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2025-2026学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合M={0，1，2，3，4}，N={x|2＜3x＜64}，则M∩N=（　　）
A. {0，1，2，3} B. {1，2，3} C. {1，3} D. {1，2}
2.若复数z满足zi=1+i，则z的共轭复数是（　　）
A. -1-i B. 1+i C. -1+i D. 1-i
3.在数列{an}中，a1=2，，则a7的值为（　　）
A. B. 2 C. -1 D.
4.若直线x-my-5=0与直线x-y-1=0垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）
A. （-3，4） B. （-3，-4） C. （3，-2） D. （3，2）
5.函数f（x）=cos2x-2sinx+1的值域是（　　）
A. [-3，2] B. [1，3] C. [-2，3] D.
6.一组不全相等的数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（　　）
A. B. C. D.
7.已知函数，则不等式f（x）＜1的解集为（　　）
A. （-∞，-1） B. （2，+∞）
C. （-∞，0）∪（2，+∞） D. （-1，0）∪（2，+∞）
8.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（　　）
A. E，F，G，H四点共面
B. BB1与FH是异面直线
C. ∠EGH=∠FHG
D. EG，FH，AA1三线共点
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A. 若f（x）是偶函数，则a=1
B. 若f（x）是奇函数，则a=-1
C. 若f（x）＞0，则a的取值范围为（0，+∞）
D. f（x）的最小值为
10.已（x+1）5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则（　　）
A. a0=32 B. a1+a2+…+a5=211
C. a5=-1 D. a1+a3+a5=121
11.下列说法正确的是（　　）
A.
B. 若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是锐角三角形
C. 在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（3-x）=f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=3x-1+1，则f（2026）= .
13.正三棱锥P-ABC中，AB=3，侧棱PC=3，则三棱锥P-ABC的外接球体积为 .
14.设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），2f（x）+xf′（x）＞0，并且f（1）=1，则不等式（x-4）2f（x-4）＞1的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}是等差数列，{an}的前n项和记为Sn，a3=3，S4=10.
（1）求{an}的通项公式；
（2）令，记bn的前n项和为Tn，求Tn.
16.(本小题15分)
记抛物线Γ：y2=4x的焦点为F.
（1）设P（x0，y0）为Γ上一点.用含x0的代数式表示|PF|，并求当y0=2时|PF|的值；
（2）过点M（2，0）的直线l与Γ相交于A，B两点，满足 =-15.求l的方程.
17.(本小题15分)
明德中学数理研究小分队调查学生物理成绩与数学成绩的关联，得到如下数据：在一次高一年级测试数据中，年级有的学生数学及格，这些学生中物理成绩“及格”的概率为；数学不及格的学生中，物理成绩“及格”的概率为.
（1）若从该年级任意抽取一名学生，求该学生物理成绩达到“及格”等级的概率；
（2）已知该小分队高一的8名学生中有5名物理成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）经统计，本次学生物理得分Z近似服从正态分布N（65，144），若得分Z≥77，则为“优秀”等级.现从年级抽取50名学生，记Y为这50名学生中“优秀”的人数，求Y的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ≤ξ≤μ+α）≈0.6827，P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973.
18.(本小题17分)
如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED=DC=CB=1，现在沿着BE把△ABE折起到△A1BE的位置，连接A1C，A1D，且使得A1C=2，如图2所示.
（1）求证：平面A1BE⊥BCDE；
（2）求直线A1B与平面A1CD夹角的正弦值.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（2）当0＜x＜1时，若，求实数a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】-2
13.【答案】36π
14.【答案】（5，+∞）
15.【答案】an=n
16.【答案】|PF|=x0+1；y0=2时，|PF|=2
17.【答案】 X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为8，方差为7
18.【答案】证明：取BE的中点为O，连接OA1，OC，OD，
由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE，
且ED=DC=CB=1，可得OC=OD=1，且，
因为A1C=2，所以，所以A1O⊥OC，
又由△A1BE正三角形性质，可得BE⊥A1O，
因为OC∩BE=O，且OC，BE 平面BCDE，所以A1O⊥平面BCDE，
又因为A1O 平面A1BE，
所以平面A1BE⊥平面BCDE
19.【答案】所以f（x）在（-∞，0）和（0，1）上单调递减 [-1，+∞）
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