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2025-2026学年浙江省杭州市西湖区弘益中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4中，是同位角的是（　　）
A. ∠1与∠2
B. ∠3与∠4
C. ∠3与∠2
D. ∠1与∠4
2.下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A. a（m+2）=am+2a B. a2-b2-x=（a-b）（a+b）-x
C. x2-x=x（x-1） D. x2+6x-1=x（x+6）-1
3.下列方程中是二元一次方程的是（　　）
A. 6x-y-z=7 B. x+4y=6 C. 4x+9=0 D.
4.科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061用科学记数法表示正确的是（　　）
A. 6.1×10-5 B. 0.61×10-5 C. 6.1×10-6 D. 0.61×10-6
5.已知是方程3x+2y=12的一个解，则m的值（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点C到AD的距离是下列哪条线段的长度（　　）
A. AC
B. BC
C. CD
D. AD
7.若（x+m）与（x+5）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　）
A. -5 B. 5 C. 0 D. ±5
8.某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子.该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅.如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
9.如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥CB，将四边形ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与C′，D′对应，若∠1=2∠2，则下列哪个选项是正确的（　　）
A. ∠AED′=30°
B. ∠BFC′=30°
C. ∠D′EF=3∠2
D. ∠AEF=108°
10.如图，有三张边长分别为a,b,c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中.记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1；图2中阴影部分周长为l2，面积为S2，若l2-l1=S2-S1，则下列正确的为（　　）
A. b+c=7 B. b-c=4 C. a-b=4 D. a-c=7
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：a2 a3=
12.已知长方形的面积为6a2+18ab,长为3a,则该长方形的宽为 .
13.如图，将三角形ABC沿射线BC的方向平移得到三角形A1B1C1，如果平移的距离是3，BC1=10，那么B1C= .
14.若ax=2，ay=3，则ax+y= .
15.若等式（x+2）（x-n）=x2+mx-8对任意实数x都成立，那m= ，n= .
16.已知，.
（1）若t=2k=2，则c与a的等量关系是 .
（2）若c-2a=3t,则= .（用含k,t的代数式表示）
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
（1）（-1）2025+（3-π）0+2-1；
（2）（-a）2 a4+[（-a）3]2.
四、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
解方程组：
（1）；
（2）.
19.(本小题8分)
在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形ABC的顶点均在格点（正方形网格线的交点）上，按下列要求画图：
（1）过点C作CM∥AB，使点M也在格点上，且CM=AB；
（2）在给定的方格纸中，平移三角形ABC，使点A落在点D处，请画出平移后的三角形DEF，使B，C的对应点分别为E，F；
（3）请直接写出三角形DEF的面积为______.
20.(本小题10分)
如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3=∠B，EF∥AB.
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠2=4∠B，求∠1.
21.(本小题10分)
有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题.
例：计算：789×786-788×787.
解：设786=a,
那么789×786-788×787=a（a+3）-（a+1）（a+2）=a2+3a-（a2+3a+2）=-2.
（1）利用上面的方法计算：542×549-545×546；
（2）若x=2024×2028-2025×2027，y=2025×2029-2026×2028，试比较x,y的大小.
22.(本小题12分)
已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示.
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）.若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
23.(本小题12分)
汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3b|+（a+b-4）2=0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
（1）求a、b的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD=20°，求∠BAC的度数；
（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】a5
12.【答案】2a+6b
13.【答案】4
14.【答案】6
15.【答案】-2
4

16.【答案】c=4a
4k+t

17.【答案】 2 a6
18.【答案】
19.【答案】
6
20.【答案】证明：（1）∵EF∥AB（已知），
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3=∠B（已知），
∴∠B=∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，
∵∠2=4∠B，
∴∠2=4∠ADE，
∵∠2+∠ADC=180°，
∴4∠ADE+2∠ADE=180°，
∴∠ADE=30°，
∴∠ADC=60°，
∵EF∥AB，
∴∠1=∠ADC=60°．
21.【答案】-12 x=y
22.【答案】解：（1）设书店销售x本文学类书籍，y本科技类书籍，
根据题意得：，
解得：．
答：书店销售60本文学类书籍，30本科技类书籍；
（2）∵=，=，=，
∴2400×=480（元）．
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进3a本文学类书籍，3b本科技类书籍，则购进（a+2b）盒水彩笔，
根据题意得：16×3a+24×3b+6（a+2b）=2100，
∴b=25-a.
又∵a,b均为正整数，
∴或，
∴或．
答：此次书店购进42本文学类书籍，48本科技类书籍或84本文学类书籍，21本科技类书籍．
23.【答案】解：（1）∵|a-3b|+（a+b-4）2=0．
又∵|a-3b|≥0，（a+b-4）2≥0．
可得a-3b=0，且a+b-4=0
∴a=3，b=1；
（2）设A灯转动时间为t秒，
又∵PQ//MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
∵∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°=20°，
∴t=55°，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°=165°-135°=30°；
（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．
依题意得0＜t＜150.
①当0＜t＜60时，3t=（30+t）×1，
解得t=15；
②当60＜t＜120时，3t-3×60+（30+t）×1=180，
解得t=82.5；
③当120＜t＜150时，3t-360=t+30，
解得t=195＞150（不合题意）
综上所述，当t=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．

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