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第三章　图形的相似
3.3　相似三角形判定定理的证明
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.理解平行线分线段成比例定理及其推论，能利用该定理及其推论进行推理和计算.(重点)
2.会证明相似三角形判定定理.(难点)
3.能综合运用相似三角形的判定定理进行推理或计算，并在解题过程中提高逻辑推理能力.
情境引入
梯子是我们生活中常见的工具.
如图是一个梯子的简图，经测量，AB=BC=CD，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，那么A1B1和B1C1相等吗？
一、
平行线分线段成比例定理
问题　在图中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于格点A1，A2，A3，B1，B2，B3.
提示　====；
====；
====.
发现：===.
(1)计算与与与的值，你有什么发现？
(2)将l2向下平移到如图的位置，直线m，n与l2的交点分别为A2，B2，你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？
提示　成立；成立.
知识梳理
基本事实 符号表示 两条直线被一组平行线所截，所得的__________成比例 如图，已知直线l1，l2被平行线l3，l4，l5所截，交点依次为A，B，C，D，E，F，那么===
对应线段
例1　如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F.若AB∶BC=3∶4，DF=12，求EF的长.
解　∵a∥b∥c，
∴=，
∵AB∶BC=3∶4，DF=12，
∴=，
∴EF=.
反思感悟
对于此类问题，容易出现的错误是列出的比例式中的线段不是对应线段，为此按照各线段的位置，可简记为上比全=上比全，上比下=上比下，下比全=下比全.
跟踪训练1　(1)如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，则DF的对应线段是
A.AB B.BC
C.CE D.BD
√
(2)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在五线谱的横线上，若线段AB=4，则线段BC的长是
A.2 B.4 C.1 D.
√
解析　如图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于点D，交点C所在的平行横线于点E，
则=，即=，
解得BC=2.
二、
平行线分线段成比例定理的推论
知识梳理
推论 符号表示 于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________成比例 如图，在△ABC中，如果直线EF∥ BC，分别交AB于点E，AC于点F，那么===
平行
对应线段
例2　(课本P78例题)如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？
解　∵EF∥BC，
∴=.
∵AE=7，EB=5，FC=4，
∴AF===.
例2　(课本P78例题)如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？
解　∵EF∥BC，
∴=.
∵AB=10，AE=6，AF=5，
∴AC===.
∴FC=AC-AF=-5=.
跟踪训练2　如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB=1∶3，AE=3.
(1)求CE的值；
解　∵DE∥BC，
∴=，
又=，AE=3，
∴=，解得AC=9，
∴EC=AC-AE=9-3=6.
跟踪训练2　如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB=1∶3，AE=3.
(2)求证：AD·AG=AF·AB.
证明　∵DE∥BC，EF∥CG，
∴==，
∴AD·AG=AF·AB.
三、
相似三角形判定定理的证明
例3　(1)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明　如图，在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，=(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).
过点D作AC的平行线，交BC于点F，
则=(平行于三角形一边的直线与其他两边
相交，截得的对应线段成比例).
例3　(1)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明　∴=.
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE=CF，
∴=，
∴==.
例3　(1)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明　而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，
∴△ADE≌△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'.
(2)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，=.
求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明　如图，在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴=.
∵=，AD=A'B'，
(2)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，=.
求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明　∴=，∴=，
∴AE=A'C'.
而∠A=∠A'，
∴△ADE≌△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'.
(3)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，==.
求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明　如图，在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于点E，
则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴==，
又∵==，AD=A'B'，
(3)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，==.
求证：△ABC∽△A'B'C'.
证明　∴==，
∴DE=B'C'，AE=A'C'，
∴△ADE≌△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'.
反思感悟
相似三角形判定定理的证明，其思路为在一个三角形中，构造一个与另一个三角形全等的三角形，证明构造的三角形与第一个三角形相似，从而证明这两个三角形相似.
跟踪训练3　(1)如图，=，下列添加的条件不能使△ABC∽△ADE的是
A.∠BAD=∠CAE B.=
C.= D.∠ABD=∠ADE
√
解析　A项，∵=，∴=，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，故该选项不符合题意；
B项，∵=，∴=，∵=，∴=，∴==，
∴△ABC∽△ADE，故该选项不符合题意；
C项，∵=，∴=，∵=，∴==，∴△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，理由同A选项，故该选项不符合题意；
D项，由=，∠ABD=∠ADE，不能证明两三角形相似，故该选项符合题意.
(2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是CB上一点，ED⊥AB于点D，若BC=10，AC=6，DE=4，求图中阴影部分的面积.
解　∵∠ACB=90°，ED⊥AB于点D，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBD(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴=，
∵BC=10，AC=6，DE=4，
(2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是CB上一点，ED⊥AB于点D，若BC=10，AC=6，DE=4，求图中阴影部分的面积.
解　∴=，
∴BD=，
∴S△ABC=AC·BC=×6×10=30，
S△EBD=DE·BD=×4×=.
∴阴影部分的面积为S△ABC-S△EBD=30-=.
(3)如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，==.
①求证：∠BAD=∠CAE；
证明　∵==，
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF，即∠BAD=∠CAE.
(3)如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，==.
②若∠BAD=21°，求∠EBC的度数；
解　∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC=∠ADE.
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ADE=∠ABE+∠BAD，
∴∠EBC=∠BAD=21°.
(3)如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，==.
③连接EC，求证：△ABD∽△ACE.
证明　由①得∠BAD=∠CAE.
∵=，
∴=，
∴△ABD∽△ACE.
课堂小结
1.如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是
A.= B.=
C.= D.=
随堂演练
√
解析　∵AB∥CD，∴=，故A正确，不符合题意；
∵AB∥CD∥EF，∴=，故B正确，不符合题意；
∵CD∥EF，∴=，故C错误，符合题意；
∵AB∥CD∥EF，∴=，故D正确，不符合题意.
2.如图，在△ABC中，DE∥AB，=，则的值为
A. B.
C. D.
随堂演练
√
解析　∵=，∴=，
∵DE∥AB，
∴==.
3.如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF.
若OA=1，AC=2，CE=4.则的值为　　.
随堂演练
解析　∵CD∥EF，∴=，
又∵OA=1，AC=2，CE=4，
∴OC=OA+AC=1+2=3，
∴=.
4.如图，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，则BD长为　　.
随堂演练
3
解析　∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，∴=，
∵AD=1，AC=2，∴=，
∴AB=4，
∴BD=AB-AD=4-1=3.
5.如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，BE交AD于点G，连接DF，则=　　.
随堂演练
解析　∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，
∵EF=FC=AE，∴点F是EC的中点，点E是AF的中点，
∴DF是△CEB的中位线，∴DF∥BE，BE=2DF，
∴GE是△ADF的中位线，∴=，
设GE=x，则DF=2x，BE=4x，∴BG=3x，∴=.
谢谢观看

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