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2025-2026学年湖南省长沙市望城区第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|-1＜x＜a}，B={x|x≤2a-1}，且A B，则a的取值范围是（　　）
A. （-1，1] B. （1，+∞）
C. [1，+∞） D. （-∞，-1]∪[1，+∞）
2.若α∈（0，π），，则sinα-cosα=（　　）
A. B. C. D.
3.某AI导航机器人团队，调研5组不同避障阈值x（单位：灵敏度）与路径规划耗时y（单位：ms）得到的数据如下表：
避障阈值x 9 9.5 10 10.5 11
规划耗时y 11 n 8 6 5
由表中数据可知，规划耗时y与避障阈值x之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据5，6，8，n,11的第75百分位数为（　　）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 10.5
4.如图，M，P分别是四面体OABC的棱BC，BA的中点，且，记，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知直线l1：x+（a+1）y-1-a=0，直线l2：（a+1）x-（2a-1）y+a-1=0，则“a=-4”是“l1∥l2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.圆x2+y2=20与圆x2+y2-6x-8y+20=0的公共弦长为（　　）
A. 2 B. C. D. 4
7.双曲线E：的右焦点为F，过点F且斜率为的直线与y轴交于点A，线段AF与E交于点B，若B为AF的中点，则E的离心率为（　　）
A. B. C. D. 5
8.已知函数f（x）=ex，g（x）=ax2，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，f（x1）-f（x2）＜g（x1）-g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，0] B. C. （-∞，e] D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知不重合直线a,l,不重合平面α，β，γ，则下列结论正确的有（　　）
A. 若l∥α，l⊥β，则α⊥β
B. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ
D. 若a∥α，a∥β，则α∥β
10.已知数列{an}的首项a1=2，且满足，下列说法正确的是（　　）
A. B. 数列为等差数列
C. 数列{an}是递增数列 D. 数列{an}的前n项积为Tn，则Tn≤2
11.△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：：3，且，则（　　）
A. △ABC三个内角A，B，C满足关系A+C=2B
B. △ABC的周长为
C. 若∠B的角平分线与AC交于D，则BD的长为
D. 若E为△ABC外接圆上任意一点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A、B为随机事件，且P（A）=0.5，P（B）=0.4，若P（B|A）=0.5，则= .
13.在（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的展开式中，x3项的系数为 .
14.如图是一段柱体状的水沟的直观图，其横断面（平行于底面的截面）如图所示，其中的曲线段AOB是顶点为O且AO、BO相互对称的抛物线弧，沟宽AB为2米，沟深（O到直线AB距离）为1米.若要将水沟改挖（不填土）为横断面为等腰梯形的水沟，使得水沟底面与地面平行，则改挖后水沟的底部宽为 米（近似到0.01米）时，所挖土最少.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知曲线f（x）=2lnx-f′（1）x+3，g（x）=eax+b,且曲线g（x）在点（0，g（0））处的切线与直线2x+y+1=0垂直.
（1）求f′（1）的值；
（2）求a的值；
（3）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线g（x）也相切，求b的值.
16.(本小题15分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=1，2Sn=nan.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB=BC=1，PA=PC=.
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若AB⊥AD，∠APD为锐角，且平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为，求AD.
18.(本小题17分)
冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼.
（1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列
（2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）.假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；
（3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N（μ，σ2）.已知μ=74，σ=7，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格？附：P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974.
19.(本小题17分)
已知椭圆（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的倍，且C经过点（2，-1）.
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，过圆O：x2+y2=9上一动点M作C的两条切线，切点分别为A，B.
（i）证明：∠AMB恒为定值；
（ii）求四边形OAMB的面积的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】0.3．
13.【答案】10
14.【答案】0.71
15.【答案】1 2 ln2-1
16.【答案】解：（1）a2=1，2Sn=nan，可得n=1时，2a1=2S1=a1，即a1=0，
当n≥2时，由2Sn=nan，可得2Sn-1=（n-1）an-1，两式相减可得2an=nan-（n-1）an-1，
当n=2时，上式显然成立，
当n≥3时，=，
则an=a2 ... =1 ... =n-1，
上式对n=1，n=2都成立，
所以an=n-1，n∈N*；
（2）=n（）n，
Tn=1 +2 （）2+3 （）3+...+n（）n，
Tn=1 （）2+2 （）3+3 （）4+...+n（）n+1，
上面两式相减可得Tn=+（）2+（）3+...+（）n-n（）n+1
=-n（）n+1，
化为Tn=2-（n+2）（）n．
17.【答案】作PO⊥AD，垂足为O，连接OC，
在Rt△PAO中，，所以PO=2，AO=1，
∵BC=1=AO，AO∥BC，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB=1，
∴OC2+OP2=PC2，即PO⊥OC，
又AD∩OC=O，AD，OC 平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵PO 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD AD=3
18.【答案】分布列见解析；
；
高二年级学生体能检测合格．
19.【答案】 （i）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
若直线BM的斜率不存在，则直线BM的方程为，
此时直线AM的方程为，此时；同理，若直线AM的斜率不存在，则．
若直线AM，BM的斜率都存在，设直线AM的斜率为k1，
则直线AM的方程为y-y1=k1（x-x1），
由，得，
因为直线AM与椭圆C相切，
则，
化简得，
又，所以，代入上式得，
所以，即，
所以，解得（y1≠0），
所以直线AM的方程为，整理得，
设直线BM的斜率为k2，直线BM的方程为y-y2=k2（x-x2），
同理可得直线BM的方程为，
设M（x0，y0），其中，
则有，，所以直线AB的方程为，
若y0=0，则x0=±3，直线AB的方程为x=±2，可得y=±1，
不妨设M（3，0），A（2，1），B（2，-1），此时，
故AM⊥BM即．
若y0≠0，由整理得，
所以，，
故
=，
整理得，又，
所以，则AM⊥BM，即．
综上可知，∠AMB恒为定值．
（ii）6
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