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2025-2026学年四川省巴中市南江县实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.数列2，，…的一个通项公式an等于（　　）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z的虚部是（　　）
A. -1 B. -i C. 1 D. i
3.下列求导结果正确的是（　　）
A. B. （sinx2）'=2xcosx2
C. （cos5x）'=-sin5x D.
4.已知数列{an}为等比数列，a1为a2，a3的等差中项，则{an}的公比为（　　）
A. 1或-2 B. -2 C. 2或-1 D. 1
5.已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 （ ）
A. B. C. D. 4
6.圆C1：x2+（y-4）2=4与圆C2：（x-3）2+y2=9的位置关系是（　　）
A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交
7.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知数列{an}满足：，，若a8=1，则m的所有可能取值的和为（　　）
A. 62 B. 169 C. 170 D. 190
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知直线，O为坐标原点，则下列选项中正确的有（　　）
A. 直线l的倾斜角为
B. 直线l在y轴上的截距为
C. 过O且与直线l平行的直线方程为
D. 过O且与直线l垂直的直线方程为
10.等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＜0，a3+a13=0，则（　　）
A. a8=0 B. an+1＜an
C. S6＞S9 D. 当Sn＞0时，n的最小值为16
11.已知x=-1是函数f（x）=（x2+a）e2x的极大值点，则（　　）
A. 函数f（x）的极小值为0
B. 若-1＜x＜0，则f（x3）＞f（x）
C. 若，则y=f（x）-m有3个相异的零点
D. 若f（x1）=f（x2）（其中x2＞x1＞-1），则x1+x2＜0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}满足，若a1=-1，则a2026= .
13.已知等比数列{an}的各项均为正数，且log3a1+log3a2+…+log3a10=10，则a5a6= .
14.已知函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），定义方程的实数根x0叫做函数y=f（x）的“新不动点”.设，则y=f（x）在区间上的“新不动点”为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=2x3-3（a+3）x2+18ax+6.
（1）若a=0，求函数的极值；
（2）若a=1，求函数f（x）的单调区间.
16.(本小题15分)
已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点（-2，0），直线与y轴交于P点，且与椭圆Γ交于A，B两点．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）求|PA| |PB|的值．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角 的正弦值.
18.(本小题17分)
已知数列{an}中，a1=1，满足an+1-3an-1=0（n∈N*）.
（1）证明数列是等比数列；
（2）设bn=log2（2an+1），求{bn}的通项公式；
（3）设cn=，{cn}的前n项和记为Sn，试证明Sn＜.
19.(本小题17分)
设函数f（x）=x2-x+alnx,a∈R.
（1）若a=1，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=2时，若x1，x2（x1＜x2）满足f（x1）+f（x2）=0，求证：.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】-1
13.【答案】9
14.【答案】
15.【答案】极大值为6；极小值为-21 单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞）；单调递减区间为（1，3）
16.【答案】解：（1）因为椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，所以设椭圆方程为，
又椭圆的离心率为，且经过点（-2，0），
所以，
解得a=2，b=1，
所以椭圆Γ的标准方程为．
（2）由，得直线l的参数方程为（ t为参数），
代入椭圆方程，得，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，
所以．
17.【答案】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令z=1，则x=2，y=-2， 故，
又，，所以，
则，又平面，
故平面；
（2）解：由（1）可知，，
则，
故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；
（3）解：由（1）可知，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
所以，
故二面角的正弦值为．
18.【答案】已知an+1-3an-1=0，移项可得an+1=3an+1．则，
当n=1时，，
所以，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列 bn=n 由（1）（2）可得：，
则，
两边同时乘以可得：②．
由①-②可得：．
其中是首项为，公比为的等比数列的前n项和，
根据等比数列求和公式（其中a1为首项，q为公比）可得：=．
所以，
则．
因为n∈N*，所以，
则．
所以
19.【答案】2x-y-2=0 [-1，+∞） 证明：当a=2时，f（x）=x2-x+2lnx，x＞0，，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（1）=0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f（x）＞0．
若0＜x1＜x2≤1，则f（x1）+f（x2）＜0，不合题意；若1≤x1＜x2，则f（x1）+f（x2）＞0，不合题意，所以0＜x1＜1＜x2．
设F（x）=f（x）+f（2-x），0＜x＜1，
则，
所以F（x）在（0，1）上单调递增．
因为F（1）=2f（1）=0，所以F（x）＜0．
因为0＜x1＜1，所以F（x1）=f（x1）+f（2-x1）＜0，
又f（x1）+f（x2）=0，所以-f（x2）+f（2-x1）＜0，即f（2-x1）＜f（x2）．
又f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以2-x1＜x2，即x1+x2＞2．
所以，即
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