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2025-2026学年江西省上饶市横峰中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列{an}的通项公式为，则a3的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
2.在等差数列{an}中，若a2+a5+a7+a10=24，则a6=（　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
3.定义在R上的函数f（x），f'（1）=，则=（　　）
A. -1 B. C. 2 D. 4
4.已知数列{an}是等比数列，且a3+a5=2，则a2a4+2a3a5+a2a8=（　　）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
5.下列函数的求导正确的是（　　）
A. （x3）′=-3x B.
C. （e5）′=e5 D. （xcos2x）′=cos2x+2xsin2x
6.已知在数列{an}是首项为1的正项数列，an+1=2an+3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（　　）
A. a3=11 B. 数列{an+3}是等比数列
C. an=4n-3 D.
7.对于数列{an}，定义Hn=为数列{an}的“最优值”，现已知数列{an}的“最优值”Hn=3n，记数列{an}的前n项和为Sn，则=（　　）
A. 2027 B. C. 2028 D.
8.已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是20，接下来的两项是20、21，再接下来的三项是20、21、22，以此类推，若N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，则N的最小值为（　　）
A. 440 B. 330 C. 220 D. 110
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（　　）
A. 曲线y=2x-sinx B. 曲线y=x-2sinx C. 曲线y=（x-2）ex D. 曲线
10.某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布X N（42，62），Y N（44，42），则（　　）
A. E（2X）=42 B. D（2Y）=64
C. P（X≤40）＞P（Y≤40） D. P（X＞48）＜P（Y＞46）
11.已知对勾函数的图象是双曲线，焦点分别为F1、F2，直线y=kx与对勾函数的图象交于A、B两点，且A和F2在第一象限，过A作直线F1F2的垂线，垂足为N，则（　　）
A. 对勾函数的离心率为 B. |AF1|-|BF1|=4
C. D. 若AF1⊥BF1，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=sinx+f′（0）cosx-1，则f′（0）= .
13.已知P（x,y）是函数y=ex+x图象上的点，则点P到直线2x-y-3=0的最小距离为 .
14.在数列{an}中，a1=1，且，若存在正整数n,使得t2-（an-1+an）t+an-1an＜0成立，则实数t的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知曲线f（x）=x3-2x2.
（1）求曲线f（x）在点（2，0）处的切线方程；
（2）求曲线f（x）过原点（0，0）的切线方程.
16.(本小题15分)
已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn=n2，
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AD⊥平面PAB，PA=AB=BC=1，AD=2，E为棱PD上一点，ED=2PE.
（1）证明：PB∥平面ACE；
（2）若，求二面角P-AC-E的余弦值.
18.(本小题17分)
马尔可夫链是因俄国数学家安德烈 马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复.
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn.
①证明：为等比数列；
②当n≥2时，Pn≤m恒成立，求m的取值范围.
19.(本小题17分)
已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率e=.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点A、B，与圆x2+y2=相切于点M.
①证明：OA⊥OB（O为坐标原点）；
②设λ=，求实数λ的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】y=4x-8 y=0和y=-x
16.【答案】解：（1）a1=S1=1；
n＞1时，，n=1时也满足a1=1；
∴an=2n-1；
（2）；
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn==．
17.【答案】如图，连接BD，设BD∩AC=O，
因为BC∥AD，且BC=1，AD=2，
故，
而，故，
故EO∥PB，
而EO 平面AEC，PB 平面AEC，
故PB∥平面ACE
18.【答案】 ①证明见解析；②
19.【答案】 ①证明：∵直线l：y=kx+m与相切，
所以，即，
联立，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
所以
=，
所以OA⊥OB．
②[，2]
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