评】本题考查了实数的新定义—差倒数，根据题意找出数据之间规律是解题的关键。
21 ．【答案】C
【分析】根据新定义可以判断出①② , 求出 x ＝1.4 或 x ＝ _ 1.6 的{x}判断③ , 根据新定义得到 4[x]+1 =4x ，得出 x ＝0.25 以判断④。
【解答】解： 由题意得，[2.8] ＝2 ，故①正确； [-5.3] ＝ -6，故②错误；
当 x ＝1.4 时，[1.4] ＝1 ，｛1.4} ＝1.4 _ 1 ＝0.4，
当 x ＝ _ 1.6 时，[-1.6] ＝ -2，｛-1.6} ＝ -1.6 _ （ _ 2）＝0.4，故③正确； ∵x ＝[x]+ {x} ，3[x]+1 ＝{x}+3x，
∴3[x]+1 ={x}+3([x]+ {x}),
∴4{x} =1,
∵0≤{x}<1,
∴x ＝0.25 或 x ＝1.25 或 x ＝2.25 等，故④错误。
故选：C．
【点评】本题考查的是新定义、有理数的运算与方程的解，其中正确运用新定义是解题的关键。
22 ．【答案】B
【分析】根据题意可以找出前几个点所在的位置以及到三角形顶点的距离，从而发现其中的规律，解决本题。
【解答】解： 由题意可得， BP0 ＝3，
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AP1 ＝8﹣(9﹣3)=2, BP2 ＝7﹣2 ＝5,
BP3 ＝5,
AP4 ＝8﹣(9﹣5)=4, BP5 ＝7﹣4 ＝3,
BP6 ＝3,
AP7 ＝8﹣(9﹣3)=2, BP8 ＝7﹣2 ＝5,
(
,
)……
∴点 P5在 AB 上，且 BP5 ＝3，
∵（2024+1） ÷6 ＝337…3,
∴点 P2024在 AB 上，且 BP2024 ＝7﹣2 ＝5， ∵5﹣3 ＝2，
∴P5与 P2024之间的距离为 2，故选：B．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中各点的变化规律，利用数形结合的思想解答。
23 ．【答案】C
【分析】 由“亲密多项式 ”，多项式 An 展开式，可以解决问题。
【解答】解： ①多项式 A4共有 10 个不同的“亲密多项式 ”，故①符合题意；
②多项式 An 共有个不同的“亲密多项式 ”，故②符合题意；
③若多项式A-(1-2x)，则 An 的所有系数之和为（1﹣2×1）n = （ ﹣ 1）n ，当 n 为偶数时，（ ﹣ 1）n = 1 ，当 n 为奇数时，（ ﹣ 1）n = ﹣ 1 ，故③不符合题意；
④多项式，当 x ＝1 时，a5+a4+a3+a2+a1+a0 ＝1 ( Ⅰ ) ,
当 x = ﹣ 1 时， ﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0 = ﹣243 ( Ⅱ ) ,
( Ⅰ ) + ( Ⅱ ) , 得：2（a4+a2+a0）= ﹣243+1， ∴a4+a2+a0 = ﹣ 121 ，故④符合题意。
故选：C．
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【点评】本题考查“亲密多项式 ”的概念，求代数式的值，解题的关键是明白“亲密多项式 ”的定义，以及多项式 An 的展开形式。运用了恒等变换、赋值的思想。
24 ．【答案】A
【分析】 由折叠的性质得∠AED = ∠AED' ， ∠CEB = ∠C'EB ，再证 2∠AED' ＝180 °﹣ ∠CEB ，然后证 3 ∠CEB ＝180 °﹣2α , 即可得出结论。
【解答】解： 由折叠的性质得： ∠AED = ∠AED' ， ∠CEB = ∠C'EB，
∵ ∠AED' =180 °﹣ ∠CEB﹣ ∠AED , ∠AED' = ∠AEC'+ ∠C'EB = α+∠C'EB, ∴ ∠AED' =180 °﹣ ∠CEB﹣ ∠AED',
∴2∠AED' =180 °﹣ ∠CEB,
∴2 (α+∠CEB)=180 °﹣ ∠CEB, ∴3∠CEB ＝180 °﹣2α ,
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键。
25 ．【答案】B
【分析】根据日历中的每个数都是整数且上下相邻是 7 ，左右相邻相差是 1 ，列方程求解即可。
【解答】解：A ．设最小的数是 x ，则 x+x+7+x+14 ＝45 ，解得 x ＝8 ，故本选项不合题意；
B ．设最小的数是 x ，则 x+x+6+x+14 ＝45 ，解得：x ＝ ，故本选项符合题意；
C．设最小的数是 x ，则 x+x+6+x+12 ＝45 ，解得：x ＝9 ，故本选项不合题意；
D ．设最小的数是 x ，则 x+x+1+x+8 ＝45 ，解得：x ＝12 ，故本选项不符合题意；故选：B．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是知道日历中的每个数都是整数且上下相邻是7 ，左右相邻相差是 1．
二、填空题（共 15 小题）
26 ．【答案】见试题解答内容
【分析】移项合并可得（k+1）x ＝7 ，由此可判断出k 所能取得的整数值。 【解答】解：将原方程变形得 kx+x ＝7 即（k+1）x ＝7，
∵关于 x 的方程kx ＝7﹣x 的解为正整数， ∴k+1 也为正整数且与 x 的乘积为 7，
第 28页（共 49页）
可得到 k+1 ＝7 或 k+1 ＝1，解得 k ＝6 或 k＝0．
故 k 可以取得的整数解为 0 或 6．
故答案为：0 或 6．
【点评】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义。
27 ．【答案】见试题解答内容
【分析】设第 n 个图中共有点的个数为 an 个，观察图形找出部分 an 点的个数，根据数的变化找出变化规
律“an ＝+1 ”，此题得解。
【解答】解：设第 n 个图中共有点的个数为 an 个，
观察图形可得：a1 ＝4 ＝1+3 ，a2 ＝10 ＝1+3+6 ，a3 ＝19 ＝1+3+6+9 ， … ,
∴an＝1+3+6+…+3n =+1．
故答案为：+1．
【点评】 本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中点的个数的变化找出变化规律 “an =
+1 ”是解题的关键。
28 ．【答案】6 ，．
【分析】根据第一天的工作情况可得： ，求解可得王刚共加工零件的个数，分别表示出王刚和李明加工零件的总个数及他们每小时各自的工作量后，根据时间相等列等式计算即可。
【解答】解：根据第一天的工作情况可得，
,
解得，
则第一天两人的工作时间为 7﹣2 ＝5 小时，王刚每小时加工个，李明每小时加工个，第二天王刚加工了（6+m）个，李明加工了（7+n）个，因为两人加工时间相同，
(
,
)∴
化简得：7m ＝6n，
第 29页（共 49页）
∴ = .
故答案为：6，．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及代数式之间的等量关系问题，能正确理解题意是解决本题的关键。
29 ．【答案】400≤a＜500 或 800≤a＜1000．
【分析】（1）根据该专卖店推出两种优惠活动，分别求出选择活动一及选择活动二需付款金额，比较后即可得出结论；
（2）分 0＜a＜400，400≤a＜800 及 800≤a＜1200 三种情况考虑，当 0＜a＜400 时，选择活动二无优惠，舍去；当 400≤a＜800 时，选择活动二可减 100 元，需付款 a﹣ 100 元，求出选择两活动需付款金额相同时 a 的值，可得出当 400≤a＜500 时，选择活动二比选择活动一更合算；当 800≤a＜1200 时，选择活动二可减 200 元，需付款 a﹣200 元，求出选择两活动需付款金额相同时 a 的值，可得出当 800≤a＜1000时，选择活动二比选择活动一更合算。
【解答】解：（1）选择活动一需付款 550×0.8 ＝440（元）；
选择活动二，可减 100 元，需付款 550﹣ 100 ＝450（元）。
∵440＜450,
∴更合算的选择方式为活动一．
故答案为：一；
（2）当 0＜a＜400 时，选择活动二无优惠，舍去；
当 400≤a＜800 时，选择活动二可减 100 元，需付款 a﹣ 100 元，
若 0.8a ＝a﹣ 100 ，则 a ＝500，
又∵400×0.8 ＝320（元），400﹣ 100 ＝300（元），320＞300，
∴当400≤a＜500 时，选择活动二比选择活动一更合算；
当 800≤a＜1200 时，选择活动二可减 200 元，需付款 a﹣200 元，
若 0.8a ＝a﹣200 ，则 a ＝1000，
又∵800×0.8 ＝640（元），800﹣200 ＝600（元），640＞600，
∴当 800≤a＜1000 时，选择活动二比选择活动一更合算。
综上所述，a 的取值范围是 400≤a＜500 或 800≤a＜1000．
故答案为：400≤a＜500 或 800≤a＜1000．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间
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的关系，分别求出选择活动一及选择活动二需付款金额；（2）分 0＜a＜400 ，400≤a＜800 及 800≤a < 1200 三种情况，找出 a 的取值范围。
30 ．【答案】8 ，2022．
【分析】依次求出点 Ai（i 为正整数）所表示的数，发现规律即可解决问题。 【解答】解： 由题知，
因为数轴上点 A0表示的数为﹣2 ，且 A1（不与 A0重合），A0分别到 1 对应的点的距离相等，
所以 1 ×2﹣ （ ﹣2）＝4，即点 A1表示的数为 4；
依次类推，点 A2表示的数为 0 ，点 A3表示的数为 6 ，点 A4表示的数为 2 ，点 A5表示的数为 8 ，点 A6表示的数为 4 ， … ,
所以点 A2n（n 为正整数）表示的数为：2n - 2，点 A2n﹣1表示的数为：2n+2．
当 n ＝3 时，
2×3+2 ＝8,
即点 A5表示的数为 8；
当 n ＝1012 时，
2×1012﹣2 ＝2022,
即点 A2024表示的数为 2022．
故答案为：8 ，2022．
【点评】本题考查数字变化的规律，能依次求出点 Ai（i 为正整数）所表示的数并发现规律是解题的关键。
31．【答案】 - 3，3．
【分析】根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等，得 x+1＝y + （ ﹣2)，m + ( ﹣2)＝n + 1，即可得出结论。
【解答】解：根据题意得：x+1＝y + ( ﹣2)，m + ( ﹣2)＝n+1，
∴x﹣y = ﹣3 , m﹣n ＝3,
故答案为： ﹣3 ，3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键。
32．【答案】①③④。
【分析】根据数轴上两点间的距离公式逐项判断即可。
【解答】解：若 A 表示数为 1 ，B 表示数为 4 ，C 表示数为 7，则 a ＝4﹣ 1 ＝3 ，b ＝7﹣4 ＝3 ，C ＝7﹣ 1 ＝6 ，故①正确，
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若 A 表示数为 1 ，a ＝3 ，则|a﹣b| ＝3，
∴ 1﹣b = ±3,
∴b ＝4 或﹣2，
∴B 表示数为 4 或﹣2 ，故②错误，
a ，b ，c 的关系可能情形为：a ＝b+c ，b ＝a+c ，c ＝a+b，当 a+5 ＝a ＝b+c 或 b ＝a+c 时，|a﹣b| ＝c，
当 c ＝a+b 时，|a﹣b＜c，
∴|a﹣b|≤c ，故③正确，
若 a ＝3k，b ＝k+9 ，c ＝2k+1 ，且 k＞0，
当点 C 在 AB 上时，则有 AB ＝AC+BC，即， 3k ＝2k+1+k+9，
化简得：3k ＝3k+10 ，不成立，
当点 B 在 AC 上时，则有 AC ＝AB+BC，即， 2k+1 ＝3k+k+9，
化简得：2k+1 ＝3k+9 ，不成立，
当点A 在 BC 上时，则有 BC ＝AC+AB ，即， k+9 ＝2k+1+3k，
化简得：4k ＝8，
解得：k ＝2，
∴点A 一定在线段 BC 上，故④正确，故答案为： ①③④.
【点评】本题考查数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解答的关键。
33 ．【答案】见试题解答内容
【分析】将 x ＝1 代入原方程，整理后可得出（3+b）k ＝4 ﹣6a ，结合原方程的解与k 值无关，可得出关于 a ，b 的方程，解之即可得出 a ，b 的值，再将其代入 6a+b 中，即可求出结论。
【解答】解：将 x ＝1 代入原方程得﹣ = ,
∴3k+6a﹣ 1+bk ＝3,
∴3k+bk＝4﹣6a,
∴（3+b）k ＝4﹣6a．
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根据题意得：，
解得： ， ∴6a+b ＝6×﹣3 ＝1．故答案为：1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元一次方程的解 ”是解题的关键。
34 ．【答案】 ﹣4．
【分析】在 x+y+7z ＝0 ，x﹣y ﹣3z ＝0 中，未知数 系数相同，xy 的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用 z 的代数式表示出 x 、y ，进而得出答案。
【解答】解：x+y+7z ＝0① ,
x﹣y﹣3z ＝0② ,
①﹣② , 得 2y+10z ＝0 ，即y = ﹣5z，
①+ ② , 得 2x+4z ＝0 ，即 x = ﹣2z，
∴ = = = ﹣4．故答案为： ﹣4．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用 z 的代数式表示出 x 、y 是解答本题的关键。
35 ．【答案】20 ，65．
【分析】根据小林的盲盒比小李的盲盒重 2 千克可判断两个盲盒的总价钱相差 1 元，再根据重量小于小李的盲盒的 4 盒可以得出结论：小李的盲盒中为 1 件 A 礼物和 1 件 B 礼物，小林的盲盒中为 2 件 A 礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可。
【解答】解： ∵A 礼物重 m 千克，B 礼物重（m+2）千克， ∴B 礼物比 A 礼物重 2 千克，
∵每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重 2 千克，
∴小李的盲盒中为 1 件 A 礼物和 1 件 B 礼物，小林的盲盒中为 2 件A 礼物或小李的盲盒中为 2 件 B 礼物，小林的盲盒中为 1 件 A 礼物和 1 件 B 礼物，
∴不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差 a+20﹣a ＝20（元）；
由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有 4 盒，
所以小李的盲盒中有 1 件 A 礼物和 1 件 B 礼物，不可能为 2 件 B 礼物，
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∴小李的盲盒中为 1 件 A 礼物和 1 件 B 礼物，小林的盲盒中为 2 件 A 礼物，
∴重量小于小李的盲盒为 2 件 B 礼物，
∵与小林的盲盒一样重盲盒有 5 盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有 9 盒，重量小于小李的盲盒有 4 盒， ∴2 件 A 礼物的有 4 盒，1 件 A 礼物和 1 件 B 礼物各有 10 盒，2 件 B 礼物有 6 盒，
∴2×6(a+20)+10×a+10（a+20）+2×4a ＝3040,
解得 a ＝65，
故答案为：20 ，65．
【点评】本题主要考查数据的收集与整理，能根据数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物是解答此题的关键。
36 ．【答案】（1）﹣ 1；
(2) ﹣2．
【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解；
（2）|x﹣ 1|+|x+2| ＝3 在数轴上表示 x 到 1 和﹣2 两数的距离之和等于 3 ，由此可以求解。 【解答】解：（1） ∵|x+1| ＝|x﹣ ( ﹣ 1)|，
∴|x+1|可以表示为 x 与﹣ 1 两数在数轴上对应两点之间的距离，故答案为：﹣ 1．
（2）|x﹣ 1|+|x+2| ＝3 在数轴上表示 x 到 1 和﹣2 两数的距离之和等于 3， ∴﹣2≤x ≤1，
∵x 是整数，
∴x 的值为： ﹣2 ，﹣ 1 ，0 ，1，
故所有整数解的和为﹣2+（ ﹣ 1)+0+1 = ﹣2，故答案为： ﹣2。
【点评】本题考查了绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键。
37 ．【答案】113。
【分析】分别求出 a2 ，a3 ，a4 的值，根据其规律，再求相应的 n 值。
【解答】解： ∵a1 = ﹣ 1，
∴a2 = ,
a3 = ,
第 34页（共 49页）
a4 = ,
(
,
)…
∴该列数是以﹣ 1 ， ，2 这三个数循环出现， ∵﹣1+0+2＝ ，a1+a2+…+an＝55，
∴ =36……2,
∴36× = 54,
∴54+ ( ﹣ 1)+ =55, ∴n ＝36×3+3+2 ＝113．
故答案为：113。
【点评】本题考查了数的变化规律，通过计算前面几个数值发现数的变化规律具有周期性是解本题的关键，综合性较强，难度适中。
38 ．【答案】 ①④⑥.
【分析】由数轴直观得出﹣2＜a < ﹣ 1 ，0＜b＜1，然后根据有理数的加减和乘除法及比较大小的方法判断即可。
【解答】解： 由题意可得﹣2＜a < ﹣ 1 ，0＜b＜1， a＜0＜b ，故①正确；
|a|＞|b| ，故②错误； ab＜0 ，故③错误；
b﹣a＞b+a ，故④正确；
, 故⑤错误；
﹣a＞b＞ ﹣b＞a ，故⑥正确；所以正确的有①④⑥ .
故答案为：①④⑥。
【点评】本题考查了数轴上的点对应的数的大小特点以及有理数的加法和减法法则，理解掌握数轴上的数的大小特点是解题的关键。
39 ．【答案】见试题解答内容
【分析】观察图形的变化可得前几个图形的小圆圈的个数，进而可以寻找规律即可。
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【解答】解：观察图形的变化可知：
第 1 个图形中有小圆圈的个数：1×2+4 ＝6 个；
第 2 个图形中有小圆圈的个数：2×3+4 ＝10 个；
第 3 个图形中有小圆圈的个数：3×4+4 ＝16 个； …
则第 n 个图形中有小圆圈的个数为：n（n+1）+4 ＝n2+n+4．
故答案为：n2+n+4．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律。
40 ．【答案】4．
【分析】按照题目已知中给出的 5 个步骤进行计算即可。 【解答】解：设被污染的两个数字从左到右分别是p ，q，则p+q ＝5，
由题意得：
a ＝9+9+2+q+3+5 ＝28+q,
b ＝6+1+p+1+2+4 ＝14+p,
c ＝3a+b ＝98+3q+p ＝98+2q+（q+p）＝98+2q+5 ＝103+2q, ∵X＝9,
∴d﹣c ＝9,
∴d ＝9+c ＝9+103+2q ＝112+2q， ∵d 为 10 的整数倍，
∴d ＝120,
∴112+2q ＝120, ∴q ＝4,
故答案为：4．
【点评】本题考查了合并同类项，有理数的乘法，有理数的混合运算，按照题目已知中给出的 5 个步骤进行计算是解题的关键。
三、解答题（共 10 小题）
41 ．【答案】（1）15°或 20°或 40°或 45；
（2） 或 或 20。
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【分析】（1）根据“巧分线 ”定义即可求解；
（2）根据“巧分线 ”定义分 4 种情况：当∠MPQ ＝3∠NPQ 时，当∠MPN＝3∠NPQ 时，当∠MPN＝3 ∠MPQ 时，当∠NPQ ＝3∠MPQ 时，分别求解即可。
【解答】解：（1） ∵ ∠AOB ＝60 ° , 且射线 OC 在∠AOB 的“巧分线 ”，
∴∠AOC ＝3∠BOC 或∠BOC ＝3∠AOC 或∠AOB ＝3∠AOC 或∠AOB ＝3∠BOC，
∵ ∠AOC+∠BOC = ∠AOB ＝60 °
∴ ∠AOC ＝45 °或 15 °或 20 °或 40 ° ;
故答案为：15°或 20°或 40°或 45。 °
（2）根据题意得：
当∠MPQ ＝3∠NPQ 时，则 60+3t﹣4t ＝3×4t，
解得；
当∠MPN＝3∠NPQ 时，则 60+3t ＝3×4t，
解得；
当∠MPN＝3∠MPQ 时，则 60+3t ＝3 ×（60+3t﹣4t），
解得 t ＝20；
当∠NPQ ＝3∠MPQ 时， 4t ＝3（3t+60﹣4t），
解得．
此时 ，故不符合题意，舍去；
综上，当 t 为或或 20 时，射线 PQ 是∠MPN的“巧分线 ”。
【点评】本题考查了新定义，角度的计算，一元一次方程的应用，掌握“妙分线 ”定义是解答本题的关键。
42 ．【答案】（1）1，6；
（2） 或 5。
【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况，点 E 在点 A 的左侧，点 E 在点 B 的右侧。
【解答】解：（1） ∵点 D 表示的数为﹣3，
∴d1（点 D ，线段 AB）＝DA = ﹣2﹣ （ ﹣3）= ﹣2+3 ＝1，
第 37页（共 49页）
d2（点 D ，线段 AB）＝DB ＝3﹣ （ ﹣3）＝3+3 ＝6，故答案为：1 ，6；
（2）分两种情况：
当点 E 在点A 的左侧，
d2（点 F，线段 AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x，
d1（点 E ，线段 AB）＝AE = ﹣2﹣x，
∵d2（点 F，线段 AB）是 d1（点 E ，线段 AB）的 4 倍， ∴2﹣x ＝4 ( ﹣2﹣x)，
解得：，
当点 E 在点 B 的右侧，
d2（点 F，线段 AB）＝AF＝x+1﹣ （ ﹣2）＝x+3，
d1（点 E ，线段 AB）＝EB ＝x ﹣3，
∵d2（点 F，线段 AB）是 d1（点 E ，线段 AB）的 4 倍， ∴3+x ＝4（x﹣3），
解得：x ＝5，
综上所述：x 的值为：或 5．
【点评】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键。
43 ．【答案】（1）C2；（2）C 点表示的数为﹣9 或﹣3 或 1 或 7 ；（3）： ﹣17。
【分析】（1）利用“三倍关联点 ”的定义判断即可；
（2）设 C 点表示的数为 x ，利用分类讨论的思想方法，依据题意列出方程解答即可； 【解答】解：（1） ∵C1A ＝C1B ＝2，
∴C1点不是（A ，B）的“三倍关联点 ”；
∵C2A ＝3 , C2B ＝3,
∴C2A ＝3C2B,
∴C2是（A ，B）的“三倍关联点 ”。
故答案为：C2；
（2）设 C 点表示的数为 x，
①当 x＞3 时， 由题意得： 3（x﹣3）＝x﹣ ( ﹣5)，
第 38页（共 49页）
∴x ＝7．
②当﹣5＜x＜3 时， 由题意得：
3﹣x ＝3（x+5）或 x+5 ＝3（3﹣x），解得：x = ﹣3 或 1．
③当 x < ﹣5 时， 由题意得： 3 （ ﹣5﹣x）＝3﹣x，
∴x = ﹣9．
综上，C 点表示的数为﹣9 或﹣3 或 1 或 7．
（3）当 C 表示的数为﹣2 ，点 A 在点 C 的左侧时，x 取得最小值， ∵﹣2﹣x ＝3[3﹣ ( ﹣2)]，
∴x = ﹣ 17．
当 C 表示的数为 1 ，点 A 在点 C，B 中间时，x 取得最大值， ∵3﹣ 1 ＝3（x﹣ 1），
∴x = .
∴x 的最小值为﹣ 17 ，x 的最大值为．
故答案为：﹣ 17；．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，分类讨论的思想方法，本题是新定义型，利用新定义的规定列出方程是解题的关键。
44 ．【答案】（1）45 ° ;
（2） ∠AOD ＝2∠COE ，理由见解析。
【分析】（1）由邻补角的性质得到∠AOD ＝150 ° , ∠BOC ＝120 ° , 由角平分线定义求出∠AOM，∠CON的度数， 由平角定义即可得到∠MON的度数；
（2） 由角平分线定义得到∠DOE = ∠AOC，求出∠COE = ∠DOE﹣ ∠COD = ∠AOD = ∠BOD﹣ ∠AOB = β﹣ ∠AOC，即可得到∠AOD ＝2∠COE．
【解答】解：（1） ∵ ∠COD ＝30 ° ,
∴ ∠AOD ＝180 °﹣30 ° = 150 ° ,
∵OM 为∠AOD 的平分线，
第 39页（共 49页）
∵ ∠AOB ＝60 ° ,
∴ ∠BOC ＝180 °﹣ ∠AOB ＝120 ° , ∵ON 为∠COB 的平分线，
∴ ∠MON＝180 °﹣ ∠AOM﹣ ∠CON＝45 ° ;
（2） ∠AOD ＝2∠COE ，理由如下： ∵OE 为∠BOD 的平分线，
∵ ∠BOD = ∠AOB+∠AOD = ∠AOB+∠COD﹣ ∠AOC ＝2β+ β﹣ ∠AOC ＝3β﹣ ∠AOC,
∵ ∠AOD = ∠BOD﹣ ∠AOB ＝3β﹣ ∠AOC﹣2β = β﹣ ∠AOC, ∴ ∠AOD ＝2∠COE．
【点评】本题考查角平分线定义，关键是由角平分线定义求出∠AOM，∠CON的度数；由角平分线定义得到∠DOE = ∠AOC．
45 ．【答案】（1）BC1，BC2；（2）x 的值为 ，7，9，26。
【分析】（1）求出 BC1 ，BC2 ，BC3 ，AB 的中点和三等分点表示的数，根据互为友好线段的定义分析即可；（2）分 AB 的中点是 CD 的三等分点和 CD 的中点是 AB 的三等分点两种情况，根据互为友好线段的定义列方程求解即可。
【解答】解：（1） ∵点 B 表示的数为 2 ，点 C1表示的数为，
∴BC1 ＝2﹣ ( ﹣) = ,
∴BC1 的中点表示的数是（2﹣） ÷2 = ﹣ ,
三等分点表示的数是或 2﹣ .
∵点 A 表示的数为﹣4 ，点 B 表示的数为 2，
第 40页（共 49页）
∴AB 的中点表示的数是（2﹣4） ÷2 = ﹣ 1 ，三等分点表示的数是﹣4+2 = ﹣2 或 2﹣2 ＝0． ∵点 B 表示的数为 2 ，点 C2表示的数为﹣2，
∴BC2 的中点表示的数是（2﹣2） ÷2 ＝0，
三等分点表示的数是﹣2+ ＝或 2；
∵AB 的中点是 BC1 的一个三等分点，BC2 的中点是 AB 的一个三等分点， ∴BC，BC2 与 AB 互为友好线段。
∵BC3与 AB 无重叠部分， ∴BC3 与 AB 不可能是互为友好线段。故答案为：BC1 ，BC2；
(2) ∵ ,
∴ ,
∴CD 的中点表示的数是 ( ) ÷2 ＝3﹣ ,
三等分点表示的数是或；
∵点A ，B 表示的数分别为 x ， ﹣2﹣x，
∴AB 的中点表示的数是（x﹣2﹣x） ÷2 = ﹣ 1．
当 AB 的中点是 CD 的一个当 AB 的中点是 CD 的一个三等分点时，
= ﹣ 1 或 = ﹣ 1；
x ＝7 或 x ＝9．
当 CD 的中点是 AB 的一个三等分点时，
若 x ＞﹣2﹣x ，即 x ＞﹣ 1 时，
∴AB 三等分点表示的数是﹣2﹣x+ ＝或 x﹣ = ﹣
第 41页（共 49页）
∴3﹣ = 或 3﹣ = ﹣
解得 x ＝26 或．
若 x < ﹣2﹣x ，即 x < ﹣ 1 时，
∴AB 三等分点表示的数是 x+ ＝或﹣2﹣x﹣ = ,
∴3﹣ = 或 3﹣ = ,
解得 x ＝26（舍去）或（舍去）。
综上可知，x 的值为 ，7 ，9 ，26 ．本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的 n 等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键。
【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，整式的加减，线段的 n 等分点，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键。
46 ．【答案】（1） ①③；（2）﹣2≤m ≤4；（3）t ＝或 t ＝3．
【分析】（1）根据题意，分别计算 CD ，CA ，CB ，DA ，DB 的值，确定是否满足 d ＝d1﹣d2 即可判断；
（2）根据题意，分别表示 CD ，CA ，CB ，DA ，DB ，根据 C 和 D 是 A 、B 的“作随点对 ”，分为 CD = CA﹣DA 和 CD ＝CB﹣DB 分别计算即可确定范围；
（3） 由题意得，C： ﹣2+4t ，D：4 ﹣t ，分别表示出 CD ＝| ﹣6+5t| ，CA ＝4t ，CB ＝|6 ﹣4t| ，DA ＝6 ﹣t，
DB ＝t ，根据 C 和 D 是 A 、B 的“作随点对 ”，分四种情况分别计算即可。
【解答】解：（1） ①点A ，B 分别表示的数为﹣2 ，4 ，点 C1和 D 1分别表示的数为 10 和 1， ∴C1D1 ＝9 ，C1A ＝12 ，C1B ＝6 ，D 1A ＝3 ，D1B ＝3，
∴C1D1 ＝C1A﹣D 1A,
∴C1 ，D1 是 A ，B 的“伴随点对 ”；
②点A ，B 分别表示的数为﹣2 ，4 ，点 C2和 D2分别表示的数为 3 和﹣6， ∴C2D2 ＝9 ，C2A ＝5 ，C2B ＝1 ，D2A ＝4 ，D2B ＝10 ，不满足 d ＝d1﹣d2，
∴C2 ，D2 不是 A ，B 的“伴随点对 ”；
③点A ，B 分别表示的数为﹣2 ，4 ，点 C3和 D3分别表示的数为﹣6 和﹣9， ∴C3D3 ＝3 ，C3A ＝4 ，C3B ＝10 ，D3A ＝7 ，D3B ＝13，
∵C3D3 ＝C3B﹣D3A,
第 42页（共 49页）
∴C3D3是 A ，B 的“伴随点对 ”；故答案为： ①③.
（2）CD ＝|m﹣l| ，CA ＝3 ，CB ＝3 ，DA ＝|m+2| ，DB ＝|m﹣4|，当 C 和 D 是 A ，B 的“作随点对 ”时，
①CD ＝CB﹣DA ， ∴|m﹣ 1| ＝3 ﹣|m+2|， ∴|m﹣ 1|+|m+2| ＝3 ，解得： ﹣2≤m ≤1；
②CD ＝CA﹣DB,
∴|m﹣ 1| ＝3 ﹣|m﹣4|， ∴|m﹣ 1|+|m﹣4| ＝3 ，解得：1≤m ≤4，
综上， ﹣2≤m ≤4．
(3)C: ﹣2+4t , D:4﹣t,
∴CD =|﹣6+5t| , CA ＝4t , CB =|6﹣4t| , DA ＝6﹣t , DB ＝t,
当 CD ＝|﹣6+5t| ＝0 ，即 t ＝时，C、D 两点重合，不符合题意；
当 CB ＝|6﹣4t| ＝0 ，即 t ＝时，C、B 两点重合，不符合题意；
当 DA ＝6﹣t ＝0 ，即 t ＝6 时，A 、D 两点重合，不符合题意；
当 C 和 D 是 A ，B 的“作随点对 ”时，
①|﹣6+5t| ＝5t﹣6 ，解得：t ＝（舍去）；
②|﹣6+5t| ＝3t ，解得：t ＝或 t ＝3；
③|﹣6+5t| ＝|6﹣4t|﹣6+t ，无解；
④|﹣6+5t| ＝|6﹣4t|﹣t ，解得：t ＝（舍去）或 t ＝0（舍去）；综上，t ＝或 t ＝3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用及数轴上的点的问题，解题的关键是分类讨论。
47 ．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知得出 a＜0 ，b＞0 ，|b|＞|a| ，再在数轴上标出即可；
第 43页（共 49页）
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可。
【解答】解：（1） ﹣b＜a < ﹣a＜b；
（2） ∵有理数 a 、b 满足 ab＜0 ，a+b＞0 且|a|＜|b|，
∴|2a﹣b| ﹣|2b﹣a|+|a+b|
= ﹣2a+b﹣(2b﹣a)+(a+b) = ﹣2a+b﹣2b+a+a+b
=0．
【点评】本题考查了相反数，绝对值，数轴，整式的加减，有理数的大小比较等知识点，能正确在数轴上标出﹣a ，a ， ﹣b ，b 的位置是解此题的关键。
48 ．【答案】（1）1 或；
（2） ∠MOB ＝30 °或 90 ° ;
(3)4 ,150 ° .
【分析】（1）分两种情况：当射线 OA 在∠MON的内部时，当射线 OA 在∠MON的外部时，分别运用“射线 OP 关于∠MON的特征值 ”的定义即可求得答案；
（2） 由 rOB ＝ 可得∠MOB+∠NOB ＝120 ° , 则射线 OB 在∠MON 的外部，画出图形即可求得答案；
（3）当射线 OT 与射线 OM 重合，射线 OC 与射线 OS 重合时，rm 取得最大值，画出图形即可求得答案。 【解答】解：（1）当射线 OA 在∠MON 的内部时，如图，
(
;
) (
则
r
OA
＝
＝
＝
1
)
当射线 OA 在∠MON的外部时，如图，
第 44页（共 49页）
则 rOA =
综上所述，rOA 的值为 1 或，
故答案为：1 或；
∵rOB = =2 , ∠MON＝60 ° , ∴ ∠MOB+∠NOB ＝120 ° ,
则射线 OB 在∠MON的外部，如图，
则 2∠MOB+∠MON＝120 °或 2∠MOB﹣ ∠MON＝120 ° , ∴ ∠MOB ＝30 °或 90 ° ;
（3）如图，当射线 OC 在∠MON 内部或与 OM、ON 重合时，
则 rOC ＝ ＝ ＝1；
当射线 OC 在∠MON 外部，且 OT 或 OS 在∠MON 内部或与 OM、ON 重合时，
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则 rOC ＝ ＝ ＝1+ ，
∴1＜rOC≤3;
当射线 OC 在∠MON 外部，且 OT 或 OS 在∠MON 外部时，
则 rOC ＝ ＝ ＝5；
∴当∠SOT 在平面内运动时，rOC 的最小值 rm 为 1+ ，即当∠MOC 最小时，rOC 最小，
∴当∠MOS = ∠NOT 时，rm 最大＝ ＝4 ，如图，
此时， ∠MOK＝90 °+60 ° = 150 ° .
【点评】本题考查了角的和差运算，角平分线定义等，新定义“射线 OP 关于∠MON的特征值 ”的运用
第 46页（共 49页）
等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键。
49 ．【答案】（1）2x﹣ 1 = ﹣2；是；（2）点 C 表示的数是；（3）46．
【分析】（1） 由题意和美好线段的定义可得答案；
（2） 由线段 AB 的美好点恰好是线段 AB 的中点，得 x ＝+ ，将 a ＝专代入计算可得 b ＝吉 ，即可求出点 C 表示的数；
（3）根据一元一次方程的定义求出 a ≠0 ，再解得 b＜0＜a ，分两种情况 b = ﹣ 10 或 b = ﹣ 1 ，当 b = ﹣ 10时，解得 0.91＜a＜1；当 b = ﹣ 1 时，解得 0.61＜a＜1 ，即可得美好点数。
【解答】（1）解：由题意可知线段 4B 的相关方程为2x﹣ 1 = ﹣2，
解得：x = ,
∵ ,
∴线段 AB 是美好线段；
故答案为：2x﹣ 1 = ﹣2；是。
（2） 由题意可知：x = , ∴ ,
解得：b = ,
∴x = , ∴点 C 表示的数是；
（3） ∵ax+b ＝ab 是关于 x 的一元一次方程， ∴a ≠0，
解方程 ax+b ＝ab，
解得：x ＝b﹣ ,
即 c ＝b﹣ ,
∵点 C 在线段 AB 上，
∴b＜c ＜a ，即 b＜b﹣第 47页（共 49页）
∴b＜b，
解得：，
∵b＜a，
∴b＜0＜a，
∴b = ﹣ 10 或 b = ﹣ 1，
因为美好点在数轴的正半轴上，即 c＞0，
所以 b﹣ ,
当 b = ﹣ 10 时，c = ﹣ 10+，
即﹣ 10+＞0，
解得：a＜1 ，所以 0＜a＜1，
b﹣解得：a＞0.91 ，所以 0.91＜a＜1，
所以 a 可取 ， ， ， … , 共 8 个；
当 b = ﹣ 1 时，c = ﹣ 1+ ，所以﹣ 1+＞0，解得：a＜1，
所以 0＜a＜1，
b﹣ ,
即﹣ 1+，
解得：a＞0.61 ，所以 0.61＜a＜1，
所以 a 可取 ， ， ， … , 共 38 个， 8+38 ＝46，
∴美好点一共有 46 个；
故答案为：46．
【点评】本题考查了定义新运算，一元一次方程的解，数轴上的点，解题的关键是根据题意列出方程。
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50 ．【答案】见试题解答内容
【分析】利用角的和差关系计算，注意利用等腰三角形的性质。
【解答】解：（1） ①10； ②35；
（2） ∠An+1Ancn 是△An+1Ancn 的底角，顶角是： = ° , 则
) ∠An+1Ancn = ° ；（注：写成的不扣分，丢掉括号的不扣分）
（3）α﹣ β =45 ° ；理由：不妨设∠Cn﹣1 ＝k．
根据题意可知，．在△AnAn﹣1Cn﹣1 中，由小知识可知∠An﹣1AnCn﹣1 = . ∴∠An+1AnCn
﹣1 ＝180 °﹣α = .
在△An+1Ancn 中， 由小知识可知∠An+1Ancn = .
∵AnN 平分∠An+1AnCn﹣1，
∴ ∠1 = ∠An+1AnCn﹣1 = .
∵∠An+1Ancn = ∠1+∠cnAnN,
∴ = .
∴ =45 °+ β .
∴α =45 °+ β .
∴α﹣ β =45 ° .
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。
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